Theorem hdmaplem3 39783

Description: Lemma to convert a frequently-used union condition. TODO: see if this can be applied to other hdmap* theorems. (Contributed by NM, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaplem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
hdmaplem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
hdmaplem1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
hdmaplem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
hdmaplem1.j	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})))
hdmaplem1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmaplem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
hdmaplem3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem hdmaplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaplem3.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		eqid 2740	. 2 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3		hdmaplem1.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		hdmaplem1.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		hdmaplem1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		hdmaplem1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7	5, 2, 6	lspsncl 20237	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8	3, 4, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		hdmaplem1.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
10		hdmaplem1.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})))
11		elun2 4116	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}) → 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})))
12	10, 11	nsyl 140	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
13	1, 2, 3, 8, 9, 12	lssneln0 20212	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3889   ∪ cun 3890  {csn 4567  ‘cfv 6432  Basecbs 16910  0_gc0g 17148  LModclmod 20121  LSubSpclss 20191  LSpanclspn 20231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-plusg 16973  df-0g 17150  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-lsp 20232

This theorem is referenced by:  hdmapeveclem  39844