Theorem gsummptfidmsplit 19896

Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite domain into two parts. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfidmsplit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmsplit.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfidmsplit.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfidmsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummptfidmsplit.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummptfidmsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
gsummptfidmsplit.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
gsummptfidmsplit	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsummptfidmsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfidmsplit.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsummptfidmsplit.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsummptfidmsplit.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsummptfidmsplit.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		gsummptfidmsplit.y	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)
8		fvexd 6849	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ V)
9	7, 5, 6, 8	fsuppmptdm 9282	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp (0g‘𝐺))
10		gsummptfidmsplit.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
11		gsummptfidmsplit.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11	gsumsplit2 19895	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889  ∅c0 4274   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  CMndccmn 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-cntz 19283  df-cmn 19748

This theorem is referenced by:  gsummptfzsplit  19898  gsummptfzsplitl  19899  gsumunsnfd  19923  gsummptun  19930  telgsumfzslem  19954  psdmul  22142  mdetdiaglem  22573  mdetrlin  22577  mdetrsca  22578  m2detleib  22606  smadiadet  22645  gsummptfzsplitra  33134  gsummptfzsplitla  33135  gsumtp  33140  evl1deg3  33653