Theorem fz01en 13551

Description: 0-based and 1-based finite sets of sequential integers are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fz01en	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))

Proof of Theorem fz01en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 12608	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2		0z 12573	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		1z 12595	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		fzen 13540	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0...(𝑁 − 1)) ≈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
5	2, 3, 4	mp3an13 1472	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
7		0p1e1 12332	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 + 1) = 1)
9		zcn 12567	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
10		ax-1cn 11125	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		npcan 11433	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
12	9, 10, 11	sylancl 595	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
13	8, 12	oveq12d 7409	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
14	6, 13	breqtrd 5123	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391   ≈ cen 8918  ℂcc 11065  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   − cmin 11408  ℤcz 12562  ...cfz 13506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-fz 13507

This theorem is referenced by:  bpolylem  16069  4sqlem11  16982  dfod2  19595