Theorem gsumzunsnd 19997

Description: Append an element to a finite group sum, more general version of gsumunsnd 19999. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzunsnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzunsnd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumzunsnd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzunsnd.f	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)
gsumzunsnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzunsnd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumzunsnd.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzunsnd.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumzunsnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumzunsnd.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
gsumzunsnd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumzunsnd.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
gsumzunsnd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem gsumzunsnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzunsnd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsumzunsnd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumzunsnd.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5		gsumzunsnd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsumzunsnd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		snfi 9025	. . . 4 ⊢ {𝑀} ∈ Fin
8		unfi 9140	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancl 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
10		elun 4107	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀}))
11		gsumzunsnd.x	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		elsni 4600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
13		gsumzunsnd.s	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
14	12, 13	sylan2 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 = 𝑌)
15		gsumzunsnd.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
16	15	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	14, 16	eqeltrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	11, 17	jaodan 970	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
19	10, 18	sylan2b 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		gsumzunsnd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)
21	19, 20	fmptd 7096	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 ∪ {𝑀})⟶𝐵)
22		gsumzunsnd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
23	11	expcom 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
24	15	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	13, 24	eqeltrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 ∈ 𝐵)
26	25	expcom 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
27	12, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
28	23, 27	jaoi 868	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀}) → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
29	10, 28	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
30	29	impcom 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
31		fvexd 6883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ V)
32	20, 9, 30, 31	fsuppmptdm 9323	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝐺))
33		gsumzunsnd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
34		disjsn 4671	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
35	33, 34	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
36		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) = (𝐴 ∪ {𝑀}))
37	1, 2, 3, 4, 5, 9, 21, 22, 32, 35, 36	gsumzsplit 19968	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑀}))))
38	20	reseq1i 5962	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐴) = ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ 𝐴)
39		ssun1 4131	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀})
40		resmpt 6027	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀}) → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
41	39, 40	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
42	38, 41	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
43	42	oveq2d 7413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))
44	20	reseq1i 5962	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ {𝑀}) = ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ {𝑀})
45		ssun2 4132	. . . . . 6 ⊢ {𝑀} ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀})
46		resmpt 6027	. . . . . 6 ⊢ ({𝑀} ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀}) → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
47	45, 46	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
48	44, 47	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
49	48	oveq2d 7413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑀})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)))
50	43, 49	oveq12d 7415	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑀}))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
51		gsumzunsnd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
52	1, 5, 51, 15, 13	gsumsnd 19993	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
53	52	oveq2d 7413	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))
54	37, 50, 53	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4583   ↦ cmpt 5182  ran crn 5649   ↾ cres 5650  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  Fincfn 8928  Basecbs 17246  +_gcplusg 17287  0_gc0g 17469   Σ_g cgsu 17470  Mndcmnd 18769  Cntzccntz 19356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-of 7661  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8142  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-fsupp 9309  df-oi 9459  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14016  df-hash 14345  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-0g 17471  df-gsum 17472  df-mre 17615  df-mrc 17616  df-acs 17618  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-mulg 19111  df-cntz 19358  df-cmn 19823

This theorem is referenced by:  mplcoe5  22094  gsumzresunsn  33243