MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smadiadetlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smadiadetlem3 20966
Description: Lemma 3 for smadiadet 20968. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marep01ma.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marep01ma.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
marep01ma.r 𝑅 ∈ CRing
marep01ma.0 0 = (0g𝑅)
marep01ma.1 1 = (1r𝑅)
smadiadetlem.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
smadiadetlem.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
madetminlem.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
madetminlem.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
madetminlem.t · = (.r𝑅)
smadiadetlem.w 𝑊 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
smadiadetlem.z 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
Assertion
Ref Expression
smadiadetlem3 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))))) = (𝑅 Σg (𝑝𝑊 ↦ (((𝑌𝑍)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑛,𝐵   𝑖,𝑞,𝐾,𝑗,𝑛   𝑖,𝑀,𝑗,𝑛   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑖,𝑗,𝑛,𝑞   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   1 ,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛   𝑛,𝐺,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝,𝑖,𝑗   𝑞,𝑝   𝑛,𝑊,𝑝   𝐺,𝑝   𝑌,𝑝   𝑍,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   𝐵(𝑞)   𝑅(𝑞)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   · (𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   1 (𝑞,𝑝)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑞)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞)   0 (𝑞,𝑝)   𝑍(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞)

Proof of Theorem smadiadetlem3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2795 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 marep01ma.0 . . 3 0 = (0g𝑅)
3 eqid 2795 . . 3 (Cntz‘𝑅) = (Cntz‘𝑅)
4 marep01ma.r . . . . 5 𝑅 ∈ CRing
5 crngring 19003 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
6 ringmnd 19001 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
74, 5, 6mp2b 10 . . . 4 𝑅 ∈ Mnd
87a1i 11 . . 3 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → 𝑅 ∈ Mnd)
9 smadiadetlem.w . . . 4 𝑊 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
10 fvexd 6558 . . . 4 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ V)
119, 10syl5eqel 2887 . . 3 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → 𝑊 ∈ V)
12 marep01ma.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
13 marep01ma.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
14 marep01ma.1 . . . 4 1 = (1r𝑅)
15 smadiadetlem.p . . . 4 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
16 smadiadetlem.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
17 madetminlem.y . . . 4 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
18 madetminlem.s . . . 4 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
19 madetminlem.t . . . 4 · = (.r𝑅)
20 smadiadetlem.z . . . 4 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2112, 13, 4, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 9, 20smadiadetlem3lem1 20964 . . 3 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝑝𝑊 ↦ (((𝑌𝑍)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))))):𝑊⟶(Base‘𝑅))
2212, 13, 4, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 9, 20smadiadetlem3lem2 20965 . . 3 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → ran (𝑝𝑊 ↦ (((𝑌𝑍)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))))) ⊆ ((Cntz‘𝑅)‘ran (𝑝𝑊 ↦ (((𝑌𝑍)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))))))
23 eqid 2795 . . . 4 (𝑝𝑊 ↦ (((𝑌𝑍)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))))) = (𝑝𝑊 ↦ (((𝑌𝑍)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))))
2412, 13matrcl 20710 . . . . . . . 8 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
2524simpld 495 . . . . . . 7 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
2625adantr 481 . . . . . 6 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
27 diffi 8601 . . . . . 6 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
28 eqid 2795 . . . . . . 7 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
29 eqid 2795 . . . . . . 7 (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
3028, 29symgbasfi 18250 . . . . . 6 ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ Fin)
3126, 27, 303syl 18 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ Fin)
329, 31syl5eqel 2887 . . . 4 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → 𝑊 ∈ Fin)
33 ovexd 7055 . . . 4 (((𝑀𝐵𝐾𝑁) ∧ 𝑝𝑊) → (((𝑌𝑍)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))) ∈ V)
342fvexi 6557 . . . . 5 0 ∈ V
3534a1i 11 . . . 4 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → 0 ∈ V)
3623, 32, 33, 35fsuppmptdm 8695 . . 3 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝑝𝑊 ↦ (((𝑌𝑍)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))))) finSupp 0 )
37 fveq1 6542 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞𝐾) = (𝑝𝐾))
3837eqeq1d 2797 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑝𝐾) = 𝐾))
3938cbvrabv 3434 . . . . 5 {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝𝐾) = 𝐾}
40 eqid 2795 . . . . 5 (𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
4115, 39, 9, 40symgfixf1o 18304 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))):{𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}–1-1-onto𝑊)
4225, 41sylan 580 . . 3 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))):{𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}–1-1-onto𝑊)
431, 2, 3, 8, 11, 21, 22, 36, 42gsumzf1o 18758 . 2 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝𝑊 ↦ (((𝑌𝑍)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))))) = (𝑅 Σg ((𝑝𝑊 ↦ (((𝑌𝑍)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))))) ∘ (𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))))
44 eqid 2795 . . . . . . 7 {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
45 eqid 2795 . . . . . . 7 (𝑁 ∖ {𝐾}) = (𝑁 ∖ {𝐾})
4615, 44, 9, 45symgfixelsi 18299 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}) → (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ 𝑊)
4746adantll 710 . . . . 5 (((𝑀𝐵𝐾𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}) → (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ 𝑊)
48 eqidd 2796 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
49 fveq2 6543 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑦 → ((𝑌𝑍)‘𝑝) = ((𝑌𝑍)‘𝑦))
50 fveq1 6542 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑦 → (𝑝𝑛) = (𝑦𝑛))
5150oveq2d 7037 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑦 → (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦𝑛)))
5251mpteq2dv 5061 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑦 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))) = (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦𝑛))))
5352oveq2d 7037 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦𝑛)))))
5449, 53oveq12d 7039 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑦 → (((𝑌𝑍)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))) = (((𝑌𝑍)‘𝑦)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦𝑛))))))
5554cbvmptv 5066 . . . . . 6 (𝑝𝑊 ↦ (((𝑌𝑍)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))))) = (𝑦𝑊 ↦ (((𝑌𝑍)‘𝑦)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦𝑛))))))
5655a1i 11 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝑝𝑊 ↦ (((𝑌𝑍)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))))) = (𝑦𝑊 ↦ (((𝑌𝑍)‘𝑦)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦𝑛)))))))
57 fveq2 6543 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑌𝑍)‘𝑦) = ((𝑌𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
58 fveq1 6542 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑦𝑛) = ((𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))‘𝑛))
59 fvres 6562 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))‘𝑛) = (𝑝𝑛))
6058, 59sylan9eq 2851 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑦𝑛) = (𝑝𝑛))
6160oveq2d 7037 . . . . . . . 8 ((𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))
6261mpteq2dva 5060 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦𝑛))) = (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))
6362oveq2d 7037 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦𝑛)))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))))
6457, 63oveq12d 7039 . . . . 5 (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (((𝑌𝑍)‘𝑦)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦𝑛))))) = (((𝑌𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))))
6547, 48, 56, 64fmptco 6759 . . . 4 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → ((𝑝𝑊 ↦ (((𝑌𝑍)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))))) ∘ (𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))) = (𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))))))
6615, 18, 20copsgndif 20434 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} → ((𝑌𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌𝑆)‘𝑝)))
6725, 66sylan 580 . . . . . . 7 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} → ((𝑌𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌𝑆)‘𝑝)))
6867imp 407 . . . . . 6 (((𝑀𝐵𝐾𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}) → ((𝑌𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌𝑆)‘𝑝))
6968oveq1d 7036 . . . . 5 (((𝑀𝐵𝐾𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}) → (((𝑌𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))) = (((𝑌𝑆)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))))
7069mpteq2dva 5060 . . . 4 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))))) = (𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))))))
7165, 70eqtrd 2831 . . 3 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → ((𝑝𝑊 ↦ (((𝑌𝑍)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))))) ∘ (𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))) = (𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))))))
7271oveq2d 7037 . 2 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝑅 Σg ((𝑝𝑊 ↦ (((𝑌𝑍)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛)))))) ∘ (𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))))))
7343, 72eqtr2d 2832 1 ((𝑀𝐵𝐾𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))))) = (𝑅 Σg (𝑝𝑊 ↦ (((𝑌𝑍)‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝𝑛))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  {crab 3109  Vcvv 3437  cdif 3860  {csn 4476  cmpt 5045  cres 5450  ccom 5452  1-1-ontowf1o 6229  cfv 6230  (class class class)co 7021  cmpo 7023  Fincfn 8362  Basecbs 16317  .rcmulr 16400  0gc0g 16547   Σg cgsu 16548  Mndcmnd 17738  Cntzccntz 18191  SymGrpcsymg 18241  pmSgncpsgn 18353  mulGrpcmgp 18934  1rcur 18946  Ringcrg 18992  CRingccrg 18993  ℤRHomczrh 20334   Mat cmat 20705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-addf 10467  ax-mulf 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-xor 1497  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-ot 4485  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-supp 7687  df-tpos 7748  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-pm 8264  df-ixp 8316  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fsupp 8685  df-sup 8757  df-oi 8825  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-xnn0 11821  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-rp 12245  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-seq 13225  df-exp 13285  df-hash 13546  df-word 13713  df-lsw 13766  df-concat 13774  df-s1 13799  df-substr 13844  df-pfx 13874  df-splice 13953  df-reverse 13962  df-s2 14051  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-starv 16414  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ip 16417  df-tset 16418  df-ple 16419  df-ds 16421  df-unif 16422  df-hom 16423  df-cco 16424  df-0g 16549  df-gsum 16550  df-prds 16555  df-pws 16557  df-mre 16691  df-mrc 16692  df-acs 16694  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-mhm 17779  df-submnd 17780  df-grp 17869  df-minusg 17870  df-mulg 17987  df-subg 18035  df-ghm 18102  df-gim 18145  df-cntz 18193  df-oppg 18220  df-symg 18242  df-pmtr 18306  df-psgn 18355  df-cmn 18640  df-abl 18641  df-mgp 18935  df-ur 18947  df-ring 18994  df-cring 18995  df-rnghom 19162  df-subrg 19228  df-sra 19639  df-rgmod 19640  df-cnfld 20233  df-zring 20305  df-zrh 20338  df-dsmm 20563  df-frlm 20578  df-mat 20706
This theorem is referenced by:  smadiadetlem4  20967
  Copyright terms: Public domain W3C validator