MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrreslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrreslem 29238
Description: Lemma for umgrres 29240 and usgrres 29241. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.) (Revised by AV, 19-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
upgrres.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
upgrres.f 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
Assertion
Ref Expression
umgrreslem ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ran (𝐸𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝐸,𝑝   𝐺,𝑝   𝑖,𝑁   𝑁,𝑝   𝑉,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑖,𝑝)   𝐺(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem umgrreslem
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ima 5687 . 2 (𝐸𝐹) = ran (𝐸𝐹)
2 fveq2 6893 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (𝐸𝑖) = (𝐸𝑗))
3 neleq2 3043 . . . . . . 7 ((𝐸𝑖) = (𝐸𝑗) → (𝑁 ∉ (𝐸𝑖) ↔ 𝑁 ∉ (𝐸𝑗)))
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 → (𝑁 ∉ (𝐸𝑖) ↔ 𝑁 ∉ (𝐸𝑗)))
5 upgrres.f . . . . . 6 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
64, 5elrab2 3683 . . . . 5 (𝑗𝐹 ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑗)))
7 upgrres.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8 upgrres.e . . . . . . . 8 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
97, 8umgrf 29031 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2})
10 ffvelcdm 7087 . . . . . . . . . 10 ((𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐸) → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2})
11 fveqeq2 6902 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (𝐸𝑗) → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2))
1211elrab 3680 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2))
13 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸𝑗)) → (𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉)
14 elpwi 4604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 → (𝐸𝑗) ⊆ 𝑉)
1514adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2) → (𝐸𝑗) ⊆ 𝑉)
1615adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸𝑗)) → (𝐸𝑗) ⊆ 𝑉)
17 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸𝑗)) → 𝑁 ∉ (𝐸𝑗))
18 elpwdifsn 4788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐸𝑗) ⊆ 𝑉𝑁 ∉ (𝐸𝑗)) → (𝐸𝑗) ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
1913, 16, 17, 18syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸𝑗)) → (𝐸𝑗) ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
20 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2) → (♯‘(𝐸𝑗)) = 2)
2120adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸𝑗)) → (♯‘(𝐸𝑗)) = 2)
2211, 19, 21elrabd 3682 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸𝑗)) → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
2322ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2) → (𝑁 ∉ (𝐸𝑗) → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
2423a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2) → (𝑁𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸𝑗) → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
2512, 24sylbi 216 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑁𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸𝑗) → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
2610, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐸) → (𝑁𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸𝑗) → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
2726ex 411 . . . . . . . 8 (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸𝑗) → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
2827com23 86 . . . . . . 7 (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑁𝑉 → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁 ∉ (𝐸𝑗) → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
299, 28syl 17 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑁𝑉 → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁 ∉ (𝐸𝑗) → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
3029imp4b 420 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((𝑗 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑗)) → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
316, 30biimtrid 241 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝑗𝐹 → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
3231ralrimiv 3135 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ∀𝑗𝐹 (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
33 umgruhgr 29037 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
348uhgrfun 28999 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐸)
3533, 34syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph → Fun 𝐸)
3635adantr 479 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → Fun 𝐸)
375ssrab3 4076 . . . 4 𝐹 ⊆ dom 𝐸
38 funimass4 6959 . . . 4 ((Fun 𝐸𝐹 ⊆ dom 𝐸) → ((𝐸𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ∀𝑗𝐹 (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
3936, 37, 38sylancl 584 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((𝐸𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ∀𝑗𝐹 (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
4032, 39mpbird 256 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
411, 40eqsstrrid 4028 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ran (𝐸𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wnel 3036  wral 3051  {crab 3419  cdif 3943  wss 3946  𝒫 cpw 4597  {csn 4623  dom cdm 5674  ran crn 5675  cres 5676  cima 5677  Fun wfun 6540  wf 6542  cfv 6546  2c2 12313  chash 14342  Vtxcvtx 28929  iEdgciedg 28930  UHGraphcuhgr 28989  UMGraphcumgr 29014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-fz 13533  df-hash 14343  df-uhgr 28991  df-upgr 29015  df-umgr 29016
This theorem is referenced by:  umgrres  29240  usgrres  29241
  Copyright terms: Public domain W3C validator