MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashnnn0genn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnnn0genn0 13335
Description: If the size of a set is not a nonnegative integer, it is greater than or equal to any nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashnnn0genn0 ((𝑀𝑉 ∧ (♯‘𝑀) ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀))

Proof of Theorem hashnnn0genn0
StepHypRef Expression
1 df-nel 3041 . . . 4 ((♯‘𝑀) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
2 pm2.21 121 . . . 4 (¬ (♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑀)))
31, 2sylbi 208 . . 3 ((♯‘𝑀) ∉ ℕ0 → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑀)))
433ad2ant2 1164 . 2 ((𝑀𝑉 ∧ (♯‘𝑀) ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑀)))
5 nn0re 11548 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
6 ltpnf 12154 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 < +∞)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < +∞)
85rexrd 10343 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ*)
9 pnfxr 10346 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
10 xrltle 12182 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑁 < +∞ → 𝑁 ≤ +∞))
118, 9, 10sylancl 580 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < +∞ → 𝑁 ≤ +∞))
127, 11mpd 15 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ +∞)
13 breq2 4813 . . . 4 ((♯‘𝑀) = +∞ → (𝑁 ≤ (♯‘𝑀) ↔ 𝑁 ≤ +∞))
1412, 13syl5ibrcom 238 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑀) = +∞ → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀)))
15143ad2ant3 1165 . 2 ((𝑀𝑉 ∧ (♯‘𝑀) ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑀) = +∞ → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀)))
16 hashnn0pnf 13334 . . 3 (𝑀𝑉 → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑀) = +∞))
17163ad2ant1 1163 . 2 ((𝑀𝑉 ∧ (♯‘𝑀) ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑀) = +∞))
184, 15, 17mpjaod 886 1 ((𝑀𝑉 ∧ (♯‘𝑀) ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wnel 3040   class class class wbr 4809  cfv 6068  cr 10188  +∞cpnf 10325  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  0cn0 11538  chash 13321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-uz 11887  df-hash 13322
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator