MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfidmsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptfidmsub 19686
Description: The difference of two group sums expressed as mappings with finite domain. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfidmsub.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmsub.s = (-g𝐺)
gsummptfidmsub.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
gsummptfidmsub.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsummptfidmsub.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
gsummptfidmsub.d ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
gsummptfidmsub.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
gsummptfidmsub.h 𝐻 = (𝑥𝐴𝐷)
Assertion
Ref Expression
gsummptfidmsub (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem gsummptfidmsub
StepHypRef Expression
1 gsummptfidmsub.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2737 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 gsummptfidmsub.s . 2 = (-g𝐺)
4 gsummptfidmsub.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
5 gsummptfidmsub.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 gsummptfidmsub.c . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
7 gsummptfidmsub.d . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
8 gsummptfidmsub.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
98a1i 11 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴𝐶))
10 gsummptfidmsub.h . . 3 𝐻 = (𝑥𝐴𝐷)
1110a1i 11 . 2 (𝜑𝐻 = (𝑥𝐴𝐷))
12 fvexd 6854 . . 3 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ V)
138, 5, 6, 12fsuppmptdm 9274 . 2 (𝜑𝐹 finSupp (0g𝐺))
1410, 5, 7, 12fsuppmptdm 9274 . 2 (𝜑𝐻 finSupp (0g𝐺))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14gsummptfssub 19685 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  cmpt 5186  cfv 6493  (class class class)co 7351  Fincfn 8841  Basecbs 17043  0gc0g 17281   Σg cgsu 17282  -gcsg 18710  Abelcabl 19522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-hash 14185  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-mhm 18561  df-submnd 18562  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-ghm 18965  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-abl 19524
This theorem is referenced by:  cpmadugsumlemF  22177
  Copyright terms: Public domain W3C validator