Theorem fzdif2 32886

Description: Split the last element of a finite set of sequential integers. More generic than fzsuc 13520. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzdif2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑁}) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzdif2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzspl 32885	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
2	1	difeq1d 4059	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑁}) = (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}) ∖ {𝑁}))
3		difun2 4412	. . 3 ⊢ (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}) ∖ {𝑁}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∖ {𝑁})
4	2, 3	eqtrdi 2792	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑁}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∖ {𝑁}))
5		eluzelz 12793	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		uzid 12798	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		uznfz 13559	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
9		disjsn 4646	. . . 4 ⊢ (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
10	8, 9	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅)
11		disjdif2 4411	. . 3 ⊢ (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅ → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∖ {𝑁}) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∖ {𝑁}) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
13	4, 12	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∖ {𝑁}) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∖ cdif 3882   ∪ cun 3883   ∩ cin 3884  ∅c0 4264  {csn 4558  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  1c1 11034   − cmin 11372  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  submat1n  34001  submatres  34002  madjusmdetlem1  34023  madjusmdetlem2  34024  madjusmdetlem3  34025