Theorem fzdif2 31120

Description: Split the last element of a finite set of sequential integers. More generic than fzsuc 13313. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzdif2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑁}) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzdif2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzspl 31119	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
2	1	difeq1d 4055	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑁}) = (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}) ∖ {𝑁}))
3		difun2 4414	. . 3 ⊢ (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}) ∖ {𝑁}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∖ {𝑁})
4	2, 3	eqtrdi 2794	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑁}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∖ {𝑁}))
5		eluzelz 12602	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		uzid 12607	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		uznfz 13349	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
9		disjsn 4647	. . . 4 ⊢ (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
10	8, 9	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅)
11		disjdif2 4413	. . 3 ⊢ (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅ → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∖ {𝑁}) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∖ {𝑁}) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
13	4, 12	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑁}) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3883   ∪ cun 3884   ∩ cin 3885  ∅c0 4256  {csn 4561  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  1c1 10882   − cmin 11215  ℤcz 12329  ℤ_≥cuz 12592  ...cfz 13249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-fz 13250

This theorem is referenced by:  submat1n  31763  submatres  31764  madjusmdetlem1  31785  madjusmdetlem2  31786  madjusmdetlem3  31787