Theorem gsumnunsn 34534

Description: Closure of a group sum in a non-commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumncl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
gsumncl.w	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
gsumncl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
gsumncl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
gsumnunsn.a	⊢ + = (+g‘𝑀)
gsumnunsn.l	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
gsumnunsn.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsumnunsn	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) + 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝜑,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   + (𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem gsumnunsn

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumncl.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
2		seqp1 14053	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘(𝑃 + 1)) = ((seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃) + ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘(𝑃 + 1)) = ((seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃) + ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1))))
4		gsumncl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
5		gsumnunsn.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
6		gsumncl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
7		peano2uz 12940	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑃 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
9		gsumncl.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
10	9	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
11		gsumnunsn.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐵 = 𝐶)
12	11	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐵 = 𝐶)
13		gsumnunsn.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
14	13	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
15	12, 14	eqeltrd 2838	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
16		elfzp1 13610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ∨ 𝑘 = (𝑃 + 1))))
17	1, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ∨ 𝑘 = (𝑃 + 1))))
18	17	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ∨ 𝑘 = (𝑃 + 1)))
19	10, 15, 18	mpjaodan 960	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) → 𝐵 ∈ 𝐾)
20	19	fmpttd 7134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵):(𝑁...(𝑃 + 1))⟶𝐾)
21	4, 5, 6, 8, 20	gsumval2 18711	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)) = (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘(𝑃 + 1)))
22	9	fmpttd 7134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵):(𝑁...𝑃)⟶𝐾)
23	4, 5, 6, 1, 22	gsumval2 18711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) = (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))‘𝑃))
24		fvres 6925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁...𝑃) → (((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘𝑖))
25	24	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)) → (((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘𝑖))
26		fzssp1 13603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁...𝑃) ⊆ (𝑁...(𝑃 + 1))
27		resmpt 6056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁...𝑃) ⊆ (𝑁...(𝑃 + 1)) → ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃)) = (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃)) = (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)
29	28	fveq1i 6907	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)‘𝑖)
30	25, 29	eqtr3di 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)) → ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)‘𝑖))
31	1, 30	seqfveq 14063	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃) = (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))‘𝑃))
32	23, 31	eqtr4d 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) = (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃))
33		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))
34		eluzfz2 13568	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑃 + 1) ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)))
35	8, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + 1) ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)))
36	33, 11, 35, 13	fvmptd 7022	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1)) = 𝐶)
37	36	eqcomd 2740	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1)))
38	32, 37	oveq12d 7448	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) + 𝐶) = ((seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃) + ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1))))
39	3, 21, 38	3eqtr4d 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3962   ↦ cmpt 5230   ↾ cres 5690  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  1c1 11153   + caddc 11155  ℤ_≥cuz 12875  ...cfz 13543  seqcseq 14038  Basecbs 17244  +_gcplusg 17297   Σ_g cgsu 17486  Mndcmnd 18759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-seq 14039  df-0g 17487  df-gsum 17488

This theorem is referenced by:  signstfvn  34562