Theorem ubmelfzo 13833

Description: If an integer in a 1-based finite set of sequential integers is subtracted from the upper bound of this finite set of sequential integers, the result is contained in a half-open range of nonnegative integers with the same upper bound. (Contributed by AV, 18-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ubmelfzo	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem ubmelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
2		nnnn0 12582	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		nnnn0 12582	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	anim12i 625	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
5	4	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
6		nn0sub 12625	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0))
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0))
8	1, 7	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
9		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
10		nngt0 12338	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
11	10	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 0 < 𝐾)
12		nnre 12311	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
13		nnre 12311	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
14	12, 13	anim12i 625	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
15	14	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
16		ltsubpos 11777	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝑁 − 𝐾) < 𝑁))
17	15, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (0 < 𝐾 ↔ (𝑁 − 𝐾) < 𝑁))
18	11, 17	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐾) < 𝑁)
19	8, 9, 18	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 𝐾) < 𝑁))
20		elfz1b 13695	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
21		elfzo0 13803	. 2 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 𝐾) < 𝑁))
22	19, 20, 21	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (0..^𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  (class class class)co 7408  ℝcr 11170  0cc0 11171  1c1 11172   < clt 11314   ≤ cle 11315   − cmin 11512  ℕcn 12304  ℕ₀cn0 12575  ...cfz 13608  ..^cfzo 13756

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757

This theorem is used by:  cshwidxm  14926  chnrev  18762  crctcshwlkn0lem6  30337  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30898  vietalem  34144  gpgedgvtx1  49082