Theorem deg1n0ima 26317

Description: Degree image of a set of polynomials which does not include zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1nn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1n0ima	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷 “ (𝐵 ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)

Proof of Theorem deg1n0ima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
2		eldifi 4078	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝐵)
3	2	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝐵)
4		eldifsni 4753	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
5	4	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
6		deg1z.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
7		deg1z.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		deg1z.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
9		deg1nn0cl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10	6, 7, 8, 9	deg1nn0cl 26316	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℕ0)
11	1, 3, 5, 10	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℕ0)
12	11	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝐷‘𝑥) ∈ ℕ0)
13	6, 7, 9	deg1xrf 26309	. . . 4 ⊢ 𝐷:𝐵⟶ℝ*
14		ffun 6706	. . . 4 ⊢ (𝐷:𝐵⟶ℝ* → Fun 𝐷)
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun 𝐷
16		difss 4083	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
17	13	fdmi 6715	. . . 4 ⊢ dom 𝐷 = 𝐵
18	16, 17	sseqtrri 3980	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ dom 𝐷
19		funimass4 6943	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐷 ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ dom 𝐷) → ((𝐷 “ (𝐵 ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝐷‘𝑥) ∈ ℕ0))
20	15, 18, 19	mp2an 705	. 2 ⊢ ((𝐷 “ (𝐵 ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝐷‘𝑥) ∈ ℕ0)
21	12, 20	sylibr 237	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷 “ (𝐵 ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  dom cdm 5655   “ cima 5658  Fun wfun 6527  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  ℝ^*cxr 11269  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17304  0_gc0g 17527  Ringcrg 20375  Poly₁cpl1 22405  deg₁cdg1 26282

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-hash 14398  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-prds 17535  df-pws 17537  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-subg 19249  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-ur 20324  df-ring 20377  df-cring 20378  df-cnfld 21589  df-psr 22127  df-mpl 22129  df-opsr 22131  df-psr1 22408  df-ply1 22410  df-mdeg 26283  df-deg1 26284

This theorem is used by:  ig1peu  26403  ig1pdvds  26408