Theorem smadiadetlem3 22525

Description: Lemma 3 for smadiadet 22527. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marep01ma.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marep01ma.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marep01ma.r	⊢ 𝑅 ∈ CRing
marep01ma.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
marep01ma.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
smadiadetlem.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
smadiadetlem.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
madetminlem.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
madetminlem.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
madetminlem.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
smadiadetlem.w	⊢ 𝑊 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
smadiadetlem.z	⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))

Assertion

Ref	Expression
smadiadetlem3	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑛,𝐵   𝑖,𝑞,𝐾,𝑗,𝑛   𝑖,𝑀,𝑗,𝑛   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑖,𝑗,𝑛,𝑞   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   1 ,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛   𝑛,𝐺,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝,𝑖,𝑗   𝑞,𝑝   𝑛,𝑊,𝑝   𝐺,𝑝   𝑌,𝑝   𝑍,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   𝐵(𝑞)   𝑅(𝑞)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   · (𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   1 (𝑞,𝑝)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑞)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞)   0 (𝑞,𝑝)   𝑍(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞)

Proof of Theorem smadiadetlem3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		marep01ma.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝑅) = (Cntz‘𝑅)
4		marep01ma.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ CRing
5		crngring 20150	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
6		ringmnd 20148	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Mnd)
9		smadiadetlem.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
10		fvexd 6900	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ V)
11	9, 10	eqeltrid 2831	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑊 ∈ V)
12		marep01ma.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
13		marep01ma.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
14		marep01ma.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
15		smadiadetlem.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
16		smadiadetlem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
17		madetminlem.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
18		madetminlem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
19		madetminlem.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20		smadiadetlem.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
21	12, 13, 4, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 9, 20	smadiadetlem3lem1 22523	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))):𝑊⟶(Base‘𝑅))
22	12, 13, 4, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 9, 20	smadiadetlem3lem2 22524	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ran (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) ⊆ ((Cntz‘𝑅)‘ran (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
23		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) = (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))
24	12, 13	matrcl 22267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
25	24	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
27		diffi 9181	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
28		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
29		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
30	28, 29	symgbasfi 19298	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ Fin)
31	26, 27, 30	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ Fin)
32	9, 31	eqeltrid 2831	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑊 ∈ Fin)
33		ovexd 7440	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ 𝑊) → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) ∈ V)
34	2	fvexi 6899	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 0 ∈ V)
36	23, 32, 33, 35	fsuppmptdm 9376	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) finSupp 0 )
37		fveq1 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞‘𝐾) = (𝑝‘𝐾))
38	37	eqeq1d 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑝‘𝐾) = 𝐾))
39	38	cbvrabv 3436	. . . . 5 ⊢ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘𝐾) = 𝐾}
40		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
41	15, 39, 9, 40	symgfixf1o 19360	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))):{𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}–1-1-onto→𝑊)
42	25, 41	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))):{𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}–1-1-onto→𝑊)
43	1, 2, 3, 8, 11, 21, 22, 36, 42	gsumzf1o 19832	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) ∘ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))))
44		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
45		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∖ {𝐾}) = (𝑁 ∖ {𝐾})
46	15, 44, 9, 45	symgfixelsi 19355	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ 𝑊)
47	46	adantll 711	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ 𝑊)
48		eqidd 2727	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
49		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝) = ((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦))
50		fveq1 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑝‘𝑛) = (𝑦‘𝑛))
51	50	oveq2d 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛)))
52	51	mpteq2dv 5243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))) = (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛))))
53	52	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛)))))
54	49, 53	oveq12d 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) = (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛))))))
55	54	cbvmptv 5254	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛))))))
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛)))))))
57		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦) = ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
58		fveq1 6884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑦‘𝑛) = ((𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))‘𝑛))
59		fvres 6904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))‘𝑛) = (𝑝‘𝑛))
60	58, 59	sylan9eq 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑦‘𝑛) = (𝑝‘𝑛))
61	60	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))
62	61	mpteq2dva 5241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛))) = (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))
63	62	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛)))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))
64	57, 63	oveq12d 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛))))) = (((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))
65	47, 48, 56, 64	fmptco 7123	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) ∘ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))
66	15, 18, 20	copsgndif 21496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)))
67	25, 66	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)))
68	67	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝))
69	68	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))
70	69	mpteq2dva 5241	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))
71	65, 70	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) ∘ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))
72	71	oveq2d 7421	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) ∘ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
73	43, 72	eqtr2d 2767	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   ∖ cdif 3940  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   ↾ cres 5671   ∘ ccom 5673  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Fincfn 8941  Basecbs 17153  ._rcmulr 17207  0_gc0g 17394   Σ_g cgsu 17395  Mndcmnd 18667  Cntzccntz 19231  SymGrpcsymg 19286  pmSgncpsgn 19409  mulGrpcmgp 20039  1_rcur 20086  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139  ℤRHomczrh 21386   Mat cmat 22262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-splice 14706  df-reverse 14715  df-s2 14805  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-efmnd 18794  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-symg 19287  df-pmtr 19362  df-psgn 19411  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-mat 22263

This theorem is referenced by:  smadiadetlem4  22526