Theorem gsumzunsnd 19926

Description: Append an element to a finite group sum, more general version of gsumunsnd 19928. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzunsnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzunsnd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumzunsnd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzunsnd.f	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)
gsumzunsnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzunsnd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumzunsnd.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzunsnd.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumzunsnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumzunsnd.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
gsumzunsnd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumzunsnd.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
gsumzunsnd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem gsumzunsnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzunsnd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsumzunsnd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumzunsnd.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5		gsumzunsnd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsumzunsnd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		snfi 8985	. . . 4 ⊢ {𝑀} ∈ Fin
8		unfi 9100	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
10		elun 4094	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀}))
11		gsumzunsnd.x	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		elsni 4585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
13		gsumzunsnd.s	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
14	12, 13	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 = 𝑌)
15		gsumzunsnd.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	14, 16	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	11, 17	jaodan 960	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
19	10, 18	sylan2b 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		gsumzunsnd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)
21	19, 20	fmptd 7062	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 ∪ {𝑀})⟶𝐵)
22		gsumzunsnd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
23	11	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
24	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	13, 24	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 ∈ 𝐵)
26	25	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
27	12, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
28	23, 27	jaoi 858	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀}) → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
29	10, 28	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
30	29	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
31		fvexd 6851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ V)
32	20, 9, 30, 31	fsuppmptdm 9284	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝐺))
33		gsumzunsnd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
34		disjsn 4656	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
35	33, 34	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
36		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) = (𝐴 ∪ {𝑀}))
37	1, 2, 3, 4, 5, 9, 21, 22, 32, 35, 36	gsumzsplit 19897	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑀}))))
38	20	reseq1i 5936	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐴) = ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ 𝐴)
39		ssun1 4119	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀})
40		resmpt 5998	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀}) → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
41	39, 40	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
42	38, 41	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
43	42	oveq2d 7378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))
44	20	reseq1i 5936	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ {𝑀}) = ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ {𝑀})
45		ssun2 4120	. . . . . 6 ⊢ {𝑀} ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀})
46		resmpt 5998	. . . . . 6 ⊢ ({𝑀} ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀}) → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
47	45, 46	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
48	44, 47	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
49	48	oveq2d 7378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑀})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)))
50	43, 49	oveq12d 7380	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑀}))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
51		gsumzunsnd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
52	1, 5, 51, 15, 13	gsumsnd 19922	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
53	52	oveq2d 7378	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))
54	37, 50, 53	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568   ↦ cmpt 5167  ran crn 5627   ↾ cres 5628  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Fincfn 8888  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  0_gc0g 17397   Σ_g cgsu 17398  Mndcmnd 18697  Cntzccntz 19285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752

This theorem is referenced by:  mplcoe5  22032  gsumzresunsn  33142