Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashnnn0genn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnnn0genn0 13693
 Description: If the size of a set is not a nonnegative integer, it is greater than or equal to any nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashnnn0genn0 ((𝑀𝑉 ∧ (♯‘𝑀) ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀))

Proof of Theorem hashnnn0genn0
StepHypRef Expression
1 df-nel 3129 . . . 4 ((♯‘𝑀) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
2 pm2.21 123 . . . 4 (¬ (♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑀)))
31, 2sylbi 218 . . 3 ((♯‘𝑀) ∉ ℕ0 → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑀)))
433ad2ant2 1128 . 2 ((𝑀𝑉 ∧ (♯‘𝑀) ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑀)))
5 nn0re 11895 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
65ltpnfd 12506 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < +∞)
75rexrd 10680 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ*)
8 pnfxr 10684 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
9 xrltle 12532 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑁 < +∞ → 𝑁 ≤ +∞))
107, 8, 9sylancl 586 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < +∞ → 𝑁 ≤ +∞))
116, 10mpd 15 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ +∞)
12 breq2 5067 . . . 4 ((♯‘𝑀) = +∞ → (𝑁 ≤ (♯‘𝑀) ↔ 𝑁 ≤ +∞))
1311, 12syl5ibrcom 248 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑀) = +∞ → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀)))
14133ad2ant3 1129 . 2 ((𝑀𝑉 ∧ (♯‘𝑀) ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑀) = +∞ → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀)))
15 hashnn0pnf 13692 . . 3 (𝑀𝑉 → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑀) = +∞))
16153ad2ant1 1127 . 2 ((𝑀𝑉 ∧ (♯‘𝑀) ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑀) = +∞))
174, 14, 16mpjaod 856 1 ((𝑀𝑉 ∧ (♯‘𝑀) ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 843   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ∉ wnel 3128   class class class wbr 5063  ‘cfv 6352  +∞cpnf 10661  ℝ*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℕ0cn0 11886  ♯chash 13680 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-uz 12233  df-hash 13681 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator