MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfidmadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptfidmadd 19048
Description: The sum of two group sums expressed as mappings with finite domain. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfidmadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmadd.p + = (+g𝐺)
gsummptfidmadd.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfidmadd.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsummptfidmadd.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
gsummptfidmadd.d ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
gsummptfidmadd.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
gsummptfidmadd.h 𝐻 = (𝑥𝐴𝐷)
Assertion
Ref Expression
gsummptfidmadd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, +
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem gsummptfidmadd
StepHypRef Expression
1 gsummptfidmadd.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2824 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 gsummptfidmadd.p . 2 + = (+g𝐺)
4 gsummptfidmadd.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
5 gsummptfidmadd.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 gsummptfidmadd.c . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
7 gsummptfidmadd.d . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐷𝐵)
8 gsummptfidmadd.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
98a1i 11 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴𝐶))
10 gsummptfidmadd.h . . 3 𝐻 = (𝑥𝐴𝐷)
1110a1i 11 . 2 (𝜑𝐻 = (𝑥𝐴𝐷))
12 fvexd 6688 . . 3 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ V)
138, 5, 6, 12fsuppmptdm 8847 . 2 (𝜑𝐹 finSupp (0g𝐺))
1410, 5, 7, 12fsuppmptdm 8847 . 2 (𝜑𝐻 finSupp (0g𝐺))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14gsummptfsadd 19047 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1536  wcel 2113  Vcvv 3497  cmpt 5149  cfv 6358  (class class class)co 7159  Fincfn 8512  Basecbs 16486  +gcplusg 16568  0gc0g 16716   Σg cgsu 16717  CMndccmn 18909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-cntz 18450  df-cmn 18911
This theorem is referenced by:  gsummptfidmadd2  19049  srgbinomlem  19297
  Copyright terms: Public domain W3C validator