Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaplem3 37576
Description: Lemma to convert a frequently-used union condition. TODO: see if this can be applied to other hdmap* theorems. (Contributed by NM, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaplem1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
hdmaplem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
hdmaplem1.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
hdmaplem1.z (𝜑𝑍𝑉)
hdmaplem1.j (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})))
hdmaplem1.y (𝜑𝑌𝑉)
hdmaplem3.o 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
hdmaplem3 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem hdmaplem3
StepHypRef Expression
1 hdmaplem3.o . 2 0 = (0g𝑊)
2 eqid 2771 . 2 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3 hdmaplem1.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 hdmaplem1.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
5 hdmaplem1.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 hdmaplem1.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
75, 2, 6lspsncl 19183 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
83, 4, 7syl2anc 573 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9 hdmaplem1.z . 2 (𝜑𝑍𝑉)
10 hdmaplem1.j . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})))
11 elun2 3932 . . 3 (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}) → 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})))
1210, 11nsyl 137 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
131, 2, 3, 8, 9, 12lssneln0 19156 1 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  cdif 3720  cun 3721  {csn 4316  cfv 6029  Basecbs 16057  0gc0g 16301  LModclmod 19066  LSubSpclss 19135  LSpanclspn 19177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-plusg 16155  df-0g 16303  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mgp 18691  df-ur 18703  df-ring 18750  df-lmod 19068  df-lss 19136  df-lsp 19178
This theorem is referenced by:  hdmapeveclem  37637
  Copyright terms: Public domain W3C validator