Theorem gsumzunsnd 19887

Description: Append an element to a finite group sum, more general version of gsumunsnd 19889. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzunsnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzunsnd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumzunsnd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzunsnd.f	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)
gsumzunsnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzunsnd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumzunsnd.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzunsnd.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumzunsnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumzunsnd.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
gsumzunsnd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumzunsnd.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
gsumzunsnd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem gsumzunsnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzunsnd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsumzunsnd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumzunsnd.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5		gsumzunsnd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsumzunsnd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		snfi 8982	. . . 4 ⊢ {𝑀} ∈ Fin
8		unfi 9097	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
10		elun 4105	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀}))
11		gsumzunsnd.x	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		elsni 4597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
13		gsumzunsnd.s	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
14	12, 13	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 = 𝑌)
15		gsumzunsnd.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	14, 16	eqeltrd 2836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	11, 17	jaodan 959	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
19	10, 18	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		gsumzunsnd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)
21	19, 20	fmptd 7059	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 ∪ {𝑀})⟶𝐵)
22		gsumzunsnd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
23	11	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
24	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	13, 24	eqeltrd 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 ∈ 𝐵)
26	25	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
27	12, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
28	23, 27	jaoi 857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀}) → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
29	10, 28	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
30	29	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
31		fvexd 6849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ V)
32	20, 9, 30, 31	fsuppmptdm 9281	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝐺))
33		gsumzunsnd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
34		disjsn 4668	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
35	33, 34	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
36		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) = (𝐴 ∪ {𝑀}))
37	1, 2, 3, 4, 5, 9, 21, 22, 32, 35, 36	gsumzsplit 19858	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑀}))))
38	20	reseq1i 5934	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐴) = ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ 𝐴)
39		ssun1 4130	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀})
40		resmpt 5996	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀}) → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
41	39, 40	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
42	38, 41	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
43	42	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))
44	20	reseq1i 5934	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ {𝑀}) = ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ {𝑀})
45		ssun2 4131	. . . . . 6 ⊢ {𝑀} ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀})
46		resmpt 5996	. . . . . 6 ⊢ ({𝑀} ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀}) → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
47	45, 46	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
48	44, 47	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
49	48	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑀})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)))
50	43, 49	oveq12d 7376	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑀}))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
51		gsumzunsnd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
52	1, 5, 51, 15, 13	gsumsnd 19883	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
53	52	oveq2d 7374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))
54	37, 50, 53	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∪ cun 3899   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  {csn 4580   ↦ cmpt 5179  ran crn 5625   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Fincfn 8885  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  0_gc0g 17361   Σ_g cgsu 17362  Mndcmnd 18661  Cntzccntz 19246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-hash 14256  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19248  df-cmn 19713

This theorem is referenced by:  mplcoe5  21997  gsumzresunsn  33147