Theorem gsummptshft 19803

Description: Index shift of a finite group sum over a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptshft.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptshft.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptshft.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptshft.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
gsummptshft.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsummptshft.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsummptshft.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
gsummptshft.c	⊢ (𝑗 = (𝑘 − 𝐾) → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsummptshft	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝐶,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑗,𝑘)   0 (𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsummptshft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptshft.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptshft.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummptshft.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		ovexd 7443	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ V)
5		gsummptshft.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
6	5	fmpttd 7114	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
7		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)
8		fzfid 13937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
9	2	fvexi 6905	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
11	7, 8, 5, 10	fsuppmptdm 9373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) finSupp 0 )
12		gsummptshft.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
13		gsummptshft.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14		gsummptshft.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15	12, 13, 14	mptfzshft 15723	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
16	1, 2, 3, 4, 6, 11, 15	gsumf1o 19783	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg ((𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) ∘ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾)))))
17		elfzelz 13500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
18	17	zcnd 12666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℂ)
19	12	zcnd 12666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
20		npcan 11468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑘)
21	18, 19, 20	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ((𝑘 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑘)
22		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
23	21, 22	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ((𝑘 − 𝐾) + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
24	13, 14	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
25	24	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
26	17	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ ℤ)
27	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
28	26, 27	zsubcld 12670	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑘 − 𝐾) ∈ ℤ)
29		fzaddel 13534	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑘 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑘 − 𝐾) + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
30	25, 28, 27, 29	syl12anc 835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ((𝑘 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑘 − 𝐾) + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
31	23, 30	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑘 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
32		eqidd 2733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾)) = (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾)))
33		eqidd 2733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴))
34		gsummptshft.c	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 𝐾) → 𝐴 = 𝐶)
35	31, 32, 33, 34	fmptco 7126	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) ∘ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾))) = (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ 𝐶))
36	35	oveq2d 7424	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) ∘ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ 𝐶)))
37	16, 36	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107   + caddc 11112   − cmin 11443  ℤcz 12557  ...cfz 13483  Basecbs 17143  0_gc0g 17384   Σ_g cgsu 17385  CMndccmn 19647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-cntz 19180  df-cmn 19649

This theorem is referenced by:  srgbinomlem4  20051  cpmadugsumlemF  22377