Theorem gsumnunsn 34556

Description: Closure of a group sum in a non-commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumncl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
gsumncl.w	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
gsumncl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
gsumncl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
gsumnunsn.a	⊢ + = (+g‘𝑀)
gsumnunsn.l	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
gsumnunsn.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsumnunsn	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) + 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝜑,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   + (𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem gsumnunsn

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumncl.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
2		seqp1 14057	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘(𝑃 + 1)) = ((seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃) + ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘(𝑃 + 1)) = ((seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃) + ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1))))
4		gsumncl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
5		gsumnunsn.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
6		gsumncl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
7		peano2uz 12943	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑃 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
9		gsumncl.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
10	9	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
11		gsumnunsn.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐵 = 𝐶)
12	11	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐵 = 𝐶)
13		gsumnunsn.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
14	13	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
15	12, 14	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
16		elfzp1 13614	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ∨ 𝑘 = (𝑃 + 1))))
17	1, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ∨ 𝑘 = (𝑃 + 1))))
18	17	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ∨ 𝑘 = (𝑃 + 1)))
19	10, 15, 18	mpjaodan 961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) → 𝐵 ∈ 𝐾)
20	19	fmpttd 7135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵):(𝑁...(𝑃 + 1))⟶𝐾)
21	4, 5, 6, 8, 20	gsumval2 18699	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)) = (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘(𝑃 + 1)))
22	9	fmpttd 7135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵):(𝑁...𝑃)⟶𝐾)
23	4, 5, 6, 1, 22	gsumval2 18699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) = (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))‘𝑃))
24		fvres 6925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁...𝑃) → (((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘𝑖))
25	24	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)) → (((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘𝑖))
26		fzssp1 13607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁...𝑃) ⊆ (𝑁...(𝑃 + 1))
27		resmpt 6055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁...𝑃) ⊆ (𝑁...(𝑃 + 1)) → ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃)) = (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃)) = (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)
29	28	fveq1i 6907	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)‘𝑖)
30	25, 29	eqtr3di 2792	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)) → ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)‘𝑖))
31	1, 30	seqfveq 14067	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃) = (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))‘𝑃))
32	23, 31	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) = (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃))
33		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))
34		eluzfz2 13572	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑃 + 1) ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)))
35	8, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + 1) ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)))
36	33, 11, 35, 13	fvmptd 7023	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1)) = 𝐶)
37	36	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1)))
38	32, 37	oveq12d 7449	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) + 𝐶) = ((seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃) + ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1))))
39	3, 21, 38	3eqtr4d 2787	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951   ↦ cmpt 5225   ↾ cres 5687  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  seqcseq 14042  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297   Σ_g cgsu 17485  Mndcmnd 18747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-0g 17486  df-gsum 17487

This theorem is referenced by:  signstfvn  34584