Theorem grstructd 28556

Description: If any representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸 has a certain property 𝜓, then any structure with base set 𝑉 and value 𝐸 in the slot for edge functions (which is such a representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸) has this property. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 9-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gropd.g	⊢ (𝜑 → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝜓))
gropd.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
gropd.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
grstructd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
grstructd.f	⊢ (𝜑 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
grstructd.d	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝑆))
grstructd.b	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑉)
grstructd.e	⊢ (𝜑 → (.ef‘𝑆) = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
grstructd	⊢ (𝜑 → [𝑆 / 𝑔]𝜓)

Distinct variable groups:   𝑔,𝐸   𝑔,𝑉   𝜑,𝑔   𝑆,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝑊(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem grstructd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grstructd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
2		gropd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝜓))
3		grstructd.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
4		grstructd.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝑆))
5		funvtxdmge2val 28535	. . . . 5 ⊢ ((Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝑆)) → (Vtx‘𝑆) = (Base‘𝑆))
6	3, 4, 5	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = (Base‘𝑆))
7		grstructd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑉)
8	6, 7	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
9		funiedgdmge2val 28536	. . . . 5 ⊢ ((Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝑆)) → (iEdg‘𝑆) = (.ef‘𝑆))
10	3, 4, 9	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (.ef‘𝑆))
11		grstructd.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.ef‘𝑆) = 𝐸)
12	10, 11	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = 𝐸)
13	8, 12	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸))
14		nfcv 2902	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔𝑆
15		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑔((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸)
16		nfsbc1v 3798	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑔[𝑆 / 𝑔]𝜓
17	15, 16	nfim 1898	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔(((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸) → [𝑆 / 𝑔]𝜓)
18		fveqeq2 6901	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ↔ (Vtx‘𝑆) = 𝑉))
19		fveqeq2 6901	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → ((iEdg‘𝑔) = 𝐸 ↔ (iEdg‘𝑆) = 𝐸))
20	18, 19	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → (((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) ↔ ((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸)))
21		sbceq1a 3789	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → (𝜓 ↔ [𝑆 / 𝑔]𝜓))
22	20, 21	imbi12d 343	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → ((((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝜓) ↔ (((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸) → [𝑆 / 𝑔]𝜓)))
23	14, 17, 22	spcgf 3582	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑋 → (∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝜓) → (((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸) → [𝑆 / 𝑔]𝜓)))
24	1, 2, 13, 23	syl3c 66	1 ⊢ (𝜑 → [𝑆 / 𝑔]𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  [wsbc 3778   ∖ cdif 3946  ∅c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  Fun wfun 6538  ‘cfv 6544   ≤ cle 11254  2c2 12272  ♯chash 14295  Basecbs 17149  .efcedgf 28510  Vtxcvtx 28520  iEdgciedg 28521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296  df-vtx 28522  df-iedg 28523

This theorem is referenced by:  grstructeld  28558