Theorem gsummptfidmsplit 20063

Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite domain into two parts. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfidmsplit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmsplit.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfidmsplit.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfidmsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummptfidmsplit.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummptfidmsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
gsummptfidmsplit.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
gsummptfidmsplit	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsummptfidmsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfidmsplit.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsummptfidmsplit.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsummptfidmsplit.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsummptfidmsplit.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		gsummptfidmsplit.y	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)
8		fvexd 6897	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ V)
9	7, 5, 6, 8	fsuppmptdm 9350	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp (0g‘𝐺))
10		gsummptfidmsplit.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
11		gsummptfidmsplit.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11	gsumsplit2 20062	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑌))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  ∅c0 4282   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Fincfn 8956  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  0_gc0g 17530   Σ_g cgsu 17531  CMndccmn 19913

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-cntz 19450  df-cmn 19915

This theorem is used by:  gsummptfzsplit  20065  gsummptfzsplitl  20066  gsumunsnfd  20090  gsummptun  20097  telgsumfzslem  20121  psdmul  22400  mdetdiaglem  22826  mdetrlin  22830  mdetrsca  22831  m2detleib  22859  smadiadet  22898  gsummptfzsplitra  33506  gsummptfzsplitla  33507  gsumtp  33512  evl1deg3  33996