HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjeq 31963
Description: A property that determines the adjoint of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjeq ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦))) → (adj𝑇) = 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem adjeq
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funadj 31914 . 2 Fun adj
2 df-adjh 31877 . . . . . 6 adj = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦)))}
32eleq2i 2830 . . . . 5 (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adj ↔ ⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦)))})
4 ax-hilex 31027 . . . . . . 7 ℋ ∈ V
5 fex 7245 . . . . . . 7 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ℋ ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
64, 5mpan2 691 . . . . . 6 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 ∈ V)
7 fex 7245 . . . . . . 7 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ℋ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
84, 7mpan2 691 . . . . . 6 (𝑆: ℋ⟶ ℋ → 𝑆 ∈ V)
9 feq1 6716 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑇 → (𝑧: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑇: ℋ⟶ ℋ))
10 fveq1 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑇 → (𝑧𝑥) = (𝑇𝑥))
1110oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑇 → ((𝑧𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))
1211eqeq1d 2736 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑇 → (((𝑧𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦)) ↔ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦))))
13122ralbidv 3218 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑇 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦))))
149, 133anbi13d 1437 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑇 → ((𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦))) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦)))))
15 feq1 6716 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑆 → (𝑤: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑆: ℋ⟶ ℋ))
16 fveq1 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑆 → (𝑤𝑦) = (𝑆𝑦))
1716oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑆 → (𝑥 ·ih (𝑤𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)))
1817eqeq2d 2745 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑆 → (((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦)) ↔ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦))))
19182ralbidv 3218 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑆 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦))))
2015, 193anbi23d 1438 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑆 → ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦))) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)))))
2114, 20opelopabg 5547 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦)))} ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)))))
226, 8, 21syl2an 596 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦)))} ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)))))
233, 22bitrid 283 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adj ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)))))
24 df-3an 1088 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦))) ↔ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦))))
2524baibr 536 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)))))
2623, 25bitr4d 282 . . 3 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adj ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦))))
2726biimp3ar 1469 . 2 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦))) → ⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adj)
28 funopfv 6958 . 2 (Fun adj → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adj → (adj𝑇) = 𝑆))
291, 27, 28mpsyl 68 1 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦))) → (adj𝑇) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  Vcvv 3477  cop 4636  {copab 5209  Fun wfun 6556  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  chba 30947   ·ih csp 30950  adjcado 30983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-2 12326  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-hvsub 30999  df-adjh 31877
This theorem is referenced by:  unopadj2  31966  hmopadj  31967  adj0  32022  adjmul  32120  adjadd  32121
  Copyright terms: Public domain W3C validator