Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzdif2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzdif2 30500
Description: Split the last element of a finite set of sequential integers. (more generic than fzsuc 12937) (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzdif2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑁}) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzdif2
StepHypRef Expression
1 fzspl 30499 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
21difeq1d 4074 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑁}) = (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}) ∖ {𝑁}))
3 difun2 4402 . . 3 (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}) ∖ {𝑁}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∖ {𝑁})
42, 3syl6eq 2872 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑁}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∖ {𝑁}))
5 eluzelz 12231 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 uzid 12236 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
7 uznfz 12973 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
85, 6, 73syl 18 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
9 disjsn 4620 . . . 4 (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
108, 9sylibr 237 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅)
11 disjdif2 4401 . . 3 (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅ → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∖ {𝑁}) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
1210, 11syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∖ {𝑁}) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
134, 12eqtrd 2856 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑁}) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  c0 4266  {csn 4540  cfv 6328  (class class class)co 7130  1c1 10515  cmin 10847  cz 11959  cuz 12221  ...cfz 12875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876
This theorem is referenced by:  submat1n  31080  submatres  31081  madjusmdetlem1  31102  madjusmdetlem2  31103  madjusmdetlem3  31104
  Copyright terms: Public domain W3C validator