MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsvtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsvtx 26806
Description: The vertices of a structure with a base set and an inserted resp. replaced slot for the edge function. (Contributed by AV, 18-Jan-2020.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
setsvtx.i 𝐼 = (.ef‘ndx)
setsvtx.s (𝜑𝐺 Struct 𝑋)
setsvtx.b (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
setsvtx.e (𝜑𝐸𝑊)
Assertion
Ref Expression
setsvtx (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem setsvtx
StepHypRef Expression
1 setsvtx.s . . . 4 (𝜑𝐺 Struct 𝑋)
2 setsvtx.i . . . . . 6 𝐼 = (.ef‘ndx)
32fvexi 6657 . . . . 5 𝐼 ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
5 setsvtx.e . . . 4 (𝜑𝐸𝑊)
61, 4, 5setsn0fun 16498 . . 3 (𝜑 → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
72eqcomi 2830 . . . . 5 (.ef‘ndx) = 𝐼
87preq2i 4646 . . . 4 {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} = {(Base‘ndx), 𝐼}
9 setsvtx.b . . . . 5 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
101, 4, 5, 9basprssdmsets 16527 . . . 4 (𝜑 → {(Base‘ndx), 𝐼} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
118, 10eqsstrid 3991 . . 3 (𝜑 → {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
12 funvtxval 26789 . . 3 ((Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)))
136, 11, 12syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)))
14 baseid 16521 . . 3 Base = Slot (Base‘ndx)
15 slotsbaseefdif 26766 . . . 4 (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
1615, 2neeqtrri 3080 . . 3 (Base‘ndx) ≠ 𝐼
1714, 16setsnid 16517 . 2 (Base‘𝐺) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
1813, 17syl6eqr 2874 1 (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3471  cdif 3907  wss 3910  c0 4266  {csn 4540  {cpr 4542  cop 4546   class class class wbr 5039  dom cdm 5528  Fun wfun 6322  cfv 6328  (class class class)co 7130   Struct cstr 16457  ndxcnx 16458   sSet csts 16459  Basecbs 16461  .efcedgf 26760  Vtxcvtx 26767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-xnn0 11946  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-hash 13675  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-edgf 26761  df-vtx 26769
This theorem is referenced by:  uhgrstrrepe  26849  usgrstrrepe  27003  structtocusgr  27214
  Copyright terms: Public domain W3C validator