Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grstructd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grstructd 26380
 Description: If any representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸 has a certain property 𝜓, then any structure with base set 𝑉 and value 𝐸 in the slot for edge functions (which is such a representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸) has this property. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 9-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gropd.g (𝜑 → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝜓))
gropd.v (𝜑𝑉𝑈)
gropd.e (𝜑𝐸𝑊)
grstructd.s (𝜑𝑆𝑋)
grstructd.f (𝜑 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
grstructd.d (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝑆))
grstructd.b (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑉)
grstructd.e (𝜑 → (.ef‘𝑆) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
grstructd (𝜑[𝑆 / 𝑔]𝜓)
Distinct variable groups:   𝑔,𝐸   𝑔,𝑉   𝜑,𝑔   𝑆,𝑔
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝑊(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem grstructd
StepHypRef Expression
1 grstructd.s . 2 (𝜑𝑆𝑋)
2 gropd.g . 2 (𝜑 → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝜓))
3 grstructd.f . . . . 5 (𝜑 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
4 grstructd.d . . . . 5 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝑆))
5 funvtxdmge2val 26359 . . . . 5 ((Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝑆)) → (Vtx‘𝑆) = (Base‘𝑆))
63, 4, 5syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = (Base‘𝑆))
7 grstructd.b . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑉)
86, 7eqtrd 2814 . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
9 funiedgdmge2val 26360 . . . . 5 ((Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝑆)) → (iEdg‘𝑆) = (.ef‘𝑆))
103, 4, 9syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (.ef‘𝑆))
11 grstructd.e . . . 4 (𝜑 → (.ef‘𝑆) = 𝐸)
1210, 11eqtrd 2814 . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = 𝐸)
138, 12jca 507 . 2 (𝜑 → ((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸))
14 nfcv 2934 . . 3 𝑔𝑆
15 nfv 1957 . . . 4 𝑔((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸)
16 nfsbc1v 3672 . . . 4 𝑔[𝑆 / 𝑔]𝜓
1715, 16nfim 1943 . . 3 𝑔(((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸) → [𝑆 / 𝑔]𝜓)
18 fveqeq2 6455 . . . . 5 (𝑔 = 𝑆 → ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ↔ (Vtx‘𝑆) = 𝑉))
19 fveqeq2 6455 . . . . 5 (𝑔 = 𝑆 → ((iEdg‘𝑔) = 𝐸 ↔ (iEdg‘𝑆) = 𝐸))
2018, 19anbi12d 624 . . . 4 (𝑔 = 𝑆 → (((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) ↔ ((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸)))
21 sbceq1a 3663 . . . 4 (𝑔 = 𝑆 → (𝜓[𝑆 / 𝑔]𝜓))
2220, 21imbi12d 336 . . 3 (𝑔 = 𝑆 → ((((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝜓) ↔ (((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸) → [𝑆 / 𝑔]𝜓)))
2314, 17, 22spcgf 3490 . 2 (𝑆𝑋 → (∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝜓) → (((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸) → [𝑆 / 𝑔]𝜓)))
241, 2, 13, 23syl3c 66 1 (𝜑[𝑆 / 𝑔]𝜓)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386  ∀wal 1599   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  [wsbc 3652   ∖ cdif 3789  ∅c0 4141  {csn 4398   class class class wbr 4886  dom cdm 5355  Fun wfun 6129  ‘cfv 6135   ≤ cle 10412  2c2 11430  ♯chash 13435  Basecbs 16255  .efcedgf 26337  Vtxcvtx 26344  iEdgciedg 26345 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-hash 13436  df-vtx 26346  df-iedg 26347 This theorem is referenced by:  grstructeld  26382
 Copyright terms: Public domain W3C validator