Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaplem4 39028
Description: Lemma to convert a frequently-used union condition. TODO: see if this can be applied to other hdmap* theorems. (Contributed by NM, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaplem1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
hdmaplem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
hdmaplem4.o 0 = (0g𝑊)
hdmaplem4.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
hdmaplem4.x (𝜑𝑋𝑉)
hdmaplem4.y (𝜑𝑌𝑉)
hdmaplem4.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmaplem4.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
hdmaplem4.f (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
hdmaplem4 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem hdmaplem4
StepHypRef Expression
1 hdmaplem1.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 hdmaplem4.o . . 3 0 = (0g𝑊)
3 hdmaplem1.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 hdmaplem4.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 hdmaplem4.z . . 3 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6 hdmaplem4.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
7 hdmaplem4.e . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7lspsnne1 19880 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
9 hdmaplem4.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
10 hdmaplem4.f . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
111, 2, 3, 4, 5, 9, 10lspsnne1 19880 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
12 ioran 981 . . 3 (¬ (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
13 elun 4100 . . 3 (𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
1412, 13xchnxbir 336 . 2 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
158, 11, 14sylanbrc 586 1 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  cdif 3905  cun 3906  {csn 4539  cfv 6334  Basecbs 16474  0gc0g 16704  LSpanclspn 19734  LVecclvec 19865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-drng 19495  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-lvec 19866
This theorem is referenced by:  hdmap11lem1  39095
  Copyright terms: Public domain W3C validator