MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptf1o 19925
Description: Re-index a finite group sum using a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptf1o.x 𝑥𝐻
gsummptf1o.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptf1o.z 0 = (0g𝐺)
gsummptf1o.i (𝑥 = 𝐸𝐶 = 𝐻)
gsummptf1o.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptf1o.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsummptf1o.d (𝜑𝐹𝐵)
gsummptf1o.f ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐹)
gsummptf1o.e ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐸𝐴)
gsummptf1o.h ((𝜑𝑥𝐴) → ∃!𝑦𝐷 𝑥 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
gsummptf1o (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑦𝐷𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem gsummptf1o
StepHypRef Expression
1 gsummptf1o.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsummptf1o.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsummptf1o.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsummptf1o.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
5 gsummptf1o.d . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐵)
65adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹𝐵)
7 gsummptf1o.f . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐹)
86, 7sseldd 3983 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
98fmpttd 7130 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴𝐵)
10 eqid 2728 . . . 4 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
112fvexi 6916 . . . . 5 0 ∈ V
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑0 ∈ V)
1310, 4, 8, 12fsuppmptdm 9407 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) finSupp 0 )
14 gsummptf1o.e . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐸𝐴)
1514ralrimiva 3143 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐷 𝐸𝐴)
16 gsummptf1o.h . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃!𝑦𝐷 𝑥 = 𝐸)
1716ralrimiva 3143 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐷 𝑥 = 𝐸)
18 eqid 2728 . . . . 5 (𝑦𝐷𝐸) = (𝑦𝐷𝐸)
1918f1ompt 7126 . . . 4 ((𝑦𝐷𝐸):𝐷1-1-onto𝐴 ↔ (∀𝑦𝐷 𝐸𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐷 𝑥 = 𝐸))
2015, 17, 19sylanbrc 581 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷𝐸):𝐷1-1-onto𝐴)
211, 2, 3, 4, 9, 13, 20gsumf1o 19878 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝐺 Σg ((𝑥𝐴𝐶) ∘ (𝑦𝐷𝐸))))
22 eqidd 2729 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐷𝐸) = (𝑦𝐷𝐸))
23 eqidd 2729 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶))
2415, 22, 23fmptcos 7146 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∘ (𝑦𝐷𝐸)) = (𝑦𝐷𝐸 / 𝑥𝐶))
25 nfv 1909 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑦𝐷)
26 gsummptf1o.x . . . . . . 7 𝑥𝐻
2726a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑥𝐻)
28 gsummptf1o.i . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐸𝐶 = 𝐻)
2928adantl 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑥 = 𝐸) → 𝐶 = 𝐻)
3025, 27, 14, 29csbiedf 3925 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐸 / 𝑥𝐶 = 𝐻)
3130mpteq2dva 5252 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐷𝐸 / 𝑥𝐶) = (𝑦𝐷𝐻))
3224, 31eqtrd 2768 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∘ (𝑦𝐷𝐸)) = (𝑦𝐷𝐻))
3332oveq2d 7442 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑥𝐴𝐶) ∘ (𝑦𝐷𝐸))) = (𝐺 Σg (𝑦𝐷𝐻)))
3421, 33eqtrd 2768 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑦𝐷𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wnfc 2879  wral 3058  ∃!wreu 3372  Vcvv 3473  csb 3894  wss 3949  cmpt 5235  ccom 5686  1-1-ontowf1o 6552  cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  Basecbs 17187  0gc0g 17428   Σg cgsu 17429  CMndccmn 19742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-cntz 19275  df-cmn 19744
This theorem is referenced by:  gsummpt2co  32783  gsumhashmul  32791  mdetpmtr1  33457
  Copyright terms: Public domain W3C validator