Theorem umgrreslem 27961

Description: Lemma for umgrres 27963 and usgrres 27964. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.) (Revised by AV, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
upgrres.f	⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
umgrreslem	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran (𝐸 ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝐸,𝑝   𝐺,𝑝   𝑖,𝑁   𝑁,𝑝   𝑉,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑖,𝑝)   𝐺(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem umgrreslem

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5633	. 2 ⊢ (𝐸 “ 𝐹) = ran (𝐸 ↾ 𝐹)
2		fveq2 6825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐸‘𝑖) = (𝐸‘𝑗))
3		neleq2 3052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸‘𝑖) = (𝐸‘𝑗) → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)))
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)))
5		upgrres.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
6	4, 5	elrab2 3637	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐹 ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)))
7		upgrres.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		upgrres.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
9	7, 8	umgrf 27757	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2})
10		ffvelcdm 7015	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2})
11		fveqeq2 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = (𝐸‘𝑗) → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2))
12	11	elrab 3634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2))
13		simpll 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉)
14		elpwi 4554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 → (𝐸‘𝑗) ⊆ 𝑉)
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) → (𝐸‘𝑗) ⊆ 𝑉)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ⊆ 𝑉)
17		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗))
18		elpwdifsn 4736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐸‘𝑗) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
19	13, 16, 17, 18	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
20		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) → (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2)
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2)
22	11, 19, 21	elrabd 3636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
23	22	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
24	23	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
25	12, 24	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
26	10, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐸) → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
27	26	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
28	27	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
29	9, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
30	29	imp4b 422	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑗 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
31	6, 30	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑗 ∈ 𝐹 → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
32	31	ralrimiv 3138	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∀𝑗 ∈ 𝐹 (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
33		umgruhgr 27763	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
34	8	uhgrfun 27725	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐸)
35	33, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → Fun 𝐸)
36	35	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → Fun 𝐸)
37	5	ssrab3 4027	. . . 4 ⊢ 𝐹 ⊆ dom 𝐸
38		funimass4 6890	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ 𝐹 ⊆ dom 𝐸) → ((𝐸 “ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐹 (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
39	36, 37, 38	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝐸 “ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐹 (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
40	32, 39	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 “ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
41	1, 40	eqsstrrid 3981	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran (𝐸 ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∉ wnel 3046  ∀wral 3061  {crab 3403   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  𝒫 cpw 4547  {csn 4573  dom cdm 5620  ran crn 5621   ↾ cres 5622   “ cima 5623  Fun wfun 6473  ⟶wf 6475  ‘cfv 6479  2c2 12129  ♯chash 14145  Vtxcvtx 27655  iEdgciedg 27656  UHGraphcuhgr 27715  UMGraphcumgr 27740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-hash 14146  df-uhgr 27717  df-upgr 27741  df-umgr 27742

This theorem is referenced by:  umgrres  27963  usgrres  27964