Theorem adjeq 32537

Description: A property that determines the adjoint of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjeq	⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))) → (adjℎ‘𝑇) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem adjeq

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funadj 32488	. 2 ⊢ Fun adjℎ
2		df-adjh 32451	. . . . . 6 ⊢ adjℎ = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))}
3	2	eleq2i 2852	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ ↔ ⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))})
4		ax-hilex 31601	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
5		fex 7232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ℋ ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
6	4, 5	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 ∈ V)
7		fex 7232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ℋ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
8	4, 7	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝑆: ℋ⟶ ℋ → 𝑆 ∈ V)
9		feq1 6687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (𝑧: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑇: ℋ⟶ ℋ))
10		fveq1 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (𝑧‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
11	10	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
12	11	eqeq1d 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) ↔ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦))))
13	12	2ralbidv 3226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦))))
14	9, 13	3anbi13d 1466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → ((𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦))) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))))
15		feq1 6687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝑤: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑆: ℋ⟶ ℋ))
16		fveq1 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝑤‘𝑦) = (𝑆‘𝑦))
17	16	oveq2d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))
18	17	eqeq2d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) ↔ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))))
19	18	2ralbidv 3226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))))
20	15, 19	3anbi23d 1467	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦))) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
21	14, 20	opelopabg 5512	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))} ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
22	6, 8, 21	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))} ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
23	3, 22	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
24		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))) ↔ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))))
25	24	baibr 546	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
26	23, 25	bitr4d 285	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))))
27	26	biimp3ar 1499	. 2 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))) → ⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ)
28		funopfv 6934	. 2 ⊢ (Fun adjℎ → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ → (adjℎ‘𝑇) = 𝑆))
29	1, 27, 28	mpsyl 69	1 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))) → (adjℎ‘𝑇) = 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ⟨cop 4589  {copab 5166  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ℋchba 31521   ·_ih csp 31524  adj_ℎcado 31557

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-hilex 31601  ax-hfvadd 31602  ax-hvcom 31603  ax-hvass 31604  ax-hv0cl 31605  ax-hvaddid 31606  ax-hfvmul 31607  ax-hvmulid 31608  ax-hvdistr2 31611  ax-hvmul0 31612  ax-hfi 31681  ax-his1 31684  ax-his2 31685  ax-his3 31686  ax-his4 31687

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-hvsub 31573  df-adjh 32451

This theorem is used by:  unopadj2  32540  hmopadj  32541  adj0  32596  adjmul  32694  adjadd  32695