Theorem fzodisj 13671

Description: Abutting half-open integer ranges are disjoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzodisj	⊢ ((𝐴..^𝐵) ∩ (𝐵..^𝐶)) = ∅

Proof of Theorem fzodisj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disj1 4450	. 2 ⊢ (((𝐴..^𝐵) ∩ (𝐵..^𝐶)) = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶)))
2		elfzolt2 13646	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
3		elfzoelz 13637	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 ∈ ℤ)
4	3	zred 12671	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
5		elfzoel2 13636	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
6	5	zred 12671	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	4, 6	ltnled 11366	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝑥))
8	2, 7	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → ¬ 𝐵 ≤ 𝑥)
9		elfzole1 13645	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ≤ 𝑥)
10	8, 9	nsyl 140	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶))
11	1, 10	mpgbir 1800	1 ⊢ ((𝐴..^𝐵) ∩ (𝐵..^𝐶)) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3947  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412   < clt 11253   ≤ cle 11254  ..^cfzo 13632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633

This theorem is referenced by:  ccatval2  14533  pgpfaclem1  19993  dchrisumlem1  27229  dchrisumlem2  27230  fzodif1  32272  swrdrndisj  32389  cycpmconjslem2  32585  signsplypnf  33860  fsum2dsub  33918