Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzunsnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzunsnd 19078
 Description: Append an element to a finite group sum, more general version of gsumunsnd 19080. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzunsnd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzunsnd.p + = (+g𝐺)
gsumzunsnd.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzunsnd.f 𝐹 = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)
gsumzunsnd.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzunsnd.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumzunsnd.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzunsnd.x ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsumzunsnd.m (𝜑𝑀𝑉)
gsumzunsnd.d (𝜑 → ¬ 𝑀𝐴)
gsumzunsnd.y (𝜑𝑌𝐵)
gsumzunsnd.s ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
gsumzunsnd (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem gsumzunsnd
StepHypRef Expression
1 gsumzunsnd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2823 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 gsumzunsnd.p . . 3 + = (+g𝐺)
4 gsumzunsnd.z . . 3 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5 gsumzunsnd.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
6 gsumzunsnd.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 snfi 8596 . . . 4 {𝑀} ∈ Fin
8 unfi 8787 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
96, 7, 8sylancl 588 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) ∈ Fin)
10 elun 4127 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↔ (𝑘𝐴𝑘 ∈ {𝑀}))
11 gsumzunsnd.x . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
12 elsni 4586 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
13 gsumzunsnd.s . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
1412, 13sylan2 594 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋 = 𝑌)
15 gsumzunsnd.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝐵)
1615adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑌𝐵)
1714, 16eqeltrd 2915 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑋𝐵)
1811, 17jaodan 954 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘 ∈ {𝑀})) → 𝑋𝐵)
1910, 18sylan2b 595 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀})) → 𝑋𝐵)
20 gsumzunsnd.f . . . 4 𝐹 = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)
2119, 20fmptd 6880 . . 3 (𝜑𝐹:(𝐴 ∪ {𝑀})⟶𝐵)
22 gsumzunsnd.c . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
2311expcom 416 . . . . . . 7 (𝑘𝐴 → (𝜑𝑋𝐵))
2415adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑌𝐵)
2513, 24eqeltrd 2915 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋𝐵)
2625expcom 416 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → (𝜑𝑋𝐵))
2712, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝑀} → (𝜑𝑋𝐵))
2823, 27jaoi 853 . . . . . 6 ((𝑘𝐴𝑘 ∈ {𝑀}) → (𝜑𝑋𝐵))
2910, 28sylbi 219 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) → (𝜑𝑋𝐵))
3029impcom 410 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀})) → 𝑋𝐵)
31 fvexd 6687 . . . 4 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ V)
3220, 9, 30, 31fsuppmptdm 8846 . . 3 (𝜑𝐹 finSupp (0g𝐺))
33 gsumzunsnd.d . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑀𝐴)
34 disjsn 4649 . . . 4 ((𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀𝐴)
3533, 34sylibr 236 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
36 eqidd 2824 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑀}) = (𝐴 ∪ {𝑀}))
371, 2, 3, 4, 5, 9, 21, 22, 32, 35, 36gsumzsplit 19049 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹𝐴)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑀}))))
3820reseq1i 5851 . . . . 5 (𝐹𝐴) = ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ 𝐴)
39 ssun1 4150 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀})
40 resmpt 5907 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀}) → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ 𝐴) = (𝑘𝐴𝑋))
4139, 40mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ 𝐴) = (𝑘𝐴𝑋))
4238, 41syl5eq 2870 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝑘𝐴𝑋))
4342oveq2d 7174 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)))
4420reseq1i 5851 . . . . 5 (𝐹 ↾ {𝑀}) = ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ {𝑀})
45 ssun2 4151 . . . . . 6 {𝑀} ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀})
46 resmpt 5907 . . . . . 6 ({𝑀} ⊆ (𝐴 ∪ {𝑀}) → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
4745, 46mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
4844, 47syl5eq 2870 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
4948oveq2d 7174 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑀})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)))
5043, 49oveq12d 7176 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝐴)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ {𝑀}))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
51 gsumzunsnd.m . . . 4 (𝜑𝑀𝑉)
521, 5, 51, 15, 13gsumsnd 19074 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
5352oveq2d 7174 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + 𝑌))
5437, 50, 533eqtrd 2862 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ∪ cun 3936   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  {csn 4569   ↦ cmpt 5148  ran crn 5558   ↾ cres 5559  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Fincfn 8511  Basecbs 16485  +gcplusg 16567  0gc0g 16715   Σg cgsu 16716  Mndcmnd 17913  Cntzccntz 18447 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910 This theorem is referenced by:  mplcoe5  20251  gsumzresunsn  30693
 Copyright terms: Public domain W3C validator