Theorem gsummptfidmsub 20170

Description: The difference of two group sums expressed as mappings with finite domain. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfidmsub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmsub.s	⊢ − = (-g‘𝐺)
gsummptfidmsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
gsummptfidmsub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummptfidmsub.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptfidmsub.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
gsummptfidmsub.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
gsummptfidmsub.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfidmsub	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, −

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem gsummptfidmsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfidmsub.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsummptfidmsub.s	. 2 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4		gsummptfidmsub.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
5		gsummptfidmsub.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		gsummptfidmsub.c	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
7		gsummptfidmsub.d	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
8		gsummptfidmsub.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
10		gsummptfidmsub.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷))
12		fvexd 6901	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ V)
13	8, 5, 6, 12	fsuppmptdm 9372	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝐺))
14	10, 5, 7, 12	fsuppmptdm 9372	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp (0g‘𝐺))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14	gsummptfssub 20169	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Fincfn 8977  Basecbs 17393  0_gc0g 17616   Σ_g cgsu 17617  -_gcsg 19152  Abelcabl 20001

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-hash 14479  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mhm 18984  df-submnd 18985  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-ghm 19434  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-abl 20003

This theorem is used by:  cpmadugsumlemF  23200  gsummulsubdishift1  33676