Theorem gsummptshft 20143

Description: Index shift of a finite group sum over a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptshft.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptshft.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptshft.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptshft.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
gsummptshft.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsummptshft.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsummptshft.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
gsummptshft.c	⊢ (𝑗 = (𝑘 − 𝐾) → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsummptshft	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝐶,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑗, 𝑘)   0 (𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem gsummptshft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptshft.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptshft.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummptshft.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		ovexd 7453	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ V)
5		gsummptshft.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
6	5	fmpttd 7113	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)
8		fzfid 14109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
9	2	fvexi 6897	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
11	7, 8, 5, 10	fsuppmptdm 9361	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) finSupp 0 )
12		gsummptshft.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
13		gsummptshft.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14		gsummptshft.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15	12, 13, 14	mptfzshft 15937	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
16	1, 2, 3, 4, 6, 11, 15	gsumf1o 20123	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg ((𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) ∘ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾)))))
17		elfzelz 13649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
18	17	zcnd 12797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℂ)
19	12	zcnd 12797	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
20		npcan 11559	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑘)
21	18, 19, 20	syl2anr 609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ((𝑘 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑘)
22		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
23	21, 22	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ((𝑘 − 𝐾) + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
24	13, 14	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
25	24	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
26	17	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ ℤ)
27	12	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
28	26, 27	zsubcld 12801	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑘 − 𝐾) ∈ ℤ)
29		fzaddel 13685	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑘 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑘 − 𝐾) + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
30	25, 28, 27, 29	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ((𝑘 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑘 − 𝐾) + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
31	23, 30	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑘 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
32		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾)) = (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾)))
33		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴))
34		gsummptshft.c	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 𝐾) → 𝐴 = 𝐶)
35	31, 32, 33, 34	fmptco 7128	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) ∘ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾))) = (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ 𝐶))
36	35	oveq2d 7434	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) ∘ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ 𝐶)))
37	16, 36	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191   + caddc 11196   − cmin 11534  ℤcz 12686  ...cfz 13632  Basecbs 17380  0_gc0g 17603   Σ_g cgsu 17604  CMndccmn 19987

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-cntz 19524  df-cmn 19989

This theorem is used by:  srgbinomlem4  20448  cpmadugsumlemF  23187