MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmadugsumlemC Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpmadugsumlemC 21008
Description: Lemma C for cpmadugsum 21011. (Contributed by AV, 2-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmadugsum.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadugsum.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadugsum.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cpmadugsum.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadugsum.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadugsum.x 𝑋 = (var1𝑅)
cpmadugsum.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmadugsum.m · = ( ·𝑠𝑌)
cpmadugsum.r × = (.r𝑌)
cpmadugsum.1 1 = (1r𝑌)
Assertion
Ref Expression
cpmadugsumlemC (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   × ,𝑖   · ,𝑖   1 ,𝑖   𝑖,𝑏   𝑖,𝑠   𝑇,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑖,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑠,𝑏)   · (𝑠,𝑏)   × (𝑠,𝑏)   1 (𝑠,𝑏)   (𝑖,𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑋(𝑠,𝑏)   𝑌(𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cpmadugsumlemC
StepHypRef Expression
1 eqid 2799 . . 3 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
2 eqid 2799 . . 3 (0g𝑌) = (0g𝑌)
3 eqid 2799 . . 3 (+g𝑌) = (+g𝑌)
4 cpmadugsum.r . . 3 × = (.r𝑌)
5 crngring 18874 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
6 cpmadugsum.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Poly1𝑅)
76ply1ring 19940 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
98anim2i 611 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
10 cpmadugsum.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
1110matring 20574 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
129, 11syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ Ring)
13123adant3 1163 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Ring)
1413adantr 473 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ Ring)
15 ovexd 6912 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (0...𝑠) ∈ V)
16 cpmadugsum.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
17 cpmadugsum.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
18 cpmadugsum.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
1916, 17, 18, 6, 10mat2pmatbas 20859 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
205, 19syl3an2 1204 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
2120adantr 473 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
2293adant3 1163 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
2310matlmod 20560 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ LMod)
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ LMod)
2524ad2antrr 718 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑌 ∈ LMod)
2683ad2ant2 1165 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
27 eqid 2799 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
2827ringmgp 18869 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
2926, 28syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
3029ad2antrr 718 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
31 elfznn0 12687 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0...𝑠) → 𝑖 ∈ ℕ0)
3231adantl 474 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
3353ad2ant2 1165 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
34 cpmadugsum.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (var1𝑅)
35 eqid 2799 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3634, 6, 35vr1cl 19909 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
3733, 36syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
3837ad2antrr 718 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
3927, 35mgpbas 18811 . . . . . . 7 (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
40 cpmadugsum.e . . . . . . 7 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
4139, 40mulgnn0cl 17873 . . . . . 6 (((mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd ∧ 𝑖 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
4230, 32, 38, 41syl3anc 1491 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
436ply1crng 19890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
4443anim2i 611 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
45443adant3 1163 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
4610matsca2 20551 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
4847eqcomd 2805 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (Scalar‘𝑌) = 𝑃)
4948fveq2d 6415 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘𝑃))
5049eleq2d 2864 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ↔ (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)))
5150ad2antrr 718 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ↔ (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)))
5242, 51mpbird 249 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
53 simpll1 1270 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑁 ∈ Fin)
5433ad2antrr 718 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑅 ∈ Ring)
55 simplrl 796 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑠 ∈ ℕ0)
56 simprr 790 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))
5756anim1i 609 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
5817, 18, 6, 10, 16m2pmfzmap 20880 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠))) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
5953, 54, 55, 57, 58syl31anc 1493 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
60 eqid 2799 . . . . 5 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
61 cpmadugsum.m . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑌)
62 eqid 2799 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
631, 60, 61, 62lmodvscl 19198 . . . 4 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
6425, 52, 59, 63syl3anc 1491 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
65 simpl1 1243 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑁 ∈ Fin)
6633adantr 473 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑅 ∈ Ring)
67 simprl 788 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
68 eqid 2799 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))
69 fzfid 13027 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → (0...𝑠) ∈ Fin)
70 ovexd 6912 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ V)
71 fvexd 6426 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → (0g𝑌) ∈ V)
7268, 69, 70, 71fsuppmptdm 8528 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))) finSupp (0g𝑌))
7365, 66, 67, 56, 72syl31anc 1493 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))) finSupp (0g𝑌))
741, 2, 3, 4, 14, 15, 21, 64, 73gsummulc2 18923 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑇𝑀) × ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
7510matassa 20575 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ AssAlg)
7644, 75syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ AssAlg)
77763adant3 1163 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ AssAlg)
7877ad2antrr 718 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑌 ∈ AssAlg)
798adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Ring)
8079, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
81803adant3 1163 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
8281ad2antrr 718 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
8382, 32, 38, 41syl3anc 1491 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
8449ad2antrr 718 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘𝑃))
8583, 84eleqtrrd 2881 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
8620ad2antrr 718 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
871, 60, 62, 61, 4assaassr 19641 . . . . 5 ((𝑌 ∈ AssAlg ∧ ((𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑇𝑀) × ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))) = ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))
8878, 85, 86, 59, 87syl13anc 1492 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑇𝑀) × ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))) = ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))
8988mpteq2dva 4937 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑇𝑀) × ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
9089oveq2d 6894 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑇𝑀) × ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
9174, 90eqtr3d 2835 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3385   class class class wbr 4843  cmpt 4922  cfv 6101  (class class class)co 6878  𝑚 cmap 8095  Fincfn 8195   finSupp cfsupp 8517  0cc0 10224  0cn0 11580  ...cfz 12580  Basecbs 16184  +gcplusg 16267  .rcmulr 16268  Scalarcsca 16270   ·𝑠 cvsca 16271  0gc0g 16415   Σg cgsu 16416  Mndcmnd 17609  .gcmg 17856  mulGrpcmgp 18805  1rcur 18817  Ringcrg 18863  CRingccrg 18864  LModclmod 19181  AssAlgcasa 19632  var1cv1 19868  Poly1cpl1 19869   Mat cmat 20538   matToPolyMat cmat2pmat 20837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-ot 4377  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-ofr 7132  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-sup 8590  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-hom 16291  df-cco 16292  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-prds 16423  df-pws 16425  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-ghm 17971  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-cring 18866  df-subrg 19096  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-sra 19495  df-rgmod 19496  df-assa 19635  df-ascl 19637  df-psr 19679  df-mvr 19680  df-mpl 19681  df-opsr 19683  df-psr1 19872  df-vr1 19873  df-ply1 19874  df-dsmm 20401  df-frlm 20416  df-mamu 20515  df-mat 20539  df-mat2pmat 20840
This theorem is referenced by:  cpmadugsumlemF  21009
  Copyright terms: Public domain W3C validator