Theorem fsuppmptdm 9339

Description: A mapping with a finite domain is finitely supported. (Contributed by AV, 7-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmptdm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)
fsuppmptdm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsuppmptdm.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑉)
fsuppmptdm.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmptdm	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fsuppmptdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppmptdm.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑉)
2		fsuppmptdm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)
3	1, 2	fmptd 7113	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑉)
4		fsuppmptdm.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsuppmptdm.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
6	3, 4, 5	fdmfifsupp 9338	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  Fincfn 8945   finSupp cfsupp 9324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-supp 8159  df-1o 8455  df-en 8946  df-fin 8949  df-fsupp 9325

This theorem is used by:  gsummptfidmadd  20018  gsummptfidmsplit  20023  gsummptfidmsplitres  20024  gsummptshft  20029  gsummptfidminv  20040  gsummptfidmsub  20043  gsumzunsnd  20049  gsummptf1o  20056  srgbinomlem3  20333  srgbinomlem4  20334  psrass1  22142  mamuass  22588  mamuvs1  22591  mamuvs2  22592  dmatmul  22683  mavmulass  22735  mdetrsca  22789  smadiadetlem3  22854  mat2pmatmul  22917  decpmatmul  22958  cpmadugsumlemB  23060  cpmadugsumlemC  23061  tsmsxplem1  24339  tsmsxplem2  24340  plypf1  26398  taylpfval  26557  lgseisenlem3  27570  lgseisenlem4  27571  gsummpt2d  33392  gsummptres  33395  gsummptf1od  33398  gsummulgc2  33409  gsummulsubdishift1  33411  gsumvsca1  33569  gsumvsca2  33570  psrgsum  33961  fldextrspunlsplem  34086  extdgfialglem2  34106  mdetpmtr1  34236  esumpfinval  34488  aacllem  50654