Theorem fzdif2 32696

Description: Split the last element of a finite set of sequential integers. More generic than fzsuc 13596. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzdif2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑁}) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzdif2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzspl 32695	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
2	1	difeq1d 4117	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑁}) = (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}) ∖ {𝑁}))
3		difun2 4475	. . 3 ⊢ (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}) ∖ {𝑁}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∖ {𝑁})
4	2, 3	eqtrdi 2782	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑁}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∖ {𝑁}))
5		eluzelz 12878	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		uzid 12883	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		uznfz 13632	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
9		disjsn 4710	. . . 4 ⊢ (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
10	8, 9	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅)
11		disjdif2 4474	. . 3 ⊢ (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅ → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∖ {𝑁}) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∖ {𝑁}) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
13	4, 12	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑁}) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∖ cdif 3943   ∪ cun 3944   ∩ cin 3945  ∅c0 4322  {csn 4623  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  1c1 11150   − cmin 11485  ℤcz 12604  ℤ_≥cuz 12868  ...cfz 13532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-fz 13533

This theorem is referenced by:  submat1n  33633  submatres  33634  madjusmdetlem1  33655  madjusmdetlem2  33656  madjusmdetlem3  33657