MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptf1o 19982
Description: Re-index a finite group sum using a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptf1o.x 𝑥𝐻
gsummptf1o.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptf1o.z 0 = (0g𝐺)
gsummptf1o.i (𝑥 = 𝐸𝐶 = 𝐻)
gsummptf1o.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptf1o.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsummptf1o.d (𝜑𝐹𝐵)
gsummptf1o.f ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐹)
gsummptf1o.e ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐸𝐴)
gsummptf1o.h ((𝜑𝑥𝐴) → ∃!𝑦𝐷 𝑥 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
gsummptf1o (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑦𝐷𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem gsummptf1o
StepHypRef Expression
1 gsummptf1o.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsummptf1o.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsummptf1o.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsummptf1o.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
5 gsummptf1o.d . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐵)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹𝐵)
7 gsummptf1o.f . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐹)
86, 7sseldd 3983 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
98fmpttd 7134 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴𝐵)
10 eqid 2736 . . . 4 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
112fvexi 6919 . . . . 5 0 ∈ V
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑0 ∈ V)
1310, 4, 8, 12fsuppmptdm 9417 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) finSupp 0 )
14 gsummptf1o.e . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐸𝐴)
1514ralrimiva 3145 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐷 𝐸𝐴)
16 gsummptf1o.h . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃!𝑦𝐷 𝑥 = 𝐸)
1716ralrimiva 3145 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐷 𝑥 = 𝐸)
18 eqid 2736 . . . . 5 (𝑦𝐷𝐸) = (𝑦𝐷𝐸)
1918f1ompt 7130 . . . 4 ((𝑦𝐷𝐸):𝐷1-1-onto𝐴 ↔ (∀𝑦𝐷 𝐸𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐷 𝑥 = 𝐸))
2015, 17, 19sylanbrc 583 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷𝐸):𝐷1-1-onto𝐴)
211, 2, 3, 4, 9, 13, 20gsumf1o 19935 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝐺 Σg ((𝑥𝐴𝐶) ∘ (𝑦𝐷𝐸))))
22 eqidd 2737 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐷𝐸) = (𝑦𝐷𝐸))
23 eqidd 2737 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶))
2415, 22, 23fmptcos 7150 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∘ (𝑦𝐷𝐸)) = (𝑦𝐷𝐸 / 𝑥𝐶))
25 nfv 1913 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑦𝐷)
26 gsummptf1o.x . . . . . . 7 𝑥𝐻
2726a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑥𝐻)
28 gsummptf1o.i . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐸𝐶 = 𝐻)
2928adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑥 = 𝐸) → 𝐶 = 𝐻)
3025, 27, 14, 29csbiedf 3928 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐸 / 𝑥𝐶 = 𝐻)
3130mpteq2dva 5241 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐷𝐸 / 𝑥𝐶) = (𝑦𝐷𝐻))
3224, 31eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∘ (𝑦𝐷𝐸)) = (𝑦𝐷𝐻))
3332oveq2d 7448 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑥𝐴𝐶) ∘ (𝑦𝐷𝐸))) = (𝐺 Σg (𝑦𝐷𝐻)))
3421, 33eqtrd 2776 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑦𝐷𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wnfc 2889  wral 3060  ∃!wreu 3377  Vcvv 3479  csb 3898  wss 3950  cmpt 5224  ccom 5688  1-1-ontowf1o 6559  cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  Basecbs 17248  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  CMndccmn 19799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-cntz 19336  df-cmn 19801
This theorem is referenced by:  gsummpt2co  33052  gsumhashmul  33065  elrgspnsubrunlem1  33252  mdetpmtr1  33823
  Copyright terms: Public domain W3C validator