MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfidmsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptfidmsub 19896
Description: The difference of two group sums expressed as mappings with finite domain. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfidmsub.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmsub.s = (-g𝐺)
gsummptfidmsub.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
gsummptfidmsub.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsummptfidmsub.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
gsummptfidmsub.d ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
gsummptfidmsub.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
gsummptfidmsub.h 𝐻 = (𝑥𝐴𝐷)
Assertion
Ref Expression
gsummptfidmsub (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem gsummptfidmsub
StepHypRef Expression
1 gsummptfidmsub.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2727 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 gsummptfidmsub.s . 2 = (-g𝐺)
4 gsummptfidmsub.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
5 gsummptfidmsub.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 gsummptfidmsub.c . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
7 gsummptfidmsub.d . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
8 gsummptfidmsub.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
98a1i 11 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴𝐶))
10 gsummptfidmsub.h . . 3 𝐻 = (𝑥𝐴𝐷)
1110a1i 11 . 2 (𝜑𝐻 = (𝑥𝐴𝐷))
12 fvexd 6906 . . 3 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ V)
138, 5, 6, 12fsuppmptdm 9391 . 2 (𝜑𝐹 finSupp (0g𝐺))
1410, 5, 7, 12fsuppmptdm 9391 . 2 (𝜑𝐻 finSupp (0g𝐺))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14gsummptfssub 19895 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3469  cmpt 5225  cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  Basecbs 17171  0gc0g 17412   Σg cgsu 17413  -gcsg 18883  Abelcabl 19727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729
This theorem is referenced by:  cpmadugsumlemF  22765
  Copyright terms: Public domain W3C validator