Theorem lspsncl 21161

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 21160). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4746	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 21160	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 605	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  LModclmod 21044  LSubSpclss 21115  LSpanclspn 21155

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mgp 20274  df-ur 20321  df-ring 20374  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156

This theorem is used by:  lspsnsubg  21164  ellspsni  21185  lspsn  21186  lspsnss2  21189  lsmelval2  21269  lsmpr  21273  lsppr  21277  lspprabs  21279  lspsncmp  21303  lspsnne1  21304  lspsnne2  21305  lspabs3  21308  lspsneq  21309  lspdisj  21312  lspdisj2  21314  lspfixed  21315  lspexchn1  21317  lspindpi  21319  lsmcv  21328  lshpnel  39856  lshpnelb  39857  lshpnel2N  39858  lshpdisj  39860  lsatlss  39869  lsmsat  39881  lsatfixedN  39882  lssats  39885  lsmcv2  39902  lsat0cv  39906  lkrlsp  39975  lkrlsp3  39977  lshpsmreu  39982  lshpkrlem5  39987  dochnel  42266  djhlsmat  42300  dihjat1lem  42301  dvh3dim3N  42322  lclkrlem2b  42381  lclkrlem2f  42385  lclkrlem2p  42395  lcfrvalsnN  42414  lcfrlem23  42438  mapdsn  42514  mapdn0  42542  mapdncol  42543  mapdindp  42544  mapdpglem1  42545  mapdpglem2a  42547  mapdpglem3  42548  mapdpglem6  42551  mapdpglem8  42552  mapdpglem9  42553  mapdpglem12  42556  mapdpglem13  42557  mapdpglem14  42558  mapdpglem17N  42561  mapdpglem18  42562  mapdpglem19  42563  mapdpglem21  42565  mapdpglem23  42567  mapdpglem29  42573  mapdindp0  42592  mapdheq4lem  42604  mapdh6lem1N  42606  mapdh6lem2N  42607  mapdh6dN  42612  lspindp5  42643  hdmaplem3  42646  mapdh9a  42662  hdmap1l6lem1  42680  hdmap1l6lem2  42681  hdmap1l6d  42686  hdmap1eulem  42695  hdmap11lem2  42715  hdmapeq0  42717  hdmaprnlem1N  42722  hdmaprnlem3N  42723  hdmaprnlem3uN  42724  hdmaprnlem4N  42726  hdmaprnlem7N  42728  hdmaprnlem8N  42729  hdmaprnlem9N  42730  hdmaprnlem3eN  42731  hdmaprnlem16N  42735  hdmap14lem9  42749  hgmaprnlem2N  42770  hdmapglem7a  42800