Theorem gsummptfidmsub 20043

Description: The difference of two group sums expressed as mappings with finite domain. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfidmsub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmsub.s	⊢ − = (-g‘𝐺)
gsummptfidmsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
gsummptfidmsub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummptfidmsub.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptfidmsub.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
gsummptfidmsub.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
gsummptfidmsub.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfidmsub	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, −

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem gsummptfidmsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfidmsub.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsummptfidmsub.s	. 2 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4		gsummptfidmsub.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
5		gsummptfidmsub.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		gsummptfidmsub.c	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
7		gsummptfidmsub.d	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
8		gsummptfidmsub.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
10		gsummptfidmsub.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷))
12		fvexd 6900	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ V)
13	8, 5, 6, 12	fsuppmptdm 9339	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝐺))
14	10, 5, 7, 12	fsuppmptdm 9339	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp (0g‘𝐺))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14	gsummptfssub 20042	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Fincfn 8945  Basecbs 17286  0_gc0g 17509   Σ_g cgsu 17510  -_gcsg 19025  Abelcabl 19874

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-hash 14380  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-mhm 18864  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-ghm 19307  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-abl 19876

This theorem is used by:  cpmadugsumlemF  23062  gsummulsubdishift1  33411