Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaplem3 38969
Description: Lemma to convert a frequently-used union condition. TODO: see if this can be applied to other hdmap* theorems. (Contributed by NM, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaplem1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
hdmaplem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
hdmaplem1.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
hdmaplem1.z (𝜑𝑍𝑉)
hdmaplem1.j (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})))
hdmaplem1.y (𝜑𝑌𝑉)
hdmaplem3.o 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
hdmaplem3 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem hdmaplem3
StepHypRef Expression
1 hdmaplem3.o . 2 0 = (0g𝑊)
2 eqid 2824 . 2 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3 hdmaplem1.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 hdmaplem1.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
5 hdmaplem1.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 hdmaplem1.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
75, 2, 6lspsncl 19735 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
83, 4, 7syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9 hdmaplem1.z . 2 (𝜑𝑍𝑉)
10 hdmaplem1.j . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})))
11 elun2 4137 . . 3 (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}) → 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})))
1210, 11nsyl 142 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
131, 2, 3, 8, 9, 12lssneln0 19710 1 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  cdif 3915  cun 3916  {csn 4548  cfv 6336  Basecbs 16472  0gc0g 16702  LModclmod 19620  LSubSpclss 19689  LSpanclspn 19729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-plusg 16567  df-0g 16704  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-sbg 18097  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-lmod 19622  df-lss 19690  df-lsp 19730
This theorem is referenced by:  hdmapeveclem  39030
  Copyright terms: Public domain W3C validator