MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptf1o 18716
Description: Re-index a finite group sum using a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptf1o.x 𝑥𝐻
gsummptf1o.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptf1o.z 0 = (0g𝐺)
gsummptf1o.i (𝑥 = 𝐸𝐶 = 𝐻)
gsummptf1o.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptf1o.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsummptf1o.d (𝜑𝐹𝐵)
gsummptf1o.f ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐹)
gsummptf1o.e ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐸𝐴)
gsummptf1o.h ((𝜑𝑥𝐴) → ∃!𝑦𝐷 𝑥 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
gsummptf1o (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑦𝐷𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem gsummptf1o
StepHypRef Expression
1 gsummptf1o.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsummptf1o.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsummptf1o.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsummptf1o.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
5 gsummptf1o.d . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐵)
65adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹𝐵)
7 gsummptf1o.f . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐹)
86, 7sseldd 3829 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
98fmpttd 6635 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴𝐵)
10 eqid 2826 . . . 4 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
112fvexi 6448 . . . . 5 0 ∈ V
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑0 ∈ V)
1310, 4, 8, 12fsuppmptdm 8556 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) finSupp 0 )
14 gsummptf1o.e . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐸𝐴)
1514ralrimiva 3176 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐷 𝐸𝐴)
16 gsummptf1o.h . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃!𝑦𝐷 𝑥 = 𝐸)
1716ralrimiva 3176 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐷 𝑥 = 𝐸)
18 eqid 2826 . . . . 5 (𝑦𝐷𝐸) = (𝑦𝐷𝐸)
1918f1ompt 6631 . . . 4 ((𝑦𝐷𝐸):𝐷1-1-onto𝐴 ↔ (∀𝑦𝐷 𝐸𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐷 𝑥 = 𝐸))
2015, 17, 19sylanbrc 580 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷𝐸):𝐷1-1-onto𝐴)
211, 2, 3, 4, 9, 13, 20gsumf1o 18671 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝐺 Σg ((𝑥𝐴𝐶) ∘ (𝑦𝐷𝐸))))
22 eqidd 2827 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐷𝐸) = (𝑦𝐷𝐸))
23 eqidd 2827 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶))
2415, 22, 23fmptcos 6649 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∘ (𝑦𝐷𝐸)) = (𝑦𝐷𝐸 / 𝑥𝐶))
25 nfv 2015 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑦𝐷)
26 gsummptf1o.x . . . . . . 7 𝑥𝐻
2726a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑥𝐻)
28 gsummptf1o.i . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐸𝐶 = 𝐻)
2928adantl 475 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑥 = 𝐸) → 𝐶 = 𝐻)
3025, 27, 14, 29csbiedf 3779 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐸 / 𝑥𝐶 = 𝐻)
3130mpteq2dva 4968 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐷𝐸 / 𝑥𝐶) = (𝑦𝐷𝐻))
3224, 31eqtrd 2862 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∘ (𝑦𝐷𝐸)) = (𝑦𝐷𝐻))
3332oveq2d 6922 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑥𝐴𝐶) ∘ (𝑦𝐷𝐸))) = (𝐺 Σg (𝑦𝐷𝐻)))
3421, 33eqtrd 2862 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑦𝐷𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wnfc 2957  wral 3118  ∃!wreu 3120  Vcvv 3415  csb 3758  wss 3799  cmpt 4953  ccom 5347  1-1-ontowf1o 6123  cfv 6124  (class class class)co 6906  Fincfn 8223  Basecbs 16223  0gc0g 16454   Σg cgsu 16455  CMndccmn 18547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-oi 8685  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-seq 13097  df-hash 13412  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-cntz 18101  df-cmn 18549
This theorem is referenced by:  gsummpt2co  30326  mdetpmtr1  30435
  Copyright terms: Public domain W3C validator