Theorem hdmaplem4 40035

Description: Lemma to convert a frequently-used union condition. TODO: see if this can be applied to other hdmap* theorems. (Contributed by NM, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaplem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
hdmaplem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
hdmaplem4.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
hdmaplem4.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
hdmaplem4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmaplem4.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmaplem4.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmaplem4.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
hdmaplem4.f	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
hdmaplem4	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem hdmaplem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaplem1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		hdmaplem4.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		hdmaplem1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		hdmaplem4.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		hdmaplem4.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6		hdmaplem4.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		hdmaplem4.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lspsnne1 20477	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
9		hdmaplem4.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10		hdmaplem4.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
11	1, 2, 3, 4, 5, 9, 10	lspsnne1 20477	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
12		ioran 981	. . 3 ⊢ (¬ (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
13		elun 4094	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
14	12, 13	xchnxbir 332	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
15	8, 11, 14	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895  {csn 4572  ‘cfv 6473  Basecbs 17001  0_gc0g 17239  LSpanclspn 20331  LVecclvec 20462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-tpos 8104  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-0g 17241  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-grp 18668  df-minusg 18669  df-sbg 18670  df-mgp 19808  df-ur 19825  df-ring 19872  df-oppr 19949  df-dvdsr 19970  df-unit 19971  df-invr 20001  df-drng 20087  df-lmod 20223  df-lss 20292  df-lsp 20332  df-lvec 20463

This theorem is referenced by:  hdmap11lem1  40102