Theorem hdmaplem4 42938

Description: Lemma to convert a frequently-used union condition. TODO: see if this can be applied to other hdmap* theorems. (Contributed by NM, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaplem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
hdmaplem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
hdmaplem4.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
hdmaplem4.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
hdmaplem4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmaplem4.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmaplem4.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmaplem4.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
hdmaplem4.f	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
hdmaplem4	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem hdmaplem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaplem1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		hdmaplem4.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		hdmaplem1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		hdmaplem4.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		hdmaplem4.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6		hdmaplem4.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		hdmaplem4.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lspsnne1 21402	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
9		hdmaplem4.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10		hdmaplem4.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
11	1, 2, 3, 4, 5, 9, 10	lspsnne1 21402	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
12		ioran 999	. . 3 ⊢ (¬ (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
13		elun 4151	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
14	12, 13	xchnxbir 336	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
15	8, 11, 14	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∖ cdif 4044   ∪ cun 4148  {csn 4584  ‘cfv 6541  Basecbs 17394  0_gc0g 17617  LSpanclspn 21253  LVecclvec 21384

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8248  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-0g 17619  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-sbg 19156  df-cmn 20003  df-abl 20004  df-mgp 20368  df-rng 20382  df-ur 20415  df-ring 20468  df-oppr 20574  df-dvdsr 20594  df-unit 20595  df-invr 20625  df-drng 20989  df-lmod 21144  df-lss 21214  df-lsp 21254  df-lvec 21385

This theorem is used by:  hdmap11lem1  43005