Theorem ubmelfzo 13660

Description: If an integer in a 1-based finite set of sequential integers is subtracted from the upper bound of this finite set of sequential integers, the result is contained in a half-open range of nonnegative integers with the same upper bound. (Contributed by AV, 18-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ubmelfzo	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem ubmelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
2		nnnn0 12422	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		nnnn0 12422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	anim12i 614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
5	4	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
6		nn0sub 12465	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0))
8	1, 7	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
9		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
10		nngt0 12190	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
11	10	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 0 < 𝐾)
12		nnre 12166	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
13		nnre 12166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
14	12, 13	anim12i 614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
15	14	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
16		ltsubpos 11643	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝑁 − 𝐾) < 𝑁))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (0 < 𝐾 ↔ (𝑁 − 𝐾) < 𝑁))
18	11, 17	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐾) < 𝑁)
19	8, 9, 18	3jca 1129	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 𝐾) < 𝑁))
20		elfz1b 13523	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
21		elfzo0 13630	. 2 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 𝐾) < 𝑁))
22	19, 20, 21	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (0..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   < clt 11180   ≤ cle 11181   − cmin 11378  ℕcn 12159  ℕ₀cn0 12415  ...cfz 13437  ..^cfzo 13584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585

This theorem is referenced by:  cshwidxm  14745  chnrev  18564  crctcshwlkn0lem6  29906  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30457  vietalem  33762  gpgedgvtx1  48451