Theorem umgrreslem 29462

Description: Lemma for umgrres 29464 and usgrres 29465. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.) (Revised by AV, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
upgrres.f	⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
umgrreslem	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran (𝐸 ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝐸,𝑝   𝐺,𝑝   𝑖,𝑁   𝑁,𝑝   𝑉,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑖,𝑝)   𝐺(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem umgrreslem

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5656	. 2 ⊢ (𝐸 “ 𝐹) = ran (𝐸 ↾ 𝐹)
2		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐸‘𝑖) = (𝐸‘𝑗))
3		neleq2 3067	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸‘𝑖) = (𝐸‘𝑗) → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)))
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)))
5		upgrres.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
6	4, 5	elrab2 3652	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐹 ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)))
7		upgrres.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		upgrres.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
9	7, 8	umgrf 29255	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2})
10		ffvelcdm 7056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2})
11		fveqeq2 6870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = (𝐸‘𝑗) → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2))
12	11	elrab 3649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2))
13		simpll 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉)
14		elpwi 4559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 → (𝐸‘𝑗) ⊆ 𝑉)
15	14	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) → (𝐸‘𝑗) ⊆ 𝑉)
16	15	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ⊆ 𝑉)
17		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗))
18		elpwdifsn 4746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐸‘𝑗) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
19	13, 16, 17, 18	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
20		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) → (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2)
21	20	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2)
22	11, 19, 21	elrabd 3651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
23	22	ex 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
24	23	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
25	12, 24	sylbi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
26	10, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐸) → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
27	26	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
28	27	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
29	9, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
30	29	imp4b 425	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑗 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
31	6, 30	biimtrid 244	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑗 ∈ 𝐹 → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
32	31	ralrimiv 3152	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∀𝑗 ∈ 𝐹 (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
33		umgruhgr 29261	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
34	8	uhgrfun 29223	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐸)
35	33, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → Fun 𝐸)
36	35	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → Fun 𝐸)
37	5	ssrab3 4033	. . . 4 ⊢ 𝐹 ⊆ dom 𝐸
38		funimass4 6925	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ 𝐹 ⊆ dom 𝐸) → ((𝐸 “ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐹 (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
39	36, 37, 38	sylancl 595	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝐸 “ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐹 (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
40	32, 39	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 “ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
41	1, 40	eqsstrrid 3973	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran (𝐸 ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∉ wnel 3060  ∀wral 3075  {crab 3413   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4552  {csn 4579  dom cdm 5643  ran crn 5644   ↾ cres 5645   “ cima 5646  Fun wfun 6509  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  2c2 12265  ♯chash 14336  Vtxcvtx 29153  iEdgciedg 29154  UHGraphcuhgr 29213  UMGraphcumgr 29238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-hash 14337  df-uhgr 29215  df-upgr 29239  df-umgr 29240

This theorem is referenced by:  umgrres  29464  usgrres  29465