MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smadiadetlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smadiadetlem3 22040
Description: Lemma 3 for smadiadet 22042. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marep01ma.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marep01ma.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
marep01ma.r 𝑅 ∈ CRing
marep01ma.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
marep01ma.1 1 = (1rβ€˜π‘…)
smadiadetlem.p 𝑃 = (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π‘))
smadiadetlem.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘…)
madetminlem.y π‘Œ = (β„€RHomβ€˜π‘…)
madetminlem.s 𝑆 = (pmSgnβ€˜π‘)
madetminlem.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
smadiadetlem.w π‘Š = (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾})))
smadiadetlem.z 𝑍 = (pmSgnβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾}))
Assertion
Ref Expression
smadiadetlem3 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑛,𝐡   𝑖,π‘ž,𝐾,𝑗,𝑛   𝑖,𝑀,𝑗,𝑛   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑖,𝑗,𝑛,π‘ž   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   1 ,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛   𝑛,𝐺,𝑝   𝐡,𝑝   𝐾,𝑝   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝,𝑖,𝑗   π‘ž,𝑝   𝑛,π‘Š,𝑝   𝐺,𝑝   π‘Œ,𝑝   𝑍,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑛,π‘ž,𝑝)   𝐡(π‘ž)   𝑅(π‘ž)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑛,π‘ž,𝑝)   Β· (𝑖,𝑗,𝑛,π‘ž,𝑝)   1 (π‘ž,𝑝)   𝐺(𝑖,𝑗,π‘ž)   𝑀(π‘ž)   𝑁(π‘ž)   π‘Š(𝑖,𝑗,π‘ž)   π‘Œ(𝑖,𝑗,𝑛,π‘ž)   0 (π‘ž,𝑝)   𝑍(𝑖,𝑗,𝑛,π‘ž)

Proof of Theorem smadiadetlem3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 marep01ma.0 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
3 eqid 2733 . . 3 (Cntzβ€˜π‘…) = (Cntzβ€˜π‘…)
4 marep01ma.r . . . . 5 𝑅 ∈ CRing
5 crngring 19984 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6 ringmnd 19982 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
74, 5, 6mp2b 10 . . . 4 𝑅 ∈ Mnd
87a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
9 smadiadetlem.w . . . 4 π‘Š = (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾})))
10 fvexd 6861 . . . 4 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾}))) ∈ V)
119, 10eqeltrid 2838 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ π‘Š ∈ V)
12 marep01ma.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
13 marep01ma.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
14 marep01ma.1 . . . 4 1 = (1rβ€˜π‘…)
15 smadiadetlem.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π‘))
16 smadiadetlem.g . . . 4 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘…)
17 madetminlem.y . . . 4 π‘Œ = (β„€RHomβ€˜π‘…)
18 madetminlem.s . . . 4 𝑆 = (pmSgnβ€˜π‘)
19 madetminlem.t . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
20 smadiadetlem.z . . . 4 𝑍 = (pmSgnβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾}))
2112, 13, 4, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 9, 20smadiadetlem3lem1 22038 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))):π‘ŠβŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
2212, 13, 4, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 9, 20smadiadetlem3lem2 22039 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ ran (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) βŠ† ((Cntzβ€˜π‘…)β€˜ran (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))))
23 eqid 2733 . . . 4 (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) = (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))
2412, 13matrcl 21782 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝐡 β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
2524simpld 496 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ 𝐡 β†’ 𝑁 ∈ Fin)
2625adantr 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
27 diffi 9129 . . . . . 6 (𝑁 ∈ Fin β†’ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ∈ Fin)
28 eqid 2733 . . . . . . 7 (SymGrpβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾})) = (SymGrpβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾}))
29 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾}))) = (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾})))
3028, 29symgbasfi 19168 . . . . . 6 ((𝑁 βˆ– {𝐾}) ∈ Fin β†’ (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾}))) ∈ Fin)
3126, 27, 303syl 18 . . . . 5 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾}))) ∈ Fin)
329, 31eqeltrid 2838 . . . 4 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ π‘Š ∈ Fin)
33 ovexd 7396 . . . 4 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ π‘Š) β†’ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))) ∈ V)
342fvexi 6860 . . . . 5 0 ∈ V
3534a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ 0 ∈ V)
3623, 32, 33, 35fsuppmptdm 9324 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) finSupp 0 )
37 fveq1 6845 . . . . . . 7 (π‘ž = 𝑝 β†’ (π‘žβ€˜πΎ) = (π‘β€˜πΎ))
3837eqeq1d 2735 . . . . . 6 (π‘ž = 𝑝 β†’ ((π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾 ↔ (π‘β€˜πΎ) = 𝐾))
3938cbvrabv 3416 . . . . 5 {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (π‘β€˜πΎ) = 𝐾}
40 eqid 2733 . . . . 5 (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))) = (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})))
4115, 39, 9, 40symgfixf1o 19230 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))):{π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾}–1-1-ontoβ†’π‘Š)
4225, 41sylan 581 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))):{π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾}–1-1-ontoβ†’π‘Š)
431, 2, 3, 8, 11, 21, 22, 36, 42gsumzf1o 19697 . 2 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))) = (𝑅 Ξ£g ((𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) ∘ (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))))))
44 eqid 2733 . . . . . . 7 {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} = {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾}
45 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑁 βˆ– {𝐾}) = (𝑁 βˆ– {𝐾})
4615, 44, 9, 45symgfixelsi 19225 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾}) β†’ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})) ∈ π‘Š)
4746adantll 713 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾}) β†’ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})) ∈ π‘Š)
48 eqidd 2734 . . . . 5 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))) = (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))))
49 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑦 β†’ ((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘) = ((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘¦))
50 fveq1 6845 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑦 β†’ (π‘β€˜π‘›) = (π‘¦β€˜π‘›))
5150oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑦 β†’ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘¦β€˜π‘›)))
5251mpteq2dv 5211 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑦 β†’ (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘¦β€˜π‘›))))
5352oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))) = (𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘¦β€˜π‘›)))))
5449, 53oveq12d 7379 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑦 β†’ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))) = (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘¦β€˜π‘›))))))
5554cbvmptv 5222 . . . . . 6 (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) = (𝑦 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘¦β€˜π‘›))))))
5655a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) = (𝑦 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘¦β€˜π‘›)))))))
57 fveq2 6846 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})) β†’ ((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘¦) = ((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜(𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))))
58 fveq1 6845 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})) β†’ (π‘¦β€˜π‘›) = ((𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))β€˜π‘›))
59 fvres 6865 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) β†’ ((𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))β€˜π‘›) = (π‘β€˜π‘›))
6058, 59sylan9eq 2793 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾})) β†’ (π‘¦β€˜π‘›) = (π‘β€˜π‘›))
6160oveq2d 7377 . . . . . . . 8 ((𝑦 = (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾})) β†’ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘¦β€˜π‘›)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))
6261mpteq2dva 5209 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})) β†’ (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘¦β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))
6362oveq2d 7377 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘¦β€˜π‘›)))) = (𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))
6457, 63oveq12d 7379 . . . . 5 (𝑦 = (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})) β†’ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘¦β€˜π‘›))))) = (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜(𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})))(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))
6547, 48, 56, 64fmptco 7079 . . . 4 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ ((𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) ∘ (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})))) = (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜(𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})))(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))))
6615, 18, 20copsgndif 21030 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} β†’ ((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜(𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))) = ((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜π‘)))
6725, 66sylan 581 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} β†’ ((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜(𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))) = ((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜π‘)))
6867imp 408 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾}) β†’ ((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜(𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))) = ((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜π‘))
6968oveq1d 7376 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾}) β†’ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜(𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})))(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))) = (((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))
7069mpteq2dva 5209 . . . 4 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜(𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})))(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) = (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))))
7165, 70eqtrd 2773 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ ((𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) ∘ (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})))) = (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))))
7271oveq2d 7377 . 2 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) ∘ (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))))
7343, 72eqtr2d 2774 1 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911  {csn 4590   ↦ cmpt 5192   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  Fincfn 8889  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  0gc0g 17329   Ξ£g cgsu 17330  Mndcmnd 18564  Cntzccntz 19103  SymGrpcsymg 19156  pmSgncpsgn 19279  mulGrpcmgp 19904  1rcur 19921  Ringcrg 19972  CRingccrg 19973  β„€RHomczrh 20923   Mat cmat 21777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-concat 14468  df-s1 14493  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-splice 14647  df-reverse 14656  df-s2 14746  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-efmnd 18687  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-gim 19057  df-cntz 19105  df-oppg 19132  df-symg 19157  df-pmtr 19232  df-psgn 19281  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-rnghom 20156  df-subrg 20262  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-cnfld 20820  df-zring 20893  df-zrh 20927  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-mat 21778
This theorem is referenced by:  smadiadetlem4  22041
  Copyright terms: Public domain W3C validator