Theorem gsummptfidmsplitres 19845

Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite domain into two parts using restrictions. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfidmsplit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmsplit.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfidmsplit.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfidmsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummptfidmsplit.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummptfidmsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
gsummptfidmsplit.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))
gsummptfidmsplitres.f	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfidmsplitres	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐷))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsummptfidmsplitres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfidmsplit.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2733	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsummptfidmsplit.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsummptfidmsplit.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsummptfidmsplit.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		gsummptfidmsplit.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		gsummptfidmsplitres.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)
8	6, 7	fmptd 7053	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
9		fvexd 6843	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ V)
10	7, 5, 6, 9	fsuppmptdm 9267	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝐺))
11		gsummptfidmsplit.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
12		gsummptfidmsplit.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))
13	1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11, 12	gsumsplit 19842	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∪ cun 3896   ∩ cin 3897  ∅c0 4282   ↦ cmpt 5174   ↾ cres 5621  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Fincfn 8875  Basecbs 17122  +_gcplusg 17163  0_gc0g 17345   Σ_g cgsu 17346  CMndccmn 19694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-hash 14240  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-cntz 19231  df-cmn 19696

This theorem is referenced by:  gsumpr  19869  mdetralt  22524