Theorem lspsncl 21032

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 21031). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4741	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 21031	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 602	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902  {csn 4579  ‘cfv 6516  Basecbs 17236  LModclmod 20915  LSubSpclss 20986  LSpanclspn 21026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-plusg 17290  df-0g 17461  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-mgp 20178  df-ur 20219  df-ring 20272  df-lmod 20917  df-lss 20987  df-lsp 21027

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  21035  ellspsni  21056  lspsn  21057  lspsnss2  21060  lsmelval2  21140  lsmpr  21144  lsppr  21148  lspprabs  21150  lspsncmp  21174  lspsnne1  21175  lspsnne2  21176  lspabs3  21179  lspsneq  21180  lspdisj  21183  lspdisj2  21185  lspfixed  21186  lspexchn1  21188  lspindpi  21190  lsmcv  21199  lshpnel  39568  lshpnelb  39569  lshpnel2N  39570  lshpdisj  39572  lsatlss  39581  lsmsat  39593  lsatfixedN  39594  lssats  39597  lsmcv2  39614  lsat0cv  39618  lkrlsp  39687  lkrlsp3  39689  lshpsmreu  39694  lshpkrlem5  39699  dochnel  41978  djhlsmat  42012  dihjat1lem  42013  dvh3dim3N  42034  lclkrlem2b  42093  lclkrlem2f  42097  lclkrlem2p  42107  lcfrvalsnN  42126  lcfrlem23  42150  mapdsn  42226  mapdn0  42254  mapdncol  42255  mapdindp  42256  mapdpglem1  42257  mapdpglem2a  42259  mapdpglem3  42260  mapdpglem6  42263  mapdpglem8  42264  mapdpglem9  42265  mapdpglem12  42268  mapdpglem13  42269  mapdpglem14  42270  mapdpglem17N  42273  mapdpglem18  42274  mapdpglem19  42275  mapdpglem21  42277  mapdpglem23  42279  mapdpglem29  42285  mapdindp0  42304  mapdheq4lem  42316  mapdh6lem1N  42318  mapdh6lem2N  42319  mapdh6dN  42324  lspindp5  42355  hdmaplem3  42358  mapdh9a  42374  hdmap1l6lem1  42392  hdmap1l6lem2  42393  hdmap1l6d  42398  hdmap1eulem  42407  hdmap11lem2  42427  hdmapeq0  42429  hdmaprnlem1N  42434  hdmaprnlem3N  42435  hdmaprnlem3uN  42436  hdmaprnlem4N  42438  hdmaprnlem7N  42440  hdmaprnlem8N  42441  hdmaprnlem9N  42442  hdmaprnlem3eN  42443  hdmaprnlem16N  42447  hdmap14lem9  42461  hgmaprnlem2N  42482  hdmapglem7a  42512