Theorem fsuppmptdm 9291

Description: A mapping with a finite domain is finitely supported. (Contributed by AV, 7-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmptdm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)
fsuppmptdm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsuppmptdm.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑉)
fsuppmptdm.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmptdm	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fsuppmptdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppmptdm.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑉)
2		fsuppmptdm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)
3	1, 2	fmptd 7068	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑉)
4		fsuppmptdm.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsuppmptdm.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
6	3, 4, 5	fdmfifsupp 9290	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  Fincfn 8895   finSupp cfsupp 9276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-supp 8113  df-1o 8407  df-en 8896  df-fin 8899  df-fsupp 9277

This theorem is referenced by:  gsummptfidmadd  19866  gsummptfidmsplit  19871  gsummptfidmsplitres  19872  gsummptshft  19877  gsummptfidminv  19888  gsummptfidmsub  19891  gsumzunsnd  19897  gsummptf1o  19904  srgbinomlem3  20175  srgbinomlem4  20176  psrass1  21931  mamuass  22358  mamuvs1  22361  mamuvs2  22362  dmatmul  22453  mavmulass  22505  mdetrsca  22559  smadiadetlem3  22624  mat2pmatmul  22687  decpmatmul  22728  cpmadugsumlemB  22830  cpmadugsumlemC  22831  tsmsxplem1  24109  tsmsxplem2  24110  plypf1  26185  taylpfval  26340  lgseisenlem3  27356  lgseisenlem4  27357  gsummpt2d  33142  gsummptres  33145  gsummptf1od  33148  gsummulgc2  33159  gsummulsubdishift1  33161  gsumvsca1  33319  gsumvsca2  33320  psrgsum  33724  fldextrspunlsplem  33850  extdgfialglem2  33870  mdetpmtr1  34000  esumpfinval  34252  aacllem  50157