Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grstructeld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grstructeld 26833
 Description: If any representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸 is an element of an arbitrary class 𝐶, then any structure with base set 𝑉 and value 𝐸 in the slot for edge functions (which is such a representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸) is an element of this class 𝐶. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 9-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gropeld.g (𝜑 → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝑔𝐶))
gropeld.v (𝜑𝑉𝑈)
gropeld.e (𝜑𝐸𝑊)
grstructeld.s (𝜑𝑆𝑋)
grstructeld.f (𝜑 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
grstructeld.d (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝑆))
grstructeld.b (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑉)
grstructeld.e (𝜑 → (.ef‘𝑆) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
grstructeld (𝜑𝑆𝐶)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑔   𝑔,𝐸   𝑔,𝑉   𝜑,𝑔   𝑆,𝑔
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑔)   𝑊(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem grstructeld
StepHypRef Expression
1 gropeld.g . . 3 (𝜑 → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝑔𝐶))
2 gropeld.v . . 3 (𝜑𝑉𝑈)
3 gropeld.e . . 3 (𝜑𝐸𝑊)
4 grstructeld.s . . 3 (𝜑𝑆𝑋)
5 grstructeld.f . . 3 (𝜑 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
6 grstructeld.d . . 3 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝑆))
7 grstructeld.b . . 3 (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑉)
8 grstructeld.e . . 3 (𝜑 → (.ef‘𝑆) = 𝐸)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8grstructd 26831 . 2 (𝜑[𝑆 / 𝑔]𝑔𝐶)
10 sbcel1v 3825 . 2 ([𝑆 / 𝑔]𝑔𝐶𝑆𝐶)
119, 10sylib 221 1 (𝜑𝑆𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  [wsbc 3759   ∖ cdif 3917  ∅c0 4277  {csn 4551   class class class wbr 5053  dom cdm 5543  Fun wfun 6338  ‘cfv 6344   ≤ cle 10675  2c2 11692  ♯chash 13698  Basecbs 16486  .efcedgf 26788  Vtxcvtx 26795  iEdgciedg 26796 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11700  df-n0 11898  df-xnn0 11968  df-z 11982  df-uz 12244  df-fz 12898  df-hash 13699  df-vtx 26797  df-iedg 26798 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator