MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfidmsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptfidmsub 19718
Description: The difference of two group sums expressed as mappings with finite domain. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfidmsub.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmsub.s = (-g𝐺)
gsummptfidmsub.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
gsummptfidmsub.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsummptfidmsub.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
gsummptfidmsub.d ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
gsummptfidmsub.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
gsummptfidmsub.h 𝐻 = (𝑥𝐴𝐷)
Assertion
Ref Expression
gsummptfidmsub (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem gsummptfidmsub
StepHypRef Expression
1 gsummptfidmsub.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2736 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 gsummptfidmsub.s . 2 = (-g𝐺)
4 gsummptfidmsub.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
5 gsummptfidmsub.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 gsummptfidmsub.c . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
7 gsummptfidmsub.d . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
8 gsummptfidmsub.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
98a1i 11 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴𝐶))
10 gsummptfidmsub.h . . 3 𝐻 = (𝑥𝐴𝐷)
1110a1i 11 . 2 (𝜑𝐻 = (𝑥𝐴𝐷))
12 fvexd 6854 . . 3 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ V)
138, 5, 6, 12fsuppmptdm 9312 . 2 (𝜑𝐹 finSupp (0g𝐺))
1410, 5, 7, 12fsuppmptdm 9312 . 2 (𝜑𝐻 finSupp (0g𝐺))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14gsummptfssub 19717 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  cmpt 5186  cfv 6493  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  Basecbs 17075  0gc0g 17313   Σg cgsu 17314  -gcsg 18742  Abelcabl 19554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-seq 13899  df-hash 14223  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-mhm 18593  df-submnd 18594  df-grp 18743  df-minusg 18744  df-sbg 18745  df-ghm 18997  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-abl 19556
This theorem is referenced by:  cpmadugsumlemF  22209
  Copyright terms: Public domain W3C validator