MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdss2 18809
Description: A subset of generators is contained in a submonoid iff the set of words on the generators is in the submonoid. This can be viewed as an elementary way of saying "the monoidal closure of 𝐽 is Word 𝐽". (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdgsum.u 𝑈 = (varFMnd𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdss2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴 ↔ Word 𝐽𝐴))

Proof of Theorem frmdss2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝐼𝑉)
2 simpl2 1190 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝐽𝐼)
3 sswrd 14499 . . . . . . . . 9 (𝐽𝐼 → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
5 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝑥 ∈ Word 𝐽)
64, 5sseldd 3980 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
7 frmdmnd.m . . . . . . . 8 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
8 frmdgsum.u . . . . . . . 8 𝑈 = (varFMnd𝐼)
97, 8frmdgsum 18808 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥)
101, 6, 9syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥)
11 simpl3 1191 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀))
12 wrdf 14496 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑥:(0..^(♯‘𝑥))⟶𝐽)
1312ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝑥:(0..^(♯‘𝑥))⟶𝐽)
1413frnd 6725 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → ran 𝑥𝐽)
15 cores 6248 . . . . . . . . 9 (ran 𝑥𝐽 → ((𝑈𝐽) ∘ 𝑥) = (𝑈𝑥))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → ((𝑈𝐽) ∘ 𝑥) = (𝑈𝑥))
178vrmdf 18804 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝑉𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
18173ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
1918ffnd 6718 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → 𝑈 Fn 𝐼)
20 fnssres 6673 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 Fn 𝐼𝐽𝐼) → (𝑈𝐽) Fn 𝐽)
2119, 2, 20syl2an2r 684 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → (𝑈𝐽) Fn 𝐽)
22 df-ima 5686 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝐽) = ran (𝑈𝐽)
23 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴)
2422, 23eqsstrrid 4028 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → ran (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴)
25 df-f 6547 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝐽):𝐽𝐴 ↔ ((𝑈𝐽) Fn 𝐽 ∧ ran (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴))
2621, 24, 25sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → (𝑈𝐽):𝐽𝐴)
27 wrdco 14809 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ (𝑈𝐽):𝐽𝐴) → ((𝑈𝐽) ∘ 𝑥) ∈ Word 𝐴)
285, 26, 27syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → ((𝑈𝐽) ∘ 𝑥) ∈ Word 𝐴)
2916, 28eqeltrrd 2830 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → (𝑈𝑥) ∈ Word 𝐴)
30 gsumwsubmcl 18783 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ (𝑈𝑥) ∈ Word 𝐴) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) ∈ 𝐴)
3111, 29, 30syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) ∈ 𝐴)
3210, 31eqeltrrd 2830 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴𝑥 ∈ Word 𝐽)) → 𝑥𝐴)
3332expr 456 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑥𝐴))
3433ssrdv 3985 . . 3 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴) → Word 𝐽𝐴)
3534ex 412 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴 → Word 𝐽𝐴))
36 simpl1 1189 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ 𝑥𝐽) → 𝐼𝑉)
37 simp2 1135 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → 𝐽𝐼)
3837sselda 3979 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥𝐼)
398vrmdval 18803 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑥𝐼) → (𝑈𝑥) = ⟨“𝑥”⟩)
4036, 38, 39syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ 𝑥𝐽) → (𝑈𝑥) = ⟨“𝑥”⟩)
41 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥𝐽)
4241s1cld 14580 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ 𝑥𝐽) → ⟨“𝑥”⟩ ∈ Word 𝐽)
4340, 42eqeltrd 2829 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ 𝑥𝐽) → (𝑈𝑥) ∈ Word 𝐽)
4443ralrimiva 3142 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ∀𝑥𝐽 (𝑈𝑥) ∈ Word 𝐽)
4518ffund 6721 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → Fun 𝑈)
4618fdmd 6728 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → dom 𝑈 = 𝐼)
4737, 46sseqtrrd 4020 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → 𝐽 ⊆ dom 𝑈)
48 funimass4 6958 . . . . 5 ((Fun 𝑈𝐽 ⊆ dom 𝑈) → ((𝑈𝐽) ⊆ Word 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑈𝑥) ∈ Word 𝐽))
4945, 47, 48syl2anc 583 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ((𝑈𝐽) ⊆ Word 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑈𝑥) ∈ Word 𝐽))
5044, 49mpbird 257 . . 3 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → (𝑈𝐽) ⊆ Word 𝐽)
51 sstr2 3986 . . 3 ((𝑈𝐽) ⊆ Word 𝐽 → (Word 𝐽𝐴 → (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴))
5250, 51syl 17 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → (Word 𝐽𝐴 → (𝑈𝐽) ⊆ 𝐴))
5335, 52impbid 211 1 ((𝐼𝑉𝐽𝐼𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐴 ↔ Word 𝐽𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057  wss 3945  dom cdm 5673  ran crn 5674  cres 5675  cima 5676  ccom 5677  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7415  0cc0 11133  ..^cfzo 13654  chash 14316  Word cword 14491  ⟨“cs1 14572   Σg cgsu 17416  SubMndcsubmnd 18733  freeMndcfrmd 18793  varFMndcvrmd 18794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-word 14492  df-lsw 14540  df-concat 14548  df-s1 14573  df-substr 14618  df-pfx 14648  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-frmd 18795  df-vrmd 18796
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator