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Theorem smadiadetlem3 22588
Description: Lemma 3 for smadiadet 22590. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marep01ma.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marep01ma.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
marep01ma.r 𝑅 ∈ CRing
marep01ma.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
marep01ma.1 1 = (1rβ€˜π‘…)
smadiadetlem.p 𝑃 = (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π‘))
smadiadetlem.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘…)
madetminlem.y π‘Œ = (β„€RHomβ€˜π‘…)
madetminlem.s 𝑆 = (pmSgnβ€˜π‘)
madetminlem.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
smadiadetlem.w π‘Š = (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾})))
smadiadetlem.z 𝑍 = (pmSgnβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾}))
Assertion
Ref Expression
smadiadetlem3 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑛,𝐡   𝑖,π‘ž,𝐾,𝑗,𝑛   𝑖,𝑀,𝑗,𝑛   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑖,𝑗,𝑛,π‘ž   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   1 ,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛   𝑛,𝐺,𝑝   𝐡,𝑝   𝐾,𝑝   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝,𝑖,𝑗   π‘ž,𝑝   𝑛,π‘Š,𝑝   𝐺,𝑝   π‘Œ,𝑝   𝑍,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑛,π‘ž,𝑝)   𝐡(π‘ž)   𝑅(π‘ž)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑛,π‘ž,𝑝)   Β· (𝑖,𝑗,𝑛,π‘ž,𝑝)   1 (π‘ž,𝑝)   𝐺(𝑖,𝑗,π‘ž)   𝑀(π‘ž)   𝑁(π‘ž)   π‘Š(𝑖,𝑗,π‘ž)   π‘Œ(𝑖,𝑗,𝑛,π‘ž)   0 (π‘ž,𝑝)   𝑍(𝑖,𝑗,𝑛,π‘ž)

Proof of Theorem smadiadetlem3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . 3 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 marep01ma.0 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
3 eqid 2725 . . 3 (Cntzβ€˜π‘…) = (Cntzβ€˜π‘…)
4 marep01ma.r . . . . 5 𝑅 ∈ CRing
5 crngring 20189 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6 ringmnd 20187 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
74, 5, 6mp2b 10 . . . 4 𝑅 ∈ Mnd
87a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
9 smadiadetlem.w . . . 4 π‘Š = (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾})))
10 fvexd 6907 . . . 4 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾}))) ∈ V)
119, 10eqeltrid 2829 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ π‘Š ∈ V)
12 marep01ma.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
13 marep01ma.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
14 marep01ma.1 . . . 4 1 = (1rβ€˜π‘…)
15 smadiadetlem.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π‘))
16 smadiadetlem.g . . . 4 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘…)
17 madetminlem.y . . . 4 π‘Œ = (β„€RHomβ€˜π‘…)
18 madetminlem.s . . . 4 𝑆 = (pmSgnβ€˜π‘)
19 madetminlem.t . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
20 smadiadetlem.z . . . 4 𝑍 = (pmSgnβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾}))
2112, 13, 4, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 9, 20smadiadetlem3lem1 22586 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))):π‘ŠβŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
2212, 13, 4, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 9, 20smadiadetlem3lem2 22587 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ ran (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) βŠ† ((Cntzβ€˜π‘…)β€˜ran (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))))
23 eqid 2725 . . . 4 (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) = (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))
2412, 13matrcl 22330 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝐡 β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
2524simpld 493 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ 𝐡 β†’ 𝑁 ∈ Fin)
2625adantr 479 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
27 diffi 9202 . . . . . 6 (𝑁 ∈ Fin β†’ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ∈ Fin)
28 eqid 2725 . . . . . . 7 (SymGrpβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾})) = (SymGrpβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾}))
29 eqid 2725 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾}))) = (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾})))
3028, 29symgbasfi 19337 . . . . . 6 ((𝑁 βˆ– {𝐾}) ∈ Fin β†’ (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾}))) ∈ Fin)
3126, 27, 303syl 18 . . . . 5 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾}))) ∈ Fin)
329, 31eqeltrid 2829 . . . 4 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ π‘Š ∈ Fin)
33 ovexd 7451 . . . 4 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ π‘Š) β†’ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))) ∈ V)
342fvexi 6906 . . . . 5 0 ∈ V
3534a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ 0 ∈ V)
3623, 32, 33, 35fsuppmptdm 9399 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) finSupp 0 )
37 fveq1 6891 . . . . . . 7 (π‘ž = 𝑝 β†’ (π‘žβ€˜πΎ) = (π‘β€˜πΎ))
3837eqeq1d 2727 . . . . . 6 (π‘ž = 𝑝 β†’ ((π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾 ↔ (π‘β€˜πΎ) = 𝐾))
3938cbvrabv 3430 . . . . 5 {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (π‘β€˜πΎ) = 𝐾}
40 eqid 2725 . . . . 5 (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))) = (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})))
4115, 39, 9, 40symgfixf1o 19399 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))):{π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾}–1-1-ontoβ†’π‘Š)
4225, 41sylan 578 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))):{π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾}–1-1-ontoβ†’π‘Š)
431, 2, 3, 8, 11, 21, 22, 36, 42gsumzf1o 19871 . 2 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))) = (𝑅 Ξ£g ((𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) ∘ (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))))))
44 eqid 2725 . . . . . . 7 {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} = {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾}
45 eqid 2725 . . . . . . 7 (𝑁 βˆ– {𝐾}) = (𝑁 βˆ– {𝐾})
4615, 44, 9, 45symgfixelsi 19394 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾}) β†’ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})) ∈ π‘Š)
4746adantll 712 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾}) β†’ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})) ∈ π‘Š)
48 eqidd 2726 . . . . 5 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))) = (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))))
49 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑦 β†’ ((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘) = ((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘¦))
50 fveq1 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑦 β†’ (π‘β€˜π‘›) = (π‘¦β€˜π‘›))
5150oveq2d 7432 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑦 β†’ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘¦β€˜π‘›)))
5251mpteq2dv 5245 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑦 β†’ (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘¦β€˜π‘›))))
5352oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))) = (𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘¦β€˜π‘›)))))
5449, 53oveq12d 7434 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑦 β†’ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))) = (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘¦β€˜π‘›))))))
5554cbvmptv 5256 . . . . . 6 (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) = (𝑦 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘¦β€˜π‘›))))))
5655a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) = (𝑦 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘¦β€˜π‘›)))))))
57 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})) β†’ ((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘¦) = ((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜(𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))))
58 fveq1 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})) β†’ (π‘¦β€˜π‘›) = ((𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))β€˜π‘›))
59 fvres 6911 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) β†’ ((𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))β€˜π‘›) = (π‘β€˜π‘›))
6058, 59sylan9eq 2785 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾})) β†’ (π‘¦β€˜π‘›) = (π‘β€˜π‘›))
6160oveq2d 7432 . . . . . . . 8 ((𝑦 = (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾})) β†’ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘¦β€˜π‘›)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))
6261mpteq2dva 5243 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})) β†’ (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘¦β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))
6362oveq2d 7432 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘¦β€˜π‘›)))) = (𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))
6457, 63oveq12d 7434 . . . . 5 (𝑦 = (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})) β†’ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘¦β€˜π‘›))))) = (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜(𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})))(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))
6547, 48, 56, 64fmptco 7134 . . . 4 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ ((𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) ∘ (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})))) = (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜(𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})))(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))))
6615, 18, 20copsgndif 21539 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} β†’ ((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜(𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))) = ((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜π‘)))
6725, 66sylan 578 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} β†’ ((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜(𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))) = ((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜π‘)))
6867imp 405 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾}) β†’ ((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜(𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))) = ((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜π‘))
6968oveq1d 7431 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾}) β†’ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜(𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})))(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))) = (((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))
7069mpteq2dva 5243 . . . 4 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜(𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})))(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) = (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))))
7165, 70eqtrd 2765 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ ((𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) ∘ (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾})))) = (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))))
7271oveq2d 7432 . 2 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) ∘ (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (𝑝 β†Ύ (𝑁 βˆ– {𝐾}))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))))
7343, 72eqtr2d 2766 1 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑝 ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ (π‘žβ€˜πΎ) = 𝐾} ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3936  {csn 4624   ↦ cmpt 5226   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  Fincfn 8962  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  0gc0g 17420   Ξ£g cgsu 17421  Mndcmnd 18693  Cntzccntz 19270  SymGrpcsymg 19325  pmSgncpsgn 19448  mulGrpcmgp 20078  1rcur 20125  Ringcrg 20177  CRingccrg 20178  β„€RHomczrh 21429   Mat cmat 22325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-word 14497  df-lsw 14545  df-concat 14553  df-s1 14578  df-substr 14623  df-pfx 14653  df-splice 14732  df-reverse 14741  df-s2 14831  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-efmnd 18825  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-gim 19217  df-cntz 19272  df-oppg 19301  df-symg 19326  df-pmtr 19401  df-psgn 19450  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-rhm 20415  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-cnfld 21284  df-zring 21377  df-zrh 21433  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-mat 22326
This theorem is referenced by:  smadiadetlem4  22589
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