Theorem adjeq 32564

Description: A property that determines the adjoint of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjeq	⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))) → (adjℎ‘𝑇) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem adjeq

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funadj 32515	. 2 ⊢ Fun adjℎ
2		df-adjh 32478	. . . . . 6 ⊢ adjℎ = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))}
3	2	eleq2i 2856	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ ↔ ⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))})
4		ax-hilex 31628	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
5		fex 7252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ℋ ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
6	4, 5	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 ∈ V)
7		fex 7252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ℋ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
8	4, 7	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝑆: ℋ⟶ ℋ → 𝑆 ∈ V)
9		feq1 6706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (𝑧: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑇: ℋ⟶ ℋ))
10		fveq1 6904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (𝑧‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
11	10	oveq1d 7455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
12	11	eqeq1d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) ↔ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦))))
13	12	2ralbidv 3230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦))))
14	9, 13	3anbi13d 1467	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → ((𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦))) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))))
15		feq1 6706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝑤: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑆: ℋ⟶ ℋ))
16		fveq1 6904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝑤‘𝑦) = (𝑆‘𝑦))
17	16	oveq2d 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))
18	17	eqeq2d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) ↔ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))))
19	18	2ralbidv 3230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))))
20	15, 19	3anbi23d 1468	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦))) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
21	14, 20	opelopabg 5517	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))} ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
22	6, 8, 21	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))} ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
23	3, 22	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
24		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))) ↔ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))))
25	24	baibr 546	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
26	23, 25	bitr4d 285	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))))
27	26	biimp3ar 1500	. 2 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))) → ⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ)
28		funopfv 6954	. 2 ⊢ (Fun adjℎ → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ → (adjℎ‘𝑇) = 𝑆))
29	1, 27, 28	mpsyl 69	1 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))) → (adjℎ‘𝑇) = 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454  ⟨cop 4838  {copab 5170  Fun wfun 6549  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ℋchba 31548   ·_ih csp 31551  adj_ℎcado 31584

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-hilex 31628  ax-hfvadd 31629  ax-hvcom 31630  ax-hvass 31631  ax-hv0cl 31632  ax-hvaddid 31633  ax-hfvmul 31634  ax-hvmulid 31635  ax-hvdistr2 31638  ax-hvmul0 31639  ax-hfi 31708  ax-his1 31711  ax-his2 31712  ax-his3 31713  ax-his4 31714

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-hvsub 31600  df-adjh 32478

This theorem is used by:  unopadj2  32567  hmopadj  32568  adj0  32623  adjmul  32721  adjadd  32722