Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptshft 19117
 Description: Index shift of a finite group sum over a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptshft.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptshft.z 0 = (0g𝐺)
gsummptshft.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptshft.k (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
gsummptshft.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
gsummptshft.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
gsummptshft.a ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴𝐵)
gsummptshft.c (𝑗 = (𝑘𝐾) → 𝐴 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
gsummptshft (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝐶,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑗,𝑘)   0 (𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsummptshft
StepHypRef Expression
1 gsummptshft.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsummptshft.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsummptshft.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 ovexd 7186 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ V)
5 gsummptshft.a . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴𝐵)
65fmpttd 6871 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
7 eqid 2759 . . . 4 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)
8 fzfid 13383 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
92fvexi 6673 . . . . 5 0 ∈ V
109a1i 11 . . . 4 (𝜑0 ∈ V)
117, 8, 5, 10fsuppmptdm 8870 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) finSupp 0 )
12 gsummptshft.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
13 gsummptshft.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 gsummptshft.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1512, 13, 14mptfzshft 15174 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
161, 2, 3, 4, 6, 11, 15gsumf1o 19097 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg ((𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) ∘ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘𝐾)))))
17 elfzelz 12949 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
1817zcnd 12120 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℂ)
1912zcnd 12120 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
20 npcan 10926 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐾) + 𝐾) = 𝑘)
2118, 19, 20syl2anr 600 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ((𝑘𝐾) + 𝐾) = 𝑘)
22 simpr 489 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
2321, 22eqeltrd 2853 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ((𝑘𝐾) + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
2413, 14jca 516 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2524adantr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2617adantl 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ ℤ)
2712adantr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
2826, 27zsubcld 12124 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑘𝐾) ∈ ℤ)
29 fzaddel 12983 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑘𝐾) + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
3025, 28, 27, 29syl12anc 836 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ((𝑘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑘𝐾) + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
3123, 30mpbird 260 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
32 eqidd 2760 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘𝐾)) = (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘𝐾)))
33 eqidd 2760 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴))
34 gsummptshft.c . . . 4 (𝑗 = (𝑘𝐾) → 𝐴 = 𝐶)
3531, 32, 33, 34fmptco 6883 . . 3 (𝜑 → ((𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) ∘ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘𝐾))) = (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ 𝐶))
3635oveq2d 7167 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) ∘ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑘𝐾)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ 𝐶)))
3716, 36eqtrd 2794 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ 𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410   ↦ cmpt 5113   ∘ ccom 5529  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℂcc 10566   + caddc 10571   − cmin 10901  ℤcz 12013  ...cfz 12932  Basecbs 16534  0gc0g 16764   Σg cgsu 16765  CMndccmn 18966 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8860  df-oi 9000  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-seq 13412  df-hash 13734  df-0g 16766  df-gsum 16767  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-cntz 18507  df-cmn 18968 This theorem is referenced by:  srgbinomlem4  19354  cpmadugsumlemF  21569
 Copyright terms: Public domain W3C validator