Theorem grstructd 29291

Description: If any representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸 has a certain property 𝜓, then any structure with base set 𝑉 and value 𝐸 in the slot for edge functions (which is such a representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸) has this property. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 9-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gropd.g	⊢ (𝜑 → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝜓))
gropd.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
gropd.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
grstructd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
grstructd.f	⊢ (𝜑 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
grstructd.d	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝑆))
grstructd.b	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑉)
grstructd.e	⊢ (𝜑 → (.ef‘𝑆) = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
grstructd	⊢ (𝜑 → [𝑆 / 𝑔]𝜓)

Distinct variable groups:   𝑔,𝐸   𝑔,𝑉   𝜑,𝑔   𝑆,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝑊(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem grstructd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grstructd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
2		gropd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝜓))
3		grstructd.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
4		grstructd.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝑆))
5		funvtxdmge2val 29270	. . . . 5 ⊢ ((Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝑆)) → (Vtx‘𝑆) = (Base‘𝑆))
6	3, 4, 5	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = (Base‘𝑆))
7		grstructd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑉)
8	6, 7	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
9		funiedgdmge2val 29271	. . . . 5 ⊢ ((Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝑆)) → (iEdg‘𝑆) = (.ef‘𝑆))
10	3, 4, 9	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (.ef‘𝑆))
11		grstructd.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.ef‘𝑆) = 𝐸)
12	10, 11	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = 𝐸)
13	8, 12	jca 520	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸))
14		nfcv 2927	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔𝑆
15		nfv 1937	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑔((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸)
16		nfsbc1v 3767	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑔[𝑆 / 𝑔]𝜓
17	15, 16	nfim 1919	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔(((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸) → [𝑆 / 𝑔]𝜓)
18		fveqeq2 6880	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ↔ (Vtx‘𝑆) = 𝑉))
19		fveqeq2 6880	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → ((iEdg‘𝑔) = 𝐸 ↔ (iEdg‘𝑆) = 𝐸))
20	18, 19	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → (((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) ↔ ((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸)))
21		sbceq1a 3758	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → (𝜓 ↔ [𝑆 / 𝑔]𝜓))
22	20, 21	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → ((((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝜓) ↔ (((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸) → [𝑆 / 𝑔]𝜓)))
23	14, 17, 22	spcgf 3553	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑋 → (∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝜓) → (((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸) → [𝑆 / 𝑔]𝜓)))
24	1, 2, 13, 23	syl3c 67	1 ⊢ (𝜑 → [𝑆 / 𝑔]𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400  ∀wal 1561   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  [wsbc 3747   ∖ cdif 3904  ∅c0 4288  {csn 4585   class class class wbr 5105  dom cdm 5652  Fun wfun 6519  ‘cfv 6525   ≤ cle 11232  2c2 12286  ♯chash 14357  Basecbs 17259  .efcedgf 29247  Vtxcvtx 29255  iEdgciedg 29256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-hash 14358  df-vtx 29257  df-iedg 29258

This theorem is referenced by:  grstructeld  29293