Theorem hdmaplem4 41101

Description: Lemma to convert a frequently-used union condition. TODO: see if this can be applied to other hdmap* theorems. (Contributed by NM, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaplem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
hdmaplem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
hdmaplem4.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
hdmaplem4.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
hdmaplem4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmaplem4.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmaplem4.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmaplem4.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
hdmaplem4.f	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
hdmaplem4	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem hdmaplem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaplem1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		hdmaplem4.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		hdmaplem1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		hdmaplem4.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		hdmaplem4.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6		hdmaplem4.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		hdmaplem4.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lspsnne1 20957	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
9		hdmaplem4.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10		hdmaplem4.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
11	1, 2, 3, 4, 5, 9, 10	lspsnne1 20957	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
12		ioran 980	. . 3 ⊢ (¬ (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
13		elun 4140	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
14	12, 13	xchnxbir 333	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
15	8, 11, 14	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3937   ∪ cun 3938  {csn 4620  ‘cfv 6533  Basecbs 17142  0_gc0g 17383  LSpanclspn 20807  LVecclvec 20939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-0g 17385  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20578  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-lsp 20808  df-lvec 20940

This theorem is referenced by:  hdmap11lem1  41168