Theorem gsummptshft 19849

Description: Index shift of a finite group sum over a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptshft.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptshft.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptshft.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptshft.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
gsummptshft.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsummptshft.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsummptshft.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
gsummptshft.c	⊢ (𝑗 = (𝑘 − 𝐾) → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsummptshft	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝐶,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑗,𝑘)   0 (𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsummptshft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptshft.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptshft.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummptshft.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		ovexd 7381	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ V)
5		gsummptshft.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
6	5	fmpttd 7048	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)
8		fzfid 13880	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
9	2	fvexi 6836	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
11	7, 8, 5, 10	fsuppmptdm 9260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) finSupp 0 )
12		gsummptshft.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
13		gsummptshft.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14		gsummptshft.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15	12, 13, 14	mptfzshft 15685	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
16	1, 2, 3, 4, 6, 11, 15	gsumf1o 19829	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg ((𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) ∘ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾)))))
17		elfzelz 13424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
18	17	zcnd 12578	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℂ)
19	12	zcnd 12578	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
20		npcan 11369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑘)
21	18, 19, 20	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ((𝑘 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑘)
22		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
23	21, 22	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ((𝑘 − 𝐾) + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
24	13, 14	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
26	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ ℤ)
27	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
28	26, 27	zsubcld 12582	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑘 − 𝐾) ∈ ℤ)
29		fzaddel 13458	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑘 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑘 − 𝐾) + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
30	25, 28, 27, 29	syl12anc 836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ((𝑘 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑘 − 𝐾) + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
31	23, 30	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑘 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
32		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾)) = (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾)))
33		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴))
34		gsummptshft.c	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 𝐾) → 𝐴 = 𝐶)
35	31, 32, 33, 34	fmptco 7062	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) ∘ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾))) = (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ 𝐶))
36	35	oveq2d 7362	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) ∘ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ 𝐶)))
37	16, 36	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5172   ∘ ccom 5620  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004   + caddc 11009   − cmin 11344  ℤcz 12468  ...cfz 13407  Basecbs 17120  0_gc0g 17343   Σ_g cgsu 17344  CMndccmn 19693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-cntz 19230  df-cmn 19695

This theorem is referenced by:  srgbinomlem4  20148  cpmadugsumlemF  22792