Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubmelfzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubmelfzo 13151
 Description: If an integer in a 1-based finite set of sequential integers is subtracted from the upper bound of this finite set of sequential integers, the result is contained in a half-open range of nonnegative integers with the same upper bound. (Contributed by AV, 18-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ubmelfzo (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem ubmelfzo
StepHypRef Expression
1 simp3 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
2 nnnn0 11941 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3 nnnn0 11941 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
42, 3anim12i 615 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
543adant3 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
6 nn0sub 11984 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ0))
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ0))
81, 7mpbid 235 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
9 simp2 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
10 nngt0 11705 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
11103ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → 0 < 𝐾)
12 nnre 11681 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
13 nnre 11681 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1412, 13anim12i 615 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
15143adant3 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
16 ltsubpos 11170 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝑁𝐾) < 𝑁))
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → (0 < 𝐾 ↔ (𝑁𝐾) < 𝑁))
1811, 17mpbid 235 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → (𝑁𝐾) < 𝑁)
198, 9, 183jca 1125 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐾) < 𝑁))
20 elfz1b 13025 . 2 (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁))
21 elfzo0 13127 . 2 ((𝑁𝐾) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐾) < 𝑁))
2219, 20, 213imtr4i 295 1 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ (0..^𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5032  (class class class)co 7150  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   < clt 10713   ≤ cle 10714   − cmin 10908  ℕcn 11674  ℕ0cn0 11934  ...cfz 12939  ..^cfzo 13082 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083 This theorem is referenced by:  cshwidxm  14217  crctcshwlkn0lem6  27700  dlwwlknondlwlknonf1olem1  28248
 Copyright terms: Public domain W3C validator