MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdss2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frmdss2 18780
Description: A subset of generators is contained in a submonoid iff the set of words on the generators is in the submonoid. This can be viewed as an elementary way of saying "the monoidal closure of 𝐽 is Word 𝐽". (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
frmdgsum.u π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
frmdss2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ↔ Word 𝐽 βŠ† 𝐴))
Proof of Theorem frmdss2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
2 simpl2 1190 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
3 sswrd 14476 . . . . . . . . 9 (𝐽 βŠ† 𝐼 β†’ Word 𝐽 βŠ† Word 𝐼)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ Word 𝐽 βŠ† Word 𝐼)
5 simprr 769 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐽)
64, 5sseldd 3982 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
7 frmdmnd.m . . . . . . . 8 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
8 frmdgsum.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
97, 8frmdgsum 18779 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯)
101, 6, 9syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯)
11 simpl3 1191 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
12 wrdf 14473 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ Word 𝐽 β†’ π‘₯:(0..^(β™―β€˜π‘₯))⟢𝐽)
1312ad2antll 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ π‘₯:(0..^(β™―β€˜π‘₯))⟢𝐽)
1413frnd 6724 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ ran π‘₯ βŠ† 𝐽)
15 cores 6247 . . . . . . . . 9 (ran π‘₯ βŠ† 𝐽 β†’ ((π‘ˆ β†Ύ 𝐽) ∘ π‘₯) = (π‘ˆ ∘ π‘₯))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ ((π‘ˆ β†Ύ 𝐽) ∘ π‘₯) = (π‘ˆ ∘ π‘₯))
178vrmdf 18775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
18173ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
1918ffnd 6717 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ π‘ˆ Fn 𝐼)
20 fnssres 6672 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ Fn 𝐼 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ (π‘ˆ β†Ύ 𝐽) Fn 𝐽)
2119, 2, 20syl2an2r 681 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ (π‘ˆ β†Ύ 𝐽) Fn 𝐽)
22 df-ima 5688 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ β€œ 𝐽) = ran (π‘ˆ β†Ύ 𝐽)
23 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ (π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴)
2422, 23eqsstrrid 4030 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ ran (π‘ˆ β†Ύ 𝐽) βŠ† 𝐴)
25 df-f 6546 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ β†Ύ 𝐽):𝐽⟢𝐴 ↔ ((π‘ˆ β†Ύ 𝐽) Fn 𝐽 ∧ ran (π‘ˆ β†Ύ 𝐽) βŠ† 𝐴))
2621, 24, 25sylanbrc 581 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ (π‘ˆ β†Ύ 𝐽):𝐽⟢𝐴)
27 wrdco 14786 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ Word 𝐽 ∧ (π‘ˆ β†Ύ 𝐽):𝐽⟢𝐴) β†’ ((π‘ˆ β†Ύ 𝐽) ∘ π‘₯) ∈ Word 𝐴)
285, 26, 27syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ ((π‘ˆ β†Ύ 𝐽) ∘ π‘₯) ∈ Word 𝐴)
2916, 28eqeltrrd 2832 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) ∈ Word 𝐴)
30 gsumwsubmcl 18754 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ (π‘ˆ ∘ π‘₯) ∈ Word 𝐴) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) ∈ 𝐴)
3111, 29, 30syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) ∈ 𝐴)
3210, 31eqeltrrd 2832 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
3332expr 455 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ (π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ Word 𝐽 β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
3433ssrdv 3987 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ (π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴) β†’ Word 𝐽 βŠ† 𝐴)
3534ex 411 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 β†’ Word 𝐽 βŠ† 𝐴))
36 simpl1 1189 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
37 simp2 1135 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
3837sselda 3981 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
398vrmdval 18774 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘₯) = βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)
4036, 38, 39syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘₯) = βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)
41 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
4241s1cld 14557 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ© ∈ Word 𝐽)
4340, 42eqeltrd 2831 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘₯) ∈ Word 𝐽)
4443ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (π‘ˆβ€˜π‘₯) ∈ Word 𝐽)
4518ffund 6720 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ Fun π‘ˆ)
4618fdmd 6727 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ dom π‘ˆ = 𝐼)
4737, 46sseqtrrd 4022 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ 𝐽 βŠ† dom π‘ˆ)
48 funimass4 6955 . . . . 5 ((Fun π‘ˆ ∧ 𝐽 βŠ† dom π‘ˆ) β†’ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† Word 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (π‘ˆβ€˜π‘₯) ∈ Word 𝐽))
4945, 47, 48syl2anc 582 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† Word 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (π‘ˆβ€˜π‘₯) ∈ Word 𝐽))
5044, 49mpbird 256 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† Word 𝐽)
51 sstr2 3988 . . 3 ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† Word 𝐽 β†’ (Word 𝐽 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴))
5250, 51syl 17 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (Word 𝐽 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴))
5335, 52impbid 211 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ ((π‘ˆ β€œ 𝐽) βŠ† 𝐴 ↔ Word 𝐽 βŠ† 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   βŠ† wss 3947  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  ..^cfzo 13631  β™―chash 14294  Word cword 14468  βŸ¨β€œcs1 14549   Ξ£g cgsu 17390  SubMndcsubmnd 18704  freeMndcfrmd 18764  varFMndcvrmd 18765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-frmd 18766  df-vrmd 18767
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator