Theorem adjeq 32402

Description: A property that determines the adjoint of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjeq	⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))) → (adjℎ‘𝑇) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem adjeq

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funadj 32353	. 2 ⊢ Fun adjℎ
2		df-adjh 32316	. . . . . 6 ⊢ adjℎ = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))}
3	2	eleq2i 2854	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ ↔ ⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))})
4		ax-hilex 31466	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
5		fex 7228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ℋ ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
6	4, 5	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 ∈ V)
7		fex 7228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ℋ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
8	4, 7	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝑆: ℋ⟶ ℋ → 𝑆 ∈ V)
9		feq1 6684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (𝑧: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑇: ℋ⟶ ℋ))
10		fveq1 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (𝑧‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
11	10	oveq1d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
12	11	eqeq1d 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) ↔ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦))))
13	12	2ralbidv 3228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦))))
14	9, 13	3anbi13d 1466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → ((𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦))) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))))
15		feq1 6684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝑤: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑆: ℋ⟶ ℋ))
16		fveq1 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝑤‘𝑦) = (𝑆‘𝑦))
17	16	oveq2d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))
18	17	eqeq2d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) ↔ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))))
19	18	2ralbidv 3228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))))
20	15, 19	3anbi23d 1467	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦))) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
21	14, 20	opelopabg 5521	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))} ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
22	6, 8, 21	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))} ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
23	3, 22	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
24		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))) ↔ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))))
25	24	baibr 546	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
26	23, 25	bitr4d 285	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))))
27	26	biimp3ar 1499	. 2 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))) → ⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ)
28		funopfv 6931	. 2 ⊢ (Fun adjℎ → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ → (adjℎ‘𝑇) = 𝑆))
29	1, 27, 28	mpsyl 69	1 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))) → (adjℎ‘𝑇) = 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453  ⟨cop 4593  {copab 5171  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ℋchba 31386   ·_ih csp 31389  adj_ℎcado 31422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-hilex 31466  ax-hfvadd 31467  ax-hvcom 31468  ax-hvass 31469  ax-hv0cl 31470  ax-hvaddid 31471  ax-hfvmul 31472  ax-hvmulid 31473  ax-hvdistr2 31476  ax-hvmul0 31477  ax-hfi 31546  ax-his1 31549  ax-his2 31550  ax-his3 31551  ax-his4 31552

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-hvsub 31438  df-adjh 32316

This theorem is used by:  unopadj2  32405  hmopadj  32406  adj0  32461  adjmul  32559  adjadd  32560