MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdss2 18743
Description: A subset of generators is contained in a submonoid iff the set of words on the generators is in the submonoid. This can be viewed as an elementary way of saying "the monoidal closure of 𝐽 is Word 𝐽". (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
frmdgsum.u π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
frmdss2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ↔ Word 𝐽 βŠ† 𝐴))

Proof of Theorem frmdss2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
2 simpl2 1192 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
3 sswrd 14471 . . . . . . . . 9 (𝐽 βŠ† 𝐼 β†’ Word 𝐽 βŠ† Word 𝐼)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ Word 𝐽 βŠ† Word 𝐼)
5 simprr 771 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐽)
64, 5sseldd 3983 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
7 frmdmnd.m . . . . . . . 8 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
8 frmdgsum.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
97, 8frmdgsum 18742 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯)
101, 6, 9syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯)
11 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
12 wrdf 14468 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ Word 𝐽 β†’ π‘₯:(0..^(β™―β€˜π‘₯))⟢𝐽)
1312ad2antll 727 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ π‘₯:(0..^(β™―β€˜π‘₯))⟢𝐽)
1413frnd 6725 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ ran π‘₯ βŠ† 𝐽)
15 cores 6248 . . . . . . . . 9 (ran π‘₯ βŠ† 𝐽 β†’ ((π‘ˆ β†Ύ 𝐽) ∘ π‘₯) = (π‘ˆ ∘ π‘₯))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ ((π‘ˆ β†Ύ 𝐽) ∘ π‘₯) = (π‘ˆ ∘ π‘₯))
178vrmdf 18738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
18173ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
1918ffnd 6718 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ π‘ˆ Fn 𝐼)
20 fnssres 6673 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ Fn 𝐼 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ (π‘ˆ β†Ύ 𝐽) Fn 𝐽)
2119, 2, 20syl2an2r 683 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ (π‘ˆ β†Ύ 𝐽) Fn 𝐽)
22 df-ima 5689 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ β€œ 𝐽) = ran (π‘ˆ β†Ύ 𝐽)
23 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ (π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴)
2422, 23eqsstrrid 4031 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ ran (π‘ˆ β†Ύ 𝐽) βŠ† 𝐴)
25 df-f 6547 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ β†Ύ 𝐽):𝐽⟢𝐴 ↔ ((π‘ˆ β†Ύ 𝐽) Fn 𝐽 ∧ ran (π‘ˆ β†Ύ 𝐽) βŠ† 𝐴))
2621, 24, 25sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ (π‘ˆ β†Ύ 𝐽):𝐽⟢𝐴)
27 wrdco 14781 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ Word 𝐽 ∧ (π‘ˆ β†Ύ 𝐽):𝐽⟢𝐴) β†’ ((π‘ˆ β†Ύ 𝐽) ∘ π‘₯) ∈ Word 𝐴)
285, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ ((π‘ˆ β†Ύ 𝐽) ∘ π‘₯) ∈ Word 𝐴)
2916, 28eqeltrrd 2834 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) ∈ Word 𝐴)
30 gsumwsubmcl 18717 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ (π‘ˆ ∘ π‘₯) ∈ Word 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) ∈ 𝐴)
3111, 29, 30syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) ∈ 𝐴)
3210, 31eqeltrrd 2834 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
3332expr 457 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ (π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ Word 𝐽 β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
3433ssrdv 3988 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ (π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴) β†’ Word 𝐽 βŠ† 𝐴)
3534ex 413 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 β†’ Word 𝐽 βŠ† 𝐴))
36 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
37 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
3837sselda 3982 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
398vrmdval 18737 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘₯) = βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)
4036, 38, 39syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘₯) = βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)
41 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
4241s1cld 14552 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ© ∈ Word 𝐽)
4340, 42eqeltrd 2833 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘₯) ∈ Word 𝐽)
4443ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (π‘ˆβ€˜π‘₯) ∈ Word 𝐽)
4518ffund 6721 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ Fun π‘ˆ)
4618fdmd 6728 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ dom π‘ˆ = 𝐼)
4737, 46sseqtrrd 4023 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ 𝐽 βŠ† dom π‘ˆ)
48 funimass4 6956 . . . . 5 ((Fun π‘ˆ ∧ 𝐽 βŠ† dom π‘ˆ) β†’ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† Word 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (π‘ˆβ€˜π‘₯) ∈ Word 𝐽))
4945, 47, 48syl2anc 584 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† Word 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (π‘ˆβ€˜π‘₯) ∈ Word 𝐽))
5044, 49mpbird 256 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† Word 𝐽)
51 sstr2 3989 . . 3 ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† Word 𝐽 β†’ (Word 𝐽 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴))
5250, 51syl 17 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (Word 𝐽 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴))
5335, 52impbid 211 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ↔ Word 𝐽 βŠ† 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  ..^cfzo 13626  β™―chash 14289  Word cword 14463  βŸ¨β€œcs1 14544   Ξ£g cgsu 17385  SubMndcsubmnd 18669  freeMndcfrmd 18727  varFMndcvrmd 18728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512  df-concat 14520  df-s1 14545  df-substr 14590  df-pfx 14620  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-frmd 18729  df-vrmd 18730
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator