HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjeq 31051
Description: A property that determines the adjoint of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjeq ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦))) → (adj𝑇) = 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem adjeq
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funadj 31002 . 2 Fun adj
2 df-adjh 30965 . . . . . 6 adj = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦)))}
32eleq2i 2824 . . . . 5 (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adj ↔ ⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦)))})
4 ax-hilex 30115 . . . . . . 7 ℋ ∈ V
5 fex 7212 . . . . . . 7 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ℋ ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
64, 5mpan2 689 . . . . . 6 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 ∈ V)
7 fex 7212 . . . . . . 7 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ℋ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
84, 7mpan2 689 . . . . . 6 (𝑆: ℋ⟶ ℋ → 𝑆 ∈ V)
9 feq1 6685 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑇 → (𝑧: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑇: ℋ⟶ ℋ))
10 fveq1 6877 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑇 → (𝑧𝑥) = (𝑇𝑥))
1110oveq1d 7408 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑇 → ((𝑧𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))
1211eqeq1d 2733 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑇 → (((𝑧𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦)) ↔ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦))))
13122ralbidv 3217 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑇 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦))))
149, 133anbi13d 1438 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑇 → ((𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦))) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦)))))
15 feq1 6685 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑆 → (𝑤: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑆: ℋ⟶ ℋ))
16 fveq1 6877 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑆 → (𝑤𝑦) = (𝑆𝑦))
1716oveq2d 7409 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑆 → (𝑥 ·ih (𝑤𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)))
1817eqeq2d 2742 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑆 → (((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦)) ↔ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦))))
19182ralbidv 3217 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑆 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦))))
2015, 193anbi23d 1439 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑆 → ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦))) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)))))
2114, 20opelopabg 5531 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦)))} ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)))))
226, 8, 21syl2an 596 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤𝑦)))} ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)))))
233, 22bitrid 282 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adj ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)))))
24 df-3an 1089 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦))) ↔ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦))))
2524baibr 537 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦)))))
2623, 25bitr4d 281 . . 3 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adj ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦))))
2726biimp3ar 1470 . 2 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦))) → ⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adj)
28 funopfv 6930 . 2 (Fun adj → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adj → (adj𝑇) = 𝑆))
291, 27, 28mpsyl 68 1 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆𝑦))) → (adj𝑇) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060  Vcvv 3473  cop 4628  {copab 5203  Fun wfun 6526  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  chba 30035   ·ih csp 30038  adjcado 30071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-hilex 30115  ax-hfvadd 30116  ax-hvcom 30117  ax-hvass 30118  ax-hv0cl 30119  ax-hvaddid 30120  ax-hfvmul 30121  ax-hvmulid 30122  ax-hvdistr2 30125  ax-hvmul0 30126  ax-hfi 30195  ax-his1 30198  ax-his2 30199  ax-his3 30200  ax-his4 30201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-2 12257  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-hvsub 30087  df-adjh 30965
This theorem is referenced by:  unopadj2  31054  hmopadj  31055  adj0  31110  adjmul  31208  adjadd  31209
  Copyright terms: Public domain W3C validator