Theorem gsumnunsn 34725

Description: Closure of a group sum in a non-commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumncl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
gsumncl.w	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
gsumncl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
gsumncl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
gsumnunsn.a	⊢ + = (+g‘𝑀)
gsumnunsn.l	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
gsumnunsn.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsumnunsn	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) + 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝜑,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   + (𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem gsumnunsn

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumncl.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
2		seqp1 13969	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘(𝑃 + 1)) = ((seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃) + ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘(𝑃 + 1)) = ((seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃) + ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1))))
4		gsumncl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
5		gsumnunsn.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
6		gsumncl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
7		peano2uz 12842	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑃 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
9		gsumncl.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
10	9	adantlr 721	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
11		gsumnunsn.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐵 = 𝐶)
12	11	adantlr 721	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐵 = 𝐶)
13		gsumnunsn.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
14	13	ad2antrr 732	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
15	12, 14	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
16		elfzp1 13519	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ∨ 𝑘 = (𝑃 + 1))))
17	1, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ∨ 𝑘 = (𝑃 + 1))))
18	17	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ∨ 𝑘 = (𝑃 + 1)))
19	10, 15, 18	mpjaodan 966	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) → 𝐵 ∈ 𝐾)
20	19	fmpttd 7056	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵):(𝑁...(𝑃 + 1))⟶𝐾)
21	4, 5, 6, 8, 20	gsumval2 18645	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)) = (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘(𝑃 + 1)))
22	9	fmpttd 7056	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵):(𝑁...𝑃)⟶𝐾)
23	4, 5, 6, 1, 22	gsumval2 18645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) = (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))‘𝑃))
24		fvres 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁...𝑃) → (((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘𝑖))
25	24	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)) → (((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘𝑖))
26		fzssp1 13512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁...𝑃) ⊆ (𝑁...(𝑃 + 1))
27		resmpt 5989	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁...𝑃) ⊆ (𝑁...(𝑃 + 1)) → ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃)) = (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃)) = (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)
29	28	fveq1i 6828	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)‘𝑖)
30	25, 29	eqtr3di 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)) → ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)‘𝑖))
31	1, 30	seqfveq 13979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃) = (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))‘𝑃))
32	23, 31	eqtr4d 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) = (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃))
33		eqidd 2740	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))
34		eluzfz2 13477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑃 + 1) ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)))
35	8, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + 1) ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)))
36	33, 11, 35, 13	fvmptd 6943	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1)) = 𝐶)
37	36	eqcomd 2745	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1)))
38	32, 37	oveq12d 7374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) + 𝐶) = ((seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃) + ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1))))
39	3, 21, 38	3eqtr4d 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883   ↦ cmpt 5153   ↾ cres 5620  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1c1 11030   + caddc 11032  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  seqcseq 13954  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211   Σ_g cgsu 17394  Mndcmnd 18693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-seq 13955  df-0g 17395  df-gsum 17396

This theorem is referenced by:  signstfvn  34753