Theorem hashnnn0genn0 14454

Description: If the size of a set is not a nonnegative integer, it is greater than or equal to any nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashnnn0genn0	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑀) ∉ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀))

Proof of Theorem hashnnn0genn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3062	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑀) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
2		pm2.21 124	. . . 4 ⊢ (¬ (♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀)))
3	1, 2	sylbi 220	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑀) ∉ ℕ0 → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀)))
4	3	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑀) ∉ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀)))
5		nn0re 12584	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	5	ltpnfd 13219	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < +∞)
7	5	rexrd 11330	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ*)
8		pnfxr 11334	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9		xrltle 13247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑁 < +∞ → 𝑁 ≤ +∞))
10	7, 8, 9	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < +∞ → 𝑁 ≤ +∞))
11	6, 10	mpd 16	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ +∞)
12		breq2 5106	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑀) = +∞ → (𝑁 ≤ (♯‘𝑀) ↔ 𝑁 ≤ +∞))
13	11, 12	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑀) = +∞ → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀)))
14	13	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑀) ∉ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑀) = +∞ → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀)))
15		hashnn0pnf 14453	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑀) = +∞))
16	15	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑀) ∉ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑀) = +∞))
17	4, 14, 16	mpjaod 874	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑀) ∉ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3061   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  +∞cpnf 11311  ℝ^*cxr 11313   < clt 11314   ≤ cle 11315  ℕ₀cn0 12575  ♯chash 14441

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-hash 14442

This theorem is used by: (None)