Theorem deg1n0ima 26129

Description: Degree image of a set of polynomials which does not include zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1nn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1n0ima	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷 “ (𝐵 ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)

Proof of Theorem deg1n0ima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
2		eldifi 4130	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝐵)
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝐵)
4		eldifsni 4789	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
6		deg1z.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
7		deg1z.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		deg1z.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
9		deg1nn0cl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10	6, 7, 8, 9	deg1nn0cl 26128	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℕ0)
11	1, 3, 5, 10	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℕ0)
12	11	ralrimiva 3145	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝐷‘𝑥) ∈ ℕ0)
13	6, 7, 9	deg1xrf 26121	. . . 4 ⊢ 𝐷:𝐵⟶ℝ*
14		ffun 6738	. . . 4 ⊢ (𝐷:𝐵⟶ℝ* → Fun 𝐷)
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun 𝐷
16		difss 4135	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
17	13	fdmi 6746	. . . 4 ⊢ dom 𝐷 = 𝐵
18	16, 17	sseqtrri 4032	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ dom 𝐷
19		funimass4 6972	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐷 ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ dom 𝐷) → ((𝐷 “ (𝐵 ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝐷‘𝑥) ∈ ℕ0))
20	15, 18, 19	mp2an 692	. 2 ⊢ ((𝐷 “ (𝐵 ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝐷‘𝑥) ∈ ℕ0)
21	12, 20	sylibr 234	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷 “ (𝐵 ∖ { 0 })) ⊆ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  {csn 4625  dom cdm 5684   “ cima 5687  Fun wfun 6554  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  ℝ^*cxr 11295  ℕ₀cn0 12528  Basecbs 17248  0_gc0g 17485  Ringcrg 20231  Poly₁cpl1 22179  deg₁cdg1 26094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-subg 19142  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-cnfld 21366  df-psr 21930  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-psr1 22182  df-ply1 22184  df-mdeg 26095  df-deg1 26096

This theorem is referenced by:  ig1peu  26215  ig1pdvds  26220