Theorem smadiadetlem3 22169

Description: Lemma 3 for smadiadet 22171. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marep01ma.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marep01ma.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marep01ma.r	⊢ 𝑅 ∈ CRing
marep01ma.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
marep01ma.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
smadiadetlem.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
smadiadetlem.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
madetminlem.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
madetminlem.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
madetminlem.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
smadiadetlem.w	⊢ 𝑊 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
smadiadetlem.z	⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))

Assertion

Ref	Expression
smadiadetlem3	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑛,𝐵   𝑖,𝑞,𝐾,𝑗,𝑛   𝑖,𝑀,𝑗,𝑛   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑖,𝑗,𝑛,𝑞   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   1 ,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛   𝑛,𝐺,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝,𝑖,𝑗   𝑞,𝑝   𝑛,𝑊,𝑝   𝐺,𝑝   𝑌,𝑝   𝑍,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   𝐵(𝑞)   𝑅(𝑞)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   · (𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   1 (𝑞,𝑝)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑞)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞)   0 (𝑞,𝑝)   𝑍(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞)

Proof of Theorem smadiadetlem3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		marep01ma.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝑅) = (Cntz‘𝑅)
4		marep01ma.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ CRing
5		crngring 20067	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
6		ringmnd 20065	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Mnd)
9		smadiadetlem.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
10		fvexd 6906	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ V)
11	9, 10	eqeltrid 2837	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑊 ∈ V)
12		marep01ma.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
13		marep01ma.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
14		marep01ma.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
15		smadiadetlem.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
16		smadiadetlem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
17		madetminlem.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
18		madetminlem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
19		madetminlem.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20		smadiadetlem.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
21	12, 13, 4, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 9, 20	smadiadetlem3lem1 22167	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))):𝑊⟶(Base‘𝑅))
22	12, 13, 4, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 9, 20	smadiadetlem3lem2 22168	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ran (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) ⊆ ((Cntz‘𝑅)‘ran (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
23		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) = (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))
24	12, 13	matrcl 21911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
25	24	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
26	25	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
27		diffi 9178	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
28		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
29		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
30	28, 29	symgbasfi 19245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ Fin)
31	26, 27, 30	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ Fin)
32	9, 31	eqeltrid 2837	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑊 ∈ Fin)
33		ovexd 7443	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ 𝑊) → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) ∈ V)
34	2	fvexi 6905	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 0 ∈ V)
36	23, 32, 33, 35	fsuppmptdm 9373	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) finSupp 0 )
37		fveq1 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞‘𝐾) = (𝑝‘𝐾))
38	37	eqeq1d 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑝‘𝐾) = 𝐾))
39	38	cbvrabv 3442	. . . . 5 ⊢ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘𝐾) = 𝐾}
40		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
41	15, 39, 9, 40	symgfixf1o 19307	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))):{𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}–1-1-onto→𝑊)
42	25, 41	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))):{𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}–1-1-onto→𝑊)
43	1, 2, 3, 8, 11, 21, 22, 36, 42	gsumzf1o 19779	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) ∘ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))))
44		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
45		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∖ {𝐾}) = (𝑁 ∖ {𝐾})
46	15, 44, 9, 45	symgfixelsi 19302	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ 𝑊)
47	46	adantll 712	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ 𝑊)
48		eqidd 2733	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
49		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝) = ((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦))
50		fveq1 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑝‘𝑛) = (𝑦‘𝑛))
51	50	oveq2d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛)))
52	51	mpteq2dv 5250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))) = (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛))))
53	52	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛)))))
54	49, 53	oveq12d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) = (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛))))))
55	54	cbvmptv 5261	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛))))))
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛)))))))
57		fveq2 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦) = ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
58		fveq1 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑦‘𝑛) = ((𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))‘𝑛))
59		fvres 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))‘𝑛) = (𝑝‘𝑛))
60	58, 59	sylan9eq 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑦‘𝑛) = (𝑝‘𝑛))
61	60	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))
62	61	mpteq2dva 5248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛))) = (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))
63	62	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛)))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))
64	57, 63	oveq12d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛))))) = (((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))
65	47, 48, 56, 64	fmptco 7126	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) ∘ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))
66	15, 18, 20	copsgndif 21155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)))
67	25, 66	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)))
68	67	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝))
69	68	oveq1d 7423	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))
70	69	mpteq2dva 5248	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))
71	65, 70	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) ∘ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))
72	71	oveq2d 7424	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) ∘ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
73	43, 72	eqtr2d 2773	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   ∖ cdif 3945  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5678   ∘ ccom 5680  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  Fincfn 8938  Basecbs 17143  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17384   Σ_g cgsu 17385  Mndcmnd 18624  Cntzccntz 19178  SymGrpcsymg 19233  pmSgncpsgn 19356  mulGrpcmgp 19986  1_rcur 20003  Ringcrg 20055  CRingccrg 20056  ℤRHomczrh 21048   Mat cmat 21906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512  df-concat 14520  df-s1 14545  df-substr 14590  df-pfx 14620  df-splice 14699  df-reverse 14708  df-s2 14798  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-efmnd 18749  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-gim 19132  df-cntz 19180  df-oppg 19209  df-symg 19234  df-pmtr 19309  df-psgn 19358  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zrh 21052  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-mat 21907

This theorem is referenced by:  smadiadetlem4  22170