MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmptdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppmptdm 8833
Description: A mapping with a finite domain is finitely supported. (Contributed by AV, 7-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmptdm.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝑌)
fsuppmptdm.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsuppmptdm.y ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑌𝑉)
fsuppmptdm.z (𝜑𝑍𝑊)
Assertion
Ref Expression
fsuppmptdm (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fsuppmptdm
StepHypRef Expression
1 fsuppmptdm.y . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑌𝑉)
2 fsuppmptdm.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝑌)
31, 2fmptd 6874 . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝑉)
4 fsuppmptdm.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
5 fsuppmptdm.z . 2 (𝜑𝑍𝑊)
63, 4, 5fdmfifsupp 8832 1 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5063  cmpt 5143  Fincfn 8498   finSupp cfsupp 8822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-supp 7822  df-er 8279  df-en 8499  df-fin 8502  df-fsupp 8823
This theorem is referenced by:  gsummptfidmadd  18965  gsummptfidmsplit  18970  gsummptfidmsplitres  18971  gsummptshft  18976  gsummptfidminv  18987  gsummptfidmsub  18990  gsumzunsnd  18996  gsummptf1o  19003  srgbinomlem3  19212  srgbinomlem4  19213  psrass1  20104  mamuass  20927  mamuvs1  20930  mamuvs2  20931  dmatmul  21022  mavmulass  21074  mdetrsca  21128  smadiadetlem3  21193  mat2pmatmul  21255  decpmatmul  21296  cpmadugsumlemB  21398  cpmadugsumlemC  21399  tsmsxplem1  22676  tsmsxplem2  22677  plypf1  24717  taylpfval  24868  lgseisenlem3  25867  lgseisenlem4  25868  gsummpt2d  30601  gsummptres  30604  gsumvsca1  30768  gsumvsca2  30769  mdetpmtr1  30974  esumpfinval  31220  aacllem  44734
  Copyright terms: Public domain W3C validator