Theorem gsummptshft 19954

Description: Index shift of a finite group sum over a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptshft.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptshft.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptshft.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptshft.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
gsummptshft.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsummptshft.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsummptshft.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
gsummptshft.c	⊢ (𝑗 = (𝑘 − 𝐾) → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsummptshft	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝐶,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑗,𝑘)   0 (𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsummptshft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptshft.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptshft.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummptshft.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		ovexd 7466	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ V)
5		gsummptshft.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
6	5	fmpttd 7135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)
8		fzfid 14014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
9	2	fvexi 6920	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
11	7, 8, 5, 10	fsuppmptdm 9416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) finSupp 0 )
12		gsummptshft.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
13		gsummptshft.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14		gsummptshft.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15	12, 13, 14	mptfzshft 15814	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
16	1, 2, 3, 4, 6, 11, 15	gsumf1o 19934	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg ((𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) ∘ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾)))))
17		elfzelz 13564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
18	17	zcnd 12723	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℂ)
19	12	zcnd 12723	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
20		npcan 11517	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑘)
21	18, 19, 20	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ((𝑘 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑘)
22		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
23	21, 22	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ((𝑘 − 𝐾) + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
24	13, 14	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
26	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ ℤ)
27	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
28	26, 27	zsubcld 12727	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑘 − 𝐾) ∈ ℤ)
29		fzaddel 13598	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑘 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑘 − 𝐾) + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
30	25, 28, 27, 29	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ((𝑘 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑘 − 𝐾) + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
31	23, 30	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑘 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
32		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾)) = (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾)))
33		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴))
34		gsummptshft.c	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 𝐾) → 𝐴 = 𝐶)
35	31, 32, 33, 34	fmptco 7149	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) ∘ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾))) = (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ 𝐶))
36	35	oveq2d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) ∘ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘 − 𝐾)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ 𝐶)))
37	16, 36	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ↦ cmpt 5225   ∘ ccom 5689  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   + caddc 11158   − cmin 11492  ℤcz 12613  ...cfz 13547  Basecbs 17247  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  CMndccmn 19798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-cntz 19335  df-cmn 19800

This theorem is referenced by:  srgbinomlem4  20226  cpmadugsumlemF  22882