Theorem hashnnn0genn0 14388

Description: If the size of a set is not a nonnegative integer, it is greater than or equal to any nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashnnn0genn0	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑀) ∉ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀))

Proof of Theorem hashnnn0genn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3047	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑀) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
2		pm2.21 123	. . . 4 ⊢ (¬ (♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀)))
3	1, 2	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑀) ∉ ℕ0 → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀)))
4	3	3ad2ant2 1135	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑀) ∉ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀)))
5		nn0re 12542	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	5	ltpnfd 13170	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < +∞)
7	5	rexrd 11318	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ*)
8		pnfxr 11322	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9		xrltle 13197	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑁 < +∞ → 𝑁 ≤ +∞))
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < +∞ → 𝑁 ≤ +∞))
11	6, 10	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ +∞)
12		breq2 5155	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑀) = +∞ → (𝑁 ≤ (♯‘𝑀) ↔ 𝑁 ≤ +∞))
13	11, 12	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑀) = +∞ → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀)))
14	13	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑀) ∉ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑀) = +∞ → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀)))
15		hashnn0pnf 14387	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑀) = +∞))
16	15	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑀) ∉ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑀) = +∞))
17	4, 14, 16	mpjaod 861	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑀) ∉ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3046   class class class wbr 5151  ‘cfv 6569  +∞cpnf 11299  ℝ^*cxr 11301   < clt 11302   ≤ cle 11303  ℕ₀cn0 12533  ♯chash 14375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-card 9986  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-n0 12534  df-xnn0 12607  df-z 12621  df-uz 12886  df-hash 14376

This theorem is referenced by: (None)