Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumnunsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumnunsn 33153
Description: Closure of a group sum in a non-commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumncl.k 𝐾 = (Base‘𝑀)
gsumncl.w (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
gsumncl.p (𝜑𝑃 ∈ (ℤ𝑁))
gsumncl.b ((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵𝐾)
gsumnunsn.a + = (+g𝑀)
gsumnunsn.l (𝜑𝐶𝐾)
gsumnunsn.c ((𝜑𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
gsumnunsn (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) + 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝜑,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   + (𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem gsumnunsn
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumncl.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ𝑁))
2 seqp1 13921 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ𝑁) → (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘(𝑃 + 1)) = ((seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃) + ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1))))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘(𝑃 + 1)) = ((seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃) + ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1))))
4 gsumncl.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑀)
5 gsumnunsn.a . . 3 + = (+g𝑀)
6 gsumncl.w . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
7 peano2uz 12826 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑃 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
81, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
9 gsumncl.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵𝐾)
109adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵𝐾)
11 gsumnunsn.c . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐵 = 𝐶)
1211adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐵 = 𝐶)
13 gsumnunsn.l . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐾)
1413ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐶𝐾)
1512, 14eqeltrd 2838 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐵𝐾)
16 elfzp1 13491 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ∨ 𝑘 = (𝑃 + 1))))
171, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ∨ 𝑘 = (𝑃 + 1))))
1817biimpa 477 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ∨ 𝑘 = (𝑃 + 1)))
1910, 15, 18mpjaodan 957 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) → 𝐵𝐾)
2019fmpttd 7063 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵):(𝑁...(𝑃 + 1))⟶𝐾)
214, 5, 6, 8, 20gsumval2 18541 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)) = (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘(𝑃 + 1)))
229fmpttd 7063 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵):(𝑁...𝑃)⟶𝐾)
234, 5, 6, 1, 22gsumval2 18541 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) = (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))‘𝑃))
24 fvres 6861 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑁...𝑃) → (((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘𝑖))
2524adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)) → (((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘𝑖))
26 fzssp1 13484 . . . . . . . 8 (𝑁...𝑃) ⊆ (𝑁...(𝑃 + 1))
27 resmpt 5991 . . . . . . . 8 ((𝑁...𝑃) ⊆ (𝑁...(𝑃 + 1)) → ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃)) = (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃)) = (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)
2928fveq1i 6843 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)‘𝑖)
3025, 29eqtr3di 2791 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)) → ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)‘𝑖))
311, 30seqfveq 13932 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃) = (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))‘𝑃))
3223, 31eqtr4d 2779 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) = (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃))
33 eqidd 2737 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))
34 eluzfz2 13449 . . . . . 6 ((𝑃 + 1) ∈ (ℤ𝑁) → (𝑃 + 1) ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)))
358, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 + 1) ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)))
3633, 11, 35, 13fvmptd 6955 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1)) = 𝐶)
3736eqcomd 2742 . . 3 (𝜑𝐶 = ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1)))
3832, 37oveq12d 7375 . 2 (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) + 𝐶) = ((seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃) + ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1))))
393, 21, 383eqtr4d 2786 1 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) + 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3910  cmpt 5188  cres 5635  cfv 6496  (class class class)co 7357  1c1 11052   + caddc 11054  cuz 12763  ...cfz 13424  seqcseq 13906  Basecbs 17083  +gcplusg 17133   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-0g 17323  df-gsum 17324
This theorem is referenced by:  signstfvn  33181
  Copyright terms: Public domain W3C validator