Theorem gsummptfidmadd 19594

Description: The sum of two group sums expressed as mappings with finite domain. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfidmadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfidmadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfidmadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummptfidmadd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptfidmadd.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
gsummptfidmadd.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
gsummptfidmadd.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfidmadd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, +

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem gsummptfidmadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfidmadd.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsummptfidmadd.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsummptfidmadd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsummptfidmadd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		gsummptfidmadd.c	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
7		gsummptfidmadd.d	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ 𝐵)
8		gsummptfidmadd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
10		gsummptfidmadd.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷))
12		fvexd 6826	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ V)
13	8, 5, 6, 12	fsuppmptdm 9209	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝐺))
14	10, 5, 7, 12	fsuppmptdm 9209	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp (0g‘𝐺))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14	gsummptfsadd 19593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315  Fincfn 8781  Basecbs 16982  +_gcplusg 17032  0_gc0g 17220   Σ_g cgsu 17221  CMndccmn 19454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-of 7573  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-supp 8025  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-fsupp 9199  df-oi 9339  df-card 9768  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-2 12109  df-n0 12307  df-z 12393  df-uz 12656  df-fz 13313  df-fzo 13456  df-seq 13795  df-hash 14118  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-ress 17012  df-plusg 17045  df-0g 17222  df-gsum 17223  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-submnd 18501  df-cntz 18992  df-cmn 19456

This theorem is referenced by:  gsummptfidmadd2  19595  srgbinomlem  19848