Theorem smadiadetlem3 22555

Description: Lemma 3 for smadiadet 22557. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marep01ma.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marep01ma.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marep01ma.r	⊢ 𝑅 ∈ CRing
marep01ma.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
marep01ma.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
smadiadetlem.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
smadiadetlem.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
madetminlem.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
madetminlem.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
madetminlem.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
smadiadetlem.w	⊢ 𝑊 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
smadiadetlem.z	⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))

Assertion

Ref	Expression
smadiadetlem3	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑛,𝐵   𝑖,𝑞,𝐾,𝑗,𝑛   𝑖,𝑀,𝑗,𝑛   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑖,𝑗,𝑛,𝑞   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   1 ,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛   𝑛,𝐺,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝,𝑖,𝑗   𝑞,𝑝   𝑛,𝑊,𝑝   𝐺,𝑝   𝑌,𝑝   𝑍,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   𝐵(𝑞)   𝑅(𝑞)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   · (𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   1 (𝑞,𝑝)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑞)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞)   0 (𝑞,𝑝)   𝑍(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞)

Proof of Theorem smadiadetlem3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		marep01ma.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝑅) = (Cntz‘𝑅)
4		marep01ma.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ CRing
5		crngring 20154	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
6		ringmnd 20152	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Mnd)
9		smadiadetlem.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
10		fvexd 6873	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ V)
11	9, 10	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑊 ∈ V)
12		marep01ma.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
13		marep01ma.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
14		marep01ma.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
15		smadiadetlem.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
16		smadiadetlem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
17		madetminlem.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
18		madetminlem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
19		madetminlem.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20		smadiadetlem.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
21	12, 13, 4, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 9, 20	smadiadetlem3lem1 22553	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))):𝑊⟶(Base‘𝑅))
22	12, 13, 4, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 9, 20	smadiadetlem3lem2 22554	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ran (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) ⊆ ((Cntz‘𝑅)‘ran (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
23		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) = (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))
24	12, 13	matrcl 22299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
25	24	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
27		diffi 9139	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
28		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
29		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
30	28, 29	symgbasfi 19309	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ Fin)
31	26, 27, 30	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ Fin)
32	9, 31	eqeltrid 2832	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑊 ∈ Fin)
33		ovexd 7422	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ 𝑊) → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) ∈ V)
34	2	fvexi 6872	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 0 ∈ V)
36	23, 32, 33, 35	fsuppmptdm 9327	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) finSupp 0 )
37		fveq1 6857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞‘𝐾) = (𝑝‘𝐾))
38	37	eqeq1d 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑝‘𝐾) = 𝐾))
39	38	cbvrabv 3416	. . . . 5 ⊢ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘𝐾) = 𝐾}
40		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
41	15, 39, 9, 40	symgfixf1o 19370	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))):{𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}–1-1-onto→𝑊)
42	25, 41	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))):{𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}–1-1-onto→𝑊)
43	1, 2, 3, 8, 11, 21, 22, 36, 42	gsumzf1o 19842	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) ∘ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))))
44		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
45		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∖ {𝐾}) = (𝑁 ∖ {𝐾})
46	15, 44, 9, 45	symgfixelsi 19365	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ 𝑊)
47	46	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ 𝑊)
48		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
49		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝) = ((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦))
50		fveq1 6857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑝‘𝑛) = (𝑦‘𝑛))
51	50	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛)))
52	51	mpteq2dv 5201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))) = (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛))))
53	52	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛)))))
54	49, 53	oveq12d 7405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) = (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛))))))
55	54	cbvmptv 5211	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛))))))
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛)))))))
57		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦) = ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
58		fveq1 6857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑦‘𝑛) = ((𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))‘𝑛))
59		fvres 6877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))‘𝑛) = (𝑝‘𝑛))
60	58, 59	sylan9eq 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑦‘𝑛) = (𝑝‘𝑛))
61	60	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))
62	61	mpteq2dva 5200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛))) = (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))
63	62	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛)))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))
64	57, 63	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛))))) = (((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))
65	47, 48, 56, 64	fmptco 7101	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) ∘ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))
66	15, 18, 20	copsgndif 21512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)))
67	25, 66	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)))
68	67	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝))
69	68	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))
70	69	mpteq2dva 5200	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))
71	65, 70	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) ∘ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))
72	71	oveq2d 7403	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) ∘ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
73	43, 72	eqtr2d 2765	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911  {csn 4589   ↦ cmpt 5188   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  Fincfn 8918  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18661  Cntzccntz 19247  SymGrpcsymg 19299  pmSgncpsgn 19419  mulGrpcmgp 20049  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  CRingccrg 20143  ℤRHomczrh 21409   Mat cmat 22294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-addf 11147  ax-mulf 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-word 14479  df-lsw 14528  df-concat 14536  df-s1 14561  df-substr 14606  df-pfx 14636  df-splice 14715  df-reverse 14724  df-s2 14814  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-efmnd 18796  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-gim 19191  df-cntz 19249  df-oppg 19278  df-symg 19300  df-pmtr 19372  df-psgn 19421  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-rhm 20381  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-cnfld 21265  df-zring 21357  df-zrh 21413  df-dsmm 21641  df-frlm 21656  df-mat 22295

This theorem is referenced by:  smadiadetlem4  22556