Theorem funvtxdm2val 26513

Description: The set of vertices of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
funvtxdm2val.a	⊢ 𝐴 ∈ V
funvtxdm2val.b	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
funvtxdm2val	⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem funvtxdm2val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxval 26500	. 2 ⊢ (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺))
2		funvtxdm2val.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		funvtxdm2val.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	fun2dmnop0 13661	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
5	4	iffalsed 4355	. 2 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐺))
6	1, 5	syl5eq 2820	1 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2961  Vcvv 3409   ∖ cdif 3820   ⊆ wss 3823  ∅c0 4172  ifcif 4344  {csn 4435  {cpr 4437   × cxp 5401  dom cdm 5403  Fun wfun 6179  ‘cfv 6185  1^st c1st 7497  Basecbs 16337  Vtxcvtx 26496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-dju 9122  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-n0 11706  df-xnn0 11778  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-hash 13504  df-vtx 26498

This theorem is referenced by:  funvtxval0  26515  funvtxval  26518