Theorem fzocatel 13104

Description: Translate membership in a half-open integer range. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzocatel	⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (0..^𝐶))

Proof of Theorem fzocatel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 767	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
2		fzospliti 13072	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))
3	2	ad2ant2r 745	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))
4	3	ord 860	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶))))
5	1, 4	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶)))
6		simprl 769	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
7		fzosubel 13099	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ((𝐵 − 𝐵)..^((𝐵 + 𝐶) − 𝐵)))
8	5, 6, 7	syl2anc 586	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ((𝐵 − 𝐵)..^((𝐵 + 𝐶) − 𝐵)))
9		zcn 11989	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	subidd 10987	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 𝐵) = 0)
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
12	6	zcnd 12091	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
13		simprr 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12091	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
15	12, 14	pncan2d 11001	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐵) = 𝐶)
16	11, 15	oveq12d 7176	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → ((𝐵 − 𝐵)..^((𝐵 + 𝐶) − 𝐵)) = (0..^𝐶))
17	8, 16	eleqtrd 2917	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 + 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (0..^𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (0..^𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  0cc0 10539   + caddc 10542   − cmin 10872  ℤcz 11984  ..^cfzo 13036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037

This theorem is referenced by:  ccatcl  13928  repswccat  14150  ofccat  14331  ccatmulgnn0dir  31814