Theorem grstructeld 28889

Description: If any representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸 is an element of an arbitrary class 𝐶, then any structure with base set 𝑉 and value 𝐸 in the slot for edge functions (which is such a representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸) is an element of this class 𝐶. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 9-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gropeld.g	⊢ (𝜑 → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝑔 ∈ 𝐶))
gropeld.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
gropeld.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
grstructeld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
grstructeld.f	⊢ (𝜑 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
grstructeld.d	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝑆))
grstructeld.b	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑉)
grstructeld.e	⊢ (𝜑 → (.ef‘𝑆) = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
grstructeld	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑔   𝑔,𝐸   𝑔,𝑉   𝜑,𝑔   𝑆,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑔)   𝑊(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem grstructeld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gropeld.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝑔 ∈ 𝐶))
2		gropeld.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
3		gropeld.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
4		grstructeld.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
5		grstructeld.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
6		grstructeld.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝑆))
7		grstructeld.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑉)
8		grstructeld.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.ef‘𝑆) = 𝐸)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	grstructd 28887	. 2 ⊢ (𝜑 → [𝑆 / 𝑔]𝑔 ∈ 𝐶)
10		sbcel1v 3840	. 2 ⊢ ([𝑆 / 𝑔]𝑔 ∈ 𝐶 ↔ 𝑆 ∈ 𝐶)
11	9, 10	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394  ∀wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  [wsbc 3769   ∖ cdif 3937  ∅c0 4318  {csn 4624   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  Fun wfun 6536  ‘cfv 6542   ≤ cle 11277  2c2 12295  ♯chash 14319  Basecbs 17177  .efcedgf 28841  Vtxcvtx 28851  iEdgciedg 28852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-hash 14320  df-vtx 28853  df-iedg 28854

This theorem is referenced by: (None)