Theorem umgrreslem 27393

Description: Lemma for umgrres 27395 and usgrres 27396. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.) (Revised by AV, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
upgrres.f	⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
umgrreslem	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran (𝐸 ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝐸,𝑝   𝐺,𝑝   𝑖,𝑁   𝑁,𝑝   𝑉,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑖,𝑝)   𝐺(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem umgrreslem

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5564	. 2 ⊢ (𝐸 “ 𝐹) = ran (𝐸 ↾ 𝐹)
2		fveq2 6717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐸‘𝑖) = (𝐸‘𝑗))
3		neleq2 3052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸‘𝑖) = (𝐸‘𝑗) → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)))
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)))
5		upgrres.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
6	4, 5	elrab2 3605	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐹 ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)))
7		upgrres.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		upgrres.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
9	7, 8	umgrf 27189	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2})
10		ffvelrn 6902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2})
11		fveqeq2 6726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = (𝐸‘𝑗) → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2))
12	11	elrab 3602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2))
13		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉)
14		elpwi 4522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 → (𝐸‘𝑗) ⊆ 𝑉)
15	14	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) → (𝐸‘𝑗) ⊆ 𝑉)
16	15	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ⊆ 𝑉)
17		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗))
18		elpwdifsn 4702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐸‘𝑗) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
19	13, 16, 17, 18	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
20		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) → (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2)
21	20	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2)
22	11, 19, 21	elrabd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
23	22	ex 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
24	23	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
25	12, 24	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
26	10, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐸) → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
27	26	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
28	27	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
29	9, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
30	29	imp4b 425	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑗 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
31	6, 30	syl5bi 245	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑗 ∈ 𝐹 → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
32	31	ralrimiv 3104	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∀𝑗 ∈ 𝐹 (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
33		umgruhgr 27195	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
34	8	uhgrfun 27157	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐸)
35	33, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → Fun 𝐸)
36	35	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → Fun 𝐸)
37	5	ssrab3 3995	. . . 4 ⊢ 𝐹 ⊆ dom 𝐸
38		funimass4 6777	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ 𝐹 ⊆ dom 𝐸) → ((𝐸 “ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐹 (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
39	36, 37, 38	sylancl 589	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝐸 “ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐹 (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
40	32, 39	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 “ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
41	1, 40	eqsstrrid 3950	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran (𝐸 ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∉ wnel 3046  ∀wral 3061  {crab 3065   ∖ cdif 3863   ⊆ wss 3866  𝒫 cpw 4513  {csn 4541  dom cdm 5551  ran crn 5552   ↾ cres 5553   “ cima 5554  Fun wfun 6374  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  2c2 11885  ♯chash 13896  Vtxcvtx 27087  iEdgciedg 27088  UHGraphcuhgr 27147  UMGraphcumgr 27172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-hash 13897  df-uhgr 27149  df-upgr 27173  df-umgr 27174

This theorem is referenced by:  umgrres  27395  usgrres  27396