Theorem gsumzunsnd 19923

Description: Append an element to a finite group sum, more general version of gsumunsnd 19925. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzunsnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzunsnd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumzunsnd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzunsnd.f	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)
gsumzunsnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzunsnd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumzunsnd.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzunsnd.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumzunsnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumzunsnd.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
gsumzunsnd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumzunsnd.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
gsumzunsnd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem gsumzunsnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzunsnd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2739	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsumzunsnd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumzunsnd.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5		gsumzunsnd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsumzunsnd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		snfi 8981	. . . 4 ⊢ {𝑀} ∈ Fin
8		unfi 9096	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancl 592	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
10		elun 4084	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀}))
11		gsumzunsnd.x	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		elsni 4573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
13		gsumzunsnd.s	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
14	12, 13	sylan2 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 = 𝑌)
15		gsumzunsnd.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
16	15	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	14, 16	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	11, 17	jaodan 965	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
19	10, 18	sylan2b 600	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		gsumzunsnd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)
21	19, 20	fmptd 7056	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 ∪ {𝑀})⟶𝐵)
22		gsumzunsnd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
23	11	expcom 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
24	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	13, 24	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 ∈ 𝐵)
26	25	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
27	12, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
28	23, 27	jaoi 863	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝑀}) → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
29	10, 28	sylbi 218	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵))
30	29	impcom 408	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
31		fvexd 6843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ V)
32	20, 9, 30, 31	fsuppmptdm 9280	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝐺))
33		gsumzunsnd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
34		disjsn 4644	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
35	33, 34	sylibr 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
36		eqidd 2740	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) = (𝐴 ∪ {𝑀}))
37	1, 2, 3, 4, 5, 9, 21, 22, 32, 35, 36	gsumzsplit 19894	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑀}))))
38	20	reseq1i 5928	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐴) = ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ 𝐴)
39		ssun1 4108	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀})
40		resmpt 5990	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀}) → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
41	39, 40	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
42	38, 41	eqtrid 2786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
43	42	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))
44	20	reseq1i 5928	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ {𝑀}) = ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ {𝑀})
45		ssun2 4109	. . . . . 6 ⊢ {𝑀} ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀})
46		resmpt 5990	. . . . . 6 ⊢ ({𝑀} ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀}) → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
47	45, 46	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
48	44, 47	eqtrid 2786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
49	48	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑀})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)))
50	43, 49	oveq12d 7375	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑀}))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
51		gsumzunsnd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
52	1, 5, 51, 15, 13	gsumsnd 19919	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
53	52	oveq2d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))
54	37, 50, 53	3eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4262  {csn 4556   ↦ cmpt 5154  ran crn 5620   ↾ cres 5621  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Fincfn 8884  Basecbs 17171  +_gcplusg 17212  0_gc0g 17394   Σ_g cgsu 17395  Mndcmnd 18694  Cntzccntz 19282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-seq 13956  df-hash 14285  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mre 17540  df-mrc 17541  df-acs 17543  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18744  df-mulg 19036  df-cntz 19284  df-cmn 19749

This theorem is referenced by:  mplcoe5  22017  gsumzresunsn  33144