Theorem gsummptfidmsub 19904

Description: The difference of two group sums expressed as mappings with finite domain. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfidmsub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmsub.s	⊢ − = (-g‘𝐺)
gsummptfidmsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
gsummptfidmsub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummptfidmsub.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptfidmsub.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
gsummptfidmsub.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
gsummptfidmsub.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfidmsub	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, −

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem gsummptfidmsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfidmsub.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2725	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsummptfidmsub.s	. 2 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4		gsummptfidmsub.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
5		gsummptfidmsub.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		gsummptfidmsub.c	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
7		gsummptfidmsub.d	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
8		gsummptfidmsub.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
10		gsummptfidmsub.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷))
12		fvexd 6905	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ V)
13	8, 5, 6, 12	fsuppmptdm 9394	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝐺))
14	10, 5, 7, 12	fsuppmptdm 9394	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp (0g‘𝐺))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14	gsummptfssub 19903	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5227  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  Fincfn 8957  Basecbs 17174  0_gc0g 17415   Σ_g cgsu 17416  -_gcsg 18891  Abelcabl 19735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737

This theorem is referenced by:  cpmadugsumlemF  22791