Theorem adjeq 31914

Description: A property that determines the adjoint of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjeq	⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))) → (adjℎ‘𝑇) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem adjeq

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funadj 31865	. 2 ⊢ Fun adjℎ
2		df-adjh 31828	. . . . . 6 ⊢ adjℎ = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))}
3	2	eleq2i 2820	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ ↔ ⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))})
4		ax-hilex 30978	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
5		fex 7182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ℋ ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
6	4, 5	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 ∈ V)
7		fex 7182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ℋ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
8	4, 7	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑆: ℋ⟶ ℋ → 𝑆 ∈ V)
9		feq1 6648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (𝑧: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑇: ℋ⟶ ℋ))
10		fveq1 6839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (𝑧‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
11	10	oveq1d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
12	11	eqeq1d 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) ↔ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦))))
13	12	2ralbidv 3199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦))))
14	9, 13	3anbi13d 1440	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → ((𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦))) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))))
15		feq1 6648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝑤: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑆: ℋ⟶ ℋ))
16		fveq1 6839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝑤‘𝑦) = (𝑆‘𝑦))
17	16	oveq2d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))
18	17	eqeq2d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) ↔ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))))
19	18	2ralbidv 3199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))))
20	15, 19	3anbi23d 1441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦))) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
21	14, 20	opelopabg 5493	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))} ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
22	6, 8, 21	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))} ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
23	3, 22	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
24		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))) ↔ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))))
25	24	baibr 536	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
26	23, 25	bitr4d 282	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))))
27	26	biimp3ar 1472	. 2 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))) → ⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ)
28		funopfv 6892	. 2 ⊢ (Fun adjℎ → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ → (adjℎ‘𝑇) = 𝑆))
29	1, 27, 28	mpsyl 68	1 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))) → (adjℎ‘𝑇) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3444  ⟨cop 4591  {copab 5164  Fun wfun 6493  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ℋchba 30898   ·_ih csp 30901  adj_ℎcado 30934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-hilex 30978  ax-hfvadd 30979  ax-hvcom 30980  ax-hvass 30981  ax-hv0cl 30982  ax-hvaddid 30983  ax-hfvmul 30984  ax-hvmulid 30985  ax-hvdistr2 30988  ax-hvmul0 30989  ax-hfi 31058  ax-his1 31061  ax-his2 31062  ax-his3 31063  ax-his4 31064

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-hvsub 30950  df-adjh 31828

This theorem is referenced by:  unopadj2  31917  hmopadj  31918  adj0  31973  adjmul  32071  adjadd  32072