Theorem umgrreslem 29932

Description: Lemma for umgrres 29934 and usgrres 29935. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.) (Revised by AV, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
upgrres.f	⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
umgrreslem	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran (𝐸 ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝐸,𝑝   𝐺,𝑝   𝑖,𝑁   𝑁,𝑝   𝑉,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑖, 𝑝)   𝐺(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem umgrreslem

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5669	. 2 ⊢ (𝐸 “ 𝐹) = ran (𝐸 ↾ 𝐹)
2		fveq2 6914	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐸‘𝑖) = (𝐸‘𝑗))
3		neleq2 3072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸‘𝑖) = (𝐸‘𝑗) → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)))
4	2, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)))
5		upgrres.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
6	4, 5	elrab2 3652	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐹 ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)))
7		upgrres.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		upgrres.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
9	7, 8	umgrf 29722	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2})
10		ffvelcdm 7111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2})
11		fveqeq2 6923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = (𝐸‘𝑗) → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2))
12	11	elrab 3648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2))
13		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉)
14		elpwi 4567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 → (𝐸‘𝑗) ⊆ 𝑉)
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) → (𝐸‘𝑗) ⊆ 𝑉)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ⊆ 𝑉)
17		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗))
18		elpwdifsn 4752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐸‘𝑗) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
19	13, 16, 17, 18	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
20		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) → (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2)
22	11, 19, 21	elrabd 3650	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
23	22	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
24	23	a1d 26	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐸‘𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑗)) = 2) → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
25	12, 24	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
26	10, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐸) → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
27	26	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
28	27	com23 87	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
29	9, 28	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
30	29	imp4b 427	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑗 ∈ dom 𝐸 ∧ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑗)) → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
31	6, 30	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑗 ∈ 𝐹 → (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
32	31	ralrimiv 3157	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∀𝑗 ∈ 𝐹 (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
33		umgruhgr 29728	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
34	8	uhgrfun 29690	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐸)
35	33, 34	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → Fun 𝐸)
36	35	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → Fun 𝐸)
37	5	ssrab3 4010	. . . 4 ⊢ 𝐹 ⊆ dom 𝐸
38		funimass4 6978	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ 𝐹 ⊆ dom 𝐸) → ((𝐸 “ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐹 (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
39	36, 37, 38	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝐸 “ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐹 (𝐸‘𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
40	32, 39	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 “ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
41	1, 40	eqsstrrid 3952	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran (𝐸 ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∉ wnel 3065  ∀wral 3080  {crab 3416   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  dom cdm 5656  ran crn 5657   ↾ cres 5658   “ cima 5659  Fun wfun 6558  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  2c2 12435  ♯chash 14513  Vtxcvtx 29620  iEdgciedg 29621  UHGraphcuhgr 29680  UMGraphcumgr 29705

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-fz 13678  df-hash 14514  df-uhgr 29682  df-upgr 29706  df-umgr 29707

This theorem is used by:  umgrres  29934  usgrres  29935