Theorem fzosplit 13608

Description: Split a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplit	⊢ (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝐵..^𝐶) = ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)))

Proof of Theorem fzosplit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶))
2		elfzelz 13440	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐷 ∈ ℤ)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶)) → 𝐷 ∈ ℤ)
4		fzospliti 13607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝑥 ∈ (𝐷..^𝐶)))
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶)) → (𝑥 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝑥 ∈ (𝐷..^𝐶)))
6		elun 4105	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝑥 ∈ (𝐷..^𝐶)))
7	5, 6	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)))
8	7	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝑥 ∈ ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶))))
9	8	ssrdv 3939	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)))
10		elfzuz3 13437	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐷))
11		fzoss2 13603	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐷) → (𝐵..^𝐷) ⊆ (𝐵..^𝐶))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝐵..^𝐷) ⊆ (𝐵..^𝐶))
13		elfzuz 13436	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
14		fzoss1 13602	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐷..^𝐶) ⊆ (𝐵..^𝐶))
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝐷..^𝐶) ⊆ (𝐵..^𝐶))
16	12, 15	unssd 4144	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)) ⊆ (𝐵..^𝐶))
17	9, 16	eqssd 3951	1 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝐵..^𝐶) = ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3899   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571

This theorem is referenced by:  fzoun  13612  fzosplitsnm1  13656  fzo0to42pr  13669  fzo0sn0fzo1  13671  fzosplitsn  13692  ccatrn  14513  pfxsuffeqwrdeq  14621  dchrisumlem1  27456  dchrisumlem2  27457  crctcshwlkn0lem7  29889  wwlksnext  29966  fzodif1  32872  cycpmco2rn  33207  cycpmconjslem2  33237  fsum2dsub  34764  fzopred  47564