MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzunsnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzunsnd 19741
Description: Append an element to a finite group sum, more general version of gsumunsnd 19743. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzunsnd.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumzunsnd.p + = (+gβ€˜πΊ)
gsumzunsnd.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
gsumzunsnd.f 𝐹 = (π‘˜ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑀}) ↦ 𝑋)
gsumzunsnd.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzunsnd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
gsumzunsnd.c (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
gsumzunsnd.x ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
gsumzunsnd.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumzunsnd.d (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
gsumzunsnd.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
gsumzunsnd.s ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝑀) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
gsumzunsnd (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = ((𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜   π‘˜,π‘Œ
Allowed substitution hints:   + (π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   𝑋(π‘˜)   𝑍(π‘˜)

Proof of Theorem gsumzunsnd
StepHypRef Expression
1 gsumzunsnd.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2733 . . 3 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
3 gsumzunsnd.p . . 3 + = (+gβ€˜πΊ)
4 gsumzunsnd.z . . 3 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
5 gsumzunsnd.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
6 gsumzunsnd.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
7 snfi 8994 . . . 4 {𝑀} ∈ Fin
8 unfi 9122 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝑀}) ∈ Fin)
96, 7, 8sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝑀}) ∈ Fin)
10 elun 4112 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑀}) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∨ π‘˜ ∈ {𝑀}))
11 gsumzunsnd.x . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
12 elsni 4607 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {𝑀} β†’ π‘˜ = 𝑀)
13 gsumzunsnd.s . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝑀) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
1412, 13sylan2 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {𝑀}) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
15 gsumzunsnd.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {𝑀}) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
1714, 16eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {𝑀}) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1811, 17jaodan 957 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∨ π‘˜ ∈ {𝑀})) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1910, 18sylan2b 595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑀})) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
20 gsumzunsnd.f . . . 4 𝐹 = (π‘˜ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑀}) ↦ 𝑋)
2119, 20fmptd 7066 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴 βˆͺ {𝑀})⟢𝐡)
22 gsumzunsnd.c . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
2311expcom 415 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡))
2415adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝑀) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
2513, 24eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝑀) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2625expcom 415 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡))
2712, 26syl 17 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ {𝑀} β†’ (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡))
2823, 27jaoi 856 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∨ π‘˜ ∈ {𝑀}) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡))
2910, 28sylbi 216 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑀}) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡))
3029impcom 409 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑀})) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
31 fvexd 6861 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
3220, 9, 30, 31fsuppmptdm 9324 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜πΊ))
33 gsumzunsnd.d . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
34 disjsn 4676 . . . 4 ((𝐴 ∩ {𝑀}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
3533, 34sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ {𝑀}) = βˆ…)
36 eqidd 2734 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝑀}) = (𝐴 βˆͺ {𝑀}))
371, 2, 3, 4, 5, 9, 21, 22, 32, 35, 36gsumzsplit 19712 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) + (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ {𝑀}))))
3820reseq1i 5937 . . . . 5 (𝐹 β†Ύ 𝐴) = ((π‘˜ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑀}) ↦ 𝑋) β†Ύ 𝐴)
39 ssun1 4136 . . . . . 6 𝐴 βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝑀})
40 resmpt 5995 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝑀}) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑀}) ↦ 𝑋) β†Ύ 𝐴) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
4139, 40mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑀}) ↦ 𝑋) β†Ύ 𝐴) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
4238, 41eqtrid 2785 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
4342oveq2d 7377 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))
4420reseq1i 5937 . . . . 5 (𝐹 β†Ύ {𝑀}) = ((π‘˜ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑀}) ↦ 𝑋) β†Ύ {𝑀})
45 ssun2 4137 . . . . . 6 {𝑀} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝑀})
46 resmpt 5995 . . . . . 6 ({𝑀} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝑀}) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑀}) ↦ 𝑋) β†Ύ {𝑀}) = (π‘˜ ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
4745, 46mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑀}) ↦ 𝑋) β†Ύ {𝑀}) = (π‘˜ ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
4844, 47eqtrid 2785 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ {𝑀}) = (π‘˜ ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))
4948oveq2d 7377 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ {𝑀})) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)))
5043, 49oveq12d 7379 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) + (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ {𝑀}))) = ((𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
51 gsumzunsnd.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
521, 5, 51, 15, 13gsumsnd 19737 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = π‘Œ)
5352oveq2d 7377 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + π‘Œ))
5437, 50, 533eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = ((𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βˆͺ cun 3912   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  {csn 4590   ↦ cmpt 5192  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  0gc0g 17329   Ξ£g cgsu 17330  Mndcmnd 18564  Cntzccntz 19103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572
This theorem is referenced by:  mplcoe5  21464  gsumzresunsn  31952
  Copyright terms: Public domain W3C validator