HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjeq Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem adjeq 31443
Description: A property that determines the adjoint of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjeq ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) = ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐‘‡,๐‘ฆ
Proof of Theorem adjeq
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funadj 31394 . 2 Fun adjโ„Ž
2 df-adjh 31357 . . . . . 6 adjโ„Ž = {โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆฃ (๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘งโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘คโ€˜๐‘ฆ)))}
32eleq2i 2825 . . . . 5 (โŸจ๐‘‡, ๐‘†โŸฉ โˆˆ adjโ„Ž โ†” โŸจ๐‘‡, ๐‘†โŸฉ โˆˆ {โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆฃ (๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘งโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘คโ€˜๐‘ฆ)))})
4 ax-hilex 30507 . . . . . . 7 โ„‹ โˆˆ V
5 fex 7230 . . . . . . 7 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โ„‹ โˆˆ V) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
64, 5mpan2 689 . . . . . 6 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
7 fex 7230 . . . . . . 7 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โ„‹ โˆˆ V) โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
84, 7mpan2 689 . . . . . 6 (๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
9 feq1 6698 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†” ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹))
10 fveq1 6890 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ (๐‘งโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))
1110oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘งโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
1211eqeq1d 2734 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ (((๐‘งโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘คโ€˜๐‘ฆ)) โ†” ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘คโ€˜๐‘ฆ))))
13122ralbidv 3218 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘งโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘คโ€˜๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘คโ€˜๐‘ฆ))))
149, 133anbi13d 1438 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘งโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘คโ€˜๐‘ฆ))) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘คโ€˜๐‘ฆ)))))
15 feq1 6698 . . . . . . . 8 (๐‘ค = ๐‘† โ†’ (๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†” ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹))
16 fveq1 6890 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ค = ๐‘† โ†’ (๐‘คโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))
1716oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค = ๐‘† โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘คโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
1817eqeq2d 2743 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = ๐‘† โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘คโ€˜๐‘ฆ)) โ†” ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))
19182ralbidv 3218 . . . . . . . 8 (๐‘ค = ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘คโ€˜๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))
2015, 193anbi23d 1439 . . . . . . 7 (๐‘ค = ๐‘† โ†’ ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘คโ€˜๐‘ฆ))) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))
2114, 20opelopabg 5538 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ V โˆง ๐‘† โˆˆ V) โ†’ (โŸจ๐‘‡, ๐‘†โŸฉ โˆˆ {โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆฃ (๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘งโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘คโ€˜๐‘ฆ)))} โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))
226, 8, 21syl2an 596 . . . . 5 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โŸจ๐‘‡, ๐‘†โŸฉ โˆˆ {โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆฃ (๐‘ง: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ค: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘งโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘คโ€˜๐‘ฆ)))} โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))
233, 22bitrid 282 . . . 4 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โŸจ๐‘‡, ๐‘†โŸฉ โˆˆ adjโ„Ž โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))
24 df-3an 1089 . . . . 5 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))) โ†” ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))
2524baibr 537 . . . 4 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))
2623, 25bitr4d 281 . . 3 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โŸจ๐‘‡, ๐‘†โŸฉ โˆˆ adjโ„Ž โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))
2726biimp3ar 1470 . 2 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ โŸจ๐‘‡, ๐‘†โŸฉ โˆˆ adjโ„Ž)
28 funopfv 6943 . 2 (Fun adjโ„Ž โ†’ (โŸจ๐‘‡, ๐‘†โŸฉ โˆˆ adjโ„Ž โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) = ๐‘†))
291, 27, 28mpsyl 68 1 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) = ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  Vcvv 3474  โŸจcop 4634  {copab 5210  Fun wfun 6537  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   โ„‹chba 30427   ยทih csp 30430  adjโ„Žcado 30463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-hilex 30507  ax-hfvadd 30508  ax-hvcom 30509  ax-hvass 30510  ax-hv0cl 30511  ax-hvaddid 30512  ax-hfvmul 30513  ax-hvmulid 30514  ax-hvdistr2 30517  ax-hvmul0 30518  ax-hfi 30587  ax-his1 30590  ax-his2 30591  ax-his3 30592  ax-his4 30593
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-hvsub 30479  df-adjh 31357
This theorem is referenced by:  unopadj2  31446  hmopadj  31447  adj0  31502  adjmul  31600  adjadd  31601
  Copyright terms: Public domain W3C validator