MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfidmsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptfidmsplit 19041
Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite domain into two parts. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfidmsplit.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmsplit.p + = (+g𝐺)
gsummptfidmsplit.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfidmsplit.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsummptfidmsplit.y ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑌𝐵)
gsummptfidmsplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
gsummptfidmsplit.u (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
Assertion
Ref Expression
gsummptfidmsplit (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘𝐷𝑌))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsummptfidmsplit
StepHypRef Expression
1 gsummptfidmsplit.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2822 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 gsummptfidmsplit.p . 2 + = (+g𝐺)
4 gsummptfidmsplit.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
5 gsummptfidmsplit.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 gsummptfidmsplit.y . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑌𝐵)
7 eqid 2822 . . 3 (𝑘𝐴𝑌) = (𝑘𝐴𝑌)
8 fvexd 6667 . . 3 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ V)
97, 5, 6, 8fsuppmptdm 8832 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑌) finSupp (0g𝐺))
10 gsummptfidmsplit.i . 2 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
11 gsummptfidmsplit.u . 2 (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11gsumsplit2 19040 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘𝐷𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  Vcvv 3469  cun 3906  cin 3907  c0 4265  cmpt 5122  cfv 6334  (class class class)co 7140  Fincfn 8496  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  0gc0g 16704   Σg cgsu 16705  CMndccmn 18897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-cntz 18438  df-cmn 18899
This theorem is referenced by:  gsummptfzsplit  19043  gsummptfzsplitl  19044  gsumunsnfd  19068  gsummptun  19075  telgsumfzslem  19099  mdetdiaglem  21201  mdetrlin  21205  mdetrsca  21206  m2detleib  21234  smadiadet  21273
  Copyright terms: Public domain W3C validator