Theorem setsvtx 28971

Description: The vertices of a structure with a base set and an inserted resp. replaced slot for the edge function. (Contributed by AV, 18-Jan-2020.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsvtx.i	⊢ 𝐼 = (.ef‘ndx)
setsvtx.s	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
setsvtx.b	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
setsvtx.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
setsvtx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem setsvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvtx.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
2		setsvtx.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (.ef‘ndx)
3	2	fvexi 6915	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
5		setsvtx.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
6	1, 4, 5	setsn0fun 17175	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
7	2	eqcomi 2735	. . . . 5 ⊢ (.ef‘ndx) = 𝐼
8	7	preq2i 4746	. . . 4 ⊢ {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} = {(Base‘ndx), 𝐼}
9		setsvtx.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
10	1, 4, 5, 9	basprssdmsets 17226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), 𝐼} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
11	8, 10	eqsstrid 4028	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
12		funvtxval 28954	. . 3 ⊢ ((Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)))
13	6, 11, 12	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)))
14		baseid 17216	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
15		basendxnedgfndx 28931	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
16	15, 2	neeqtrri 3004	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ 𝐼
17	14, 16	setsnid 17211	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
18	13, 17	eqtr4di 2784	1 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  ∅c0 4325  {csn 4633  {cpr 4635  ⟨cop 4639   class class class wbr 5153  dom cdm 5682  Fun wfun 6548  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   Struct cstr 17148   sSet csts 17165  ndxcnx 17195  Basecbs 17213  .efcedgf 28922  Vtxcvtx 28932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-hash 14348  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-edgf 28923  df-vtx 28934

This theorem is referenced by:  uhgrstrrepe  29014  usgrstrrepe  29171  structtocusgr  29382