Theorem fsuppmptdm 9405

Description: A mapping with a finite domain is finitely supported. (Contributed by AV, 7-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmptdm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)
fsuppmptdm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsuppmptdm.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑉)
fsuppmptdm.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmptdm	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fsuppmptdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppmptdm.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑉)
2		fsuppmptdm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)
3	1, 2	fmptd 7146	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑉)
4		fsuppmptdm.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsuppmptdm.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
6	3, 4, 5	fdmfifsupp 9404	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  Fincfn 9011   finSupp cfsupp 9391

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-supp 8215  df-1o 8514  df-en 9012  df-fin 9015  df-fsupp 9392

This theorem is used by:  gsummptfidmadd  20190  gsummptfidmsplit  20195  gsummptfidmsplitres  20196  gsummptshft  20201  gsummptfidminv  20212  gsummptfidmsub  20215  gsumzunsnd  20221  gsummptf1o  20228  srgbinomlem3  20505  srgbinomlem4  20506  psrass1  22326  mamuass  22772  mamuvs1  22775  mamuvs2  22776  dmatmul  22867  mavmulass  22919  mdetrsca  22973  smadiadetlem3  23038  mat2pmatmul  23104  decpmatmul  23145  cpmadugsumlemB  23247  cpmadugsumlemC  23248  tsmsxplem1  24527  tsmsxplem2  24528  plypf1  26586  taylpfval  26749  lgseisenlem3  27761  lgseisenlem4  27762  gsummpt2d  33709  gsummptres  33712  gsummptf1od  33715  gsummulgc2  33726  gsummulsubdishift1  33728  gsumvsca1  33886  gsumvsca2  33887  psrgsum  34291  fldextrspunlsplem  34416  extdgfialglem2  34436  mdetpmtr1  34566  esumpfinval  34818  aacllem  51367  veroquadmodzerod  51412