Theorem umgrreslem 29560

Description: Lemma for umgrres 29562 and usgrres 29563. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.) (Revised by AV, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
upgrres.f	⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
umgrreslem	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran (𝐸 ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝐸,𝑝   𝐺,𝑝   𝑖,𝑁   𝑁,𝑝   𝑉,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑖,𝑝)   𝐺(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem umgrreslem

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5664	. 2 ⊢ (𝐸 “ 𝐹) = ran (𝐸 ↾ 𝐹)
2		fveq2 6871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐸‘𝑖) = (𝐸‘𝑗))
3		neleq2 3071	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸‘𝑖) = (𝐸‘𝑗) → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)))
4	2, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)))
5		upgrres.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
6	4, 5	elrab2 3657	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐹 ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)))
7		upgrres.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		upgrres.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
9	7, 8	umgrf 29353	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2})
10		ffvelcdm 7066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2})
11		fveqeq2 6880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = (𝐸‘𝑗) → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2))
12	11	elrab 3653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2))
13		simpll 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉)
14		elpwi 4565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 → (𝐸‘𝑗) ⊆ 𝑉)
15	14	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) → (𝐸‘𝑗) ⊆ 𝑉)
16	15	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ⊆ 𝑉)
17		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗))
18		elpwdifsn 4752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐸‘𝑗) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
19	13, 16, 17, 18	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
20		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) → (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2)
21	20	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2)
22	11, 19, 21	elrabd 3655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
23	22	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
24	23	a1d 26	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
25	12, 24	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
26	10, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐸) → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
27	26	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
28	27	com23 87	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
29	9, 28	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
30	29	imp4b 426	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑗 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
31	6, 30	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑗 ∈ 𝐹 → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
32	31	ralrimiv 3156	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∀𝑗 ∈ 𝐹 (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
33		umgruhgr 29359	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
34	8	uhgrfun 29321	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐸)
35	33, 34	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → Fun 𝐸)
36	35	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → Fun 𝐸)
37	5	ssrab3 4038	. . . 4 ⊢ 𝐹 ⊆ dom 𝐸
38		funimass4 6935	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ 𝐹 ⊆ dom 𝐸) → ((𝐸 “ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐹 (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
39	36, 37, 38	sylancl 597	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝐸 “ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐹 (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
40	32, 39	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 “ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
41	1, 40	eqsstrrid 3978	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran (𝐸 ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3064  ∀wral 3079  {crab 3417   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  𝒫 cpw 4558  {csn 4585  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   “ cima 5654  Fun wfun 6519  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  2c2 12283  ♯chash 14354  Vtxcvtx 29251  iEdgciedg 29252  UHGraphcuhgr 29311  UMGraphcumgr 29336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-hash 14355  df-uhgr 29313  df-upgr 29337  df-umgr 29338

This theorem is referenced by:  umgrres  29562  usgrres  29563