Theorem gsumzunsnd 20021

Description: Append an element to a finite group sum, more general version of gsumunsnd 20023. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzunsnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzunsnd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumzunsnd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzunsnd.f	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)
gsumzunsnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzunsnd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumzunsnd.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzunsnd.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumzunsnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumzunsnd.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
gsumzunsnd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumzunsnd.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
gsumzunsnd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem gsumzunsnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzunsnd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsumzunsnd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumzunsnd.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5		gsumzunsnd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsumzunsnd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		snfi 9036	. . . 4 ⊢ {𝑀} ∈ Fin
8		unfi 9151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancl 597	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
10		elun 4107	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀}))
11		gsumzunsnd.x	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		elsni 4606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
13		gsumzunsnd.s	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
14	12, 13	sylan2 604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 = 𝑌)
15		gsumzunsnd.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
16	15	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	14, 16	eqeltrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	11, 17	jaodan 972	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
19	10, 18	sylan2b 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		gsumzunsnd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)
21	19, 20	fmptd 7109	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 ∪ {𝑀})⟶𝐵)
22		gsumzunsnd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
23	11	expcom 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
24	15	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	13, 24	eqeltrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 ∈ 𝐵)
26	25	expcom 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
27	12, 26	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
28	23, 27	jaoi 870	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀}) → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
29	10, 28	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
30	29	impcom 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
31		fvexd 6896	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ V)
32	20, 9, 30, 31	fsuppmptdm 9332	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝐺))
33		gsumzunsnd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
34		disjsn 4677	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
35	33, 34	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
36		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) = (𝐴 ∪ {𝑀}))
37	1, 2, 3, 4, 5, 9, 21, 22, 32, 35, 36	gsumzsplit 19992	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑀}))))
38	20	reseq1i 5974	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐴) = ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ 𝐴)
39		ssun1 4131	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀})
40		resmpt 6039	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀}) → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
41	39, 40	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
42	38, 41	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
43	42	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))
44	20	reseq1i 5974	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ {𝑀}) = ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ {𝑀})
45		ssun2 4132	. . . . . 6 ⊢ {𝑀} ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀})
46		resmpt 6039	. . . . . 6 ⊢ ({𝑀} ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀}) → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
47	45, 46	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
48	44, 47	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
49	48	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑀})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)))
50	43, 49	oveq12d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑀}))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
51		gsumzunsnd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
52	1, 5, 51, 15, 13	gsumsnd 20017	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
53	52	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))
54	37, 50, 53	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4589   ↦ cmpt 5192  ran crn 5662   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  0_gc0g 17487   Σ_g cgsu 17488  Mndcmnd 18787  Cntzccntz 19380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847

This theorem is referenced by:  mplcoe5  22191  gsumzresunsn  33382