Theorem lspsncl 20820

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 20819). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4811	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 20819	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 592	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ‘cfv 6543  Basecbs 17151  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  LSpanclspn 20814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  20823  lspsneli  20844  lspsn  20845  lspsnss2  20848  lsmelval2  20929  lsmpr  20933  lsppr  20937  lspprabs  20939  lspsncmp  20963  lspsnne1  20964  lspsnne2  20965  lspabs3  20968  lspsneq  20969  lspdisj  20972  lspdisj2  20974  lspfixed  20975  lspexchn1  20977  lspindpi  20979  lsmcv  20988  lshpnel  38320  lshpnelb  38321  lshpnel2N  38322  lshpdisj  38324  lsatlss  38333  lsmsat  38345  lsatfixedN  38346  lssats  38349  lsmcv2  38366  lsat0cv  38370  lkrlsp  38439  lkrlsp3  38441  lshpsmreu  38446  lshpkrlem5  38451  dochnel  40731  djhlsmat  40765  dihjat1lem  40766  dvh3dim3N  40787  lclkrlem2b  40846  lclkrlem2f  40850  lclkrlem2p  40860  lcfrvalsnN  40879  lcfrlem23  40903  mapdsn  40979  mapdn0  41007  mapdncol  41008  mapdindp  41009  mapdpglem1  41010  mapdpglem2a  41012  mapdpglem3  41013  mapdpglem6  41016  mapdpglem8  41017  mapdpglem9  41018  mapdpglem12  41021  mapdpglem13  41022  mapdpglem14  41023  mapdpglem17N  41026  mapdpglem18  41027  mapdpglem19  41028  mapdpglem21  41030  mapdpglem23  41032  mapdpglem29  41038  mapdindp0  41057  mapdheq4lem  41069  mapdh6lem1N  41071  mapdh6lem2N  41072  mapdh6dN  41077  lspindp5  41108  hdmaplem3  41111  mapdh9a  41127  hdmap1l6lem1  41145  hdmap1l6lem2  41146  hdmap1l6d  41151  hdmap1eulem  41160  hdmap11lem2  41180  hdmapeq0  41182  hdmaprnlem1N  41187  hdmaprnlem3N  41188  hdmaprnlem3uN  41189  hdmaprnlem4N  41191  hdmaprnlem7N  41193  hdmaprnlem8N  41194  hdmaprnlem9N  41195  hdmaprnlem3eN  41196  hdmaprnlem16N  41200  hdmap14lem9  41214  hgmaprnlem2N  41235  hdmapglem7a  41265