Theorem gsummptf1o 20210

Description: Re-index a finite group sum using a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptf1o.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐻
gsummptf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptf1o.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptf1o.i	⊢ (𝑥 = 𝐸 → 𝐶 = 𝐻)
gsummptf1o.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptf1o.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummptf1o.d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
gsummptf1o.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐹)
gsummptf1o.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐸 ∈ 𝐴)
gsummptf1o.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
gsummptf1o	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)   𝐻(𝑥, 𝑦)   0 (𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem gsummptf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptf1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptf1o.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummptf1o.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummptf1o.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		gsummptf1o.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
7		gsummptf1o.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐹)
8	6, 7	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 7142	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶𝐵)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
11	2	fvexi 6925	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
13	10, 4, 8, 12	fsuppmptdm 9398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
14		gsummptf1o.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐸 ∈ 𝐴)
15	14	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝐸 ∈ 𝐴)
16		gsummptf1o.h	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝐸)
17	16	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝐸)
18		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸)
19	18	f1ompt 7138	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸):𝐷⟶1-1onto𝐴 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐷 𝐸 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝐸))
20	15, 17, 19	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸):𝐷⟶1-1onto𝐴)
21	1, 2, 3, 4, 9, 13, 20	gsumf1o 20163	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∘ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸))))
22		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸))
23		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
24	15, 22, 23	fmptcos 7159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∘ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ⦋𝐸 / 𝑥⦌𝐶))
25		nfv 1949	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)
26		gsummptf1o.x	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐻
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → Ⅎ𝑥𝐻)
28		gsummptf1o.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → 𝐶 = 𝐻)
29	28	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 𝐸) → 𝐶 = 𝐻)
30	25, 27, 14, 29	csbiedf 3881	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ⦋𝐸 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐻)
31	30	mpteq2dva 5202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ⦋𝐸 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻))
32	24, 31	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∘ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻))
33	32	oveq2d 7462	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∘ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸))) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻)))
34	21, 33	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911  ∀wral 3080  ∃!wreu 3367  Vcvv 3454  ⦋csb 3851   ⊆ wss 3900   ↦ cmpt 5190   ∘ ccom 5660  ⟶1-1ontowf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Fincfn 9004  Basecbs 17419  0_gc0g 17642   Σ_g cgsu 17643  CMndccmn 20027

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-hash 14505  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-cntz 19564  df-cmn 20029

This theorem is used by:  gsummpt2co  33685  gsummptp1  33694  gsumhashmul  33704  gsummulsubdishift1  33705  elrgspnsubrunlem1  33884  mdetpmtr1  34538