Theorem fsuppmptdm 9279

Description: A mapping with a finite domain is finitely supported. (Contributed by AV, 7-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmptdm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)
fsuppmptdm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsuppmptdm.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑉)
fsuppmptdm.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmptdm	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fsuppmptdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppmptdm.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑉)
2		fsuppmptdm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)
3	1, 2	fmptd 7055	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑉)
4		fsuppmptdm.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsuppmptdm.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
6	3, 4, 5	fdmfifsupp 9278	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-supp 8101  df-1o 8395  df-en 8884  df-fin 8887  df-fsupp 9265

This theorem is referenced by:  gsummptfidmadd  19891  gsummptfidmsplit  19896  gsummptfidmsplitres  19897  gsummptshft  19902  gsummptfidminv  19913  gsummptfidmsub  19916  gsumzunsnd  19922  gsummptf1o  19929  srgbinomlem3  20200  srgbinomlem4  20201  psrass1  21938  mamuass  22385  mamuvs1  22388  mamuvs2  22389  dmatmul  22480  mavmulass  22532  mdetrsca  22586  smadiadetlem3  22651  mat2pmatmul  22714  decpmatmul  22755  cpmadugsumlemB  22857  cpmadugsumlemC  22858  tsmsxplem1  24136  tsmsxplem2  24137  plypf1  26195  taylpfval  26348  lgseisenlem3  27358  lgseisenlem4  27359  gsummpt2d  33130  gsummptres  33133  gsummptf1od  33136  gsummulgc2  33147  gsummulsubdishift1  33149  gsumvsca1  33307  gsumvsca2  33308  psrgsum  33732  fldextrspunlsplem  33857  extdgfialglem2  33877  mdetpmtr1  34007  esumpfinval  34259  aacllem  50291