MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz01en Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz01en 12928
Description: 0-based and 1-based finite sets of sequential integers are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)
Assertion
Ref Expression
fz01en (𝑁 ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))

Proof of Theorem fz01en
StepHypRef Expression
1 peano2zm 12017 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2 0z 11984 . . . 4 0 ∈ ℤ
3 1z 12004 . . . 4 1 ∈ ℤ
4 fzen 12917 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0...(𝑁 − 1)) ≈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
52, 3, 4mp3an13 1445 . . 3 ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
61, 5syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
7 0p1e1 11751 . . . 4 (0 + 1) = 1
87a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (0 + 1) = 1)
9 zcn 11978 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
10 ax-1cn 10587 . . . 4 1 ∈ ℂ
11 npcan 10887 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
129, 10, 11sylancl 586 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
138, 12oveq12d 7169 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
146, 13breqtrd 5088 1 (𝑁 ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5062  (class class class)co 7151  cen 8498  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  cmin 10862  cz 11973  ...cfz 12885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-fz 12886
This theorem is referenced by:  bpolylem  15394  4sqlem11  16283  dfod2  18613
  Copyright terms: Public domain W3C validator