Theorem lspsncl 20939

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 20938). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4789	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 20938	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 593	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  {csn 4606  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  LModclmod 20822  LSubSpclss 20893  LSpanclspn 20933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  20942  ellspsni  20963  lspsn  20964  lspsnss2  20967  lsmelval2  21048  lsmpr  21052  lsppr  21056  lspprabs  21058  lspsncmp  21082  lspsnne1  21083  lspsnne2  21084  lspabs3  21087  lspsneq  21088  lspdisj  21091  lspdisj2  21093  lspfixed  21094  lspexchn1  21096  lspindpi  21098  lsmcv  21107  lshpnel  39006  lshpnelb  39007  lshpnel2N  39008  lshpdisj  39010  lsatlss  39019  lsmsat  39031  lsatfixedN  39032  lssats  39035  lsmcv2  39052  lsat0cv  39056  lkrlsp  39125  lkrlsp3  39127  lshpsmreu  39132  lshpkrlem5  39137  dochnel  41417  djhlsmat  41451  dihjat1lem  41452  dvh3dim3N  41473  lclkrlem2b  41532  lclkrlem2f  41536  lclkrlem2p  41546  lcfrvalsnN  41565  lcfrlem23  41589  mapdsn  41665  mapdn0  41693  mapdncol  41694  mapdindp  41695  mapdpglem1  41696  mapdpglem2a  41698  mapdpglem3  41699  mapdpglem6  41702  mapdpglem8  41703  mapdpglem9  41704  mapdpglem12  41707  mapdpglem13  41708  mapdpglem14  41709  mapdpglem17N  41712  mapdpglem18  41713  mapdpglem19  41714  mapdpglem21  41716  mapdpglem23  41718  mapdpglem29  41724  mapdindp0  41743  mapdheq4lem  41755  mapdh6lem1N  41757  mapdh6lem2N  41758  mapdh6dN  41763  lspindp5  41794  hdmaplem3  41797  mapdh9a  41813  hdmap1l6lem1  41831  hdmap1l6lem2  41832  hdmap1l6d  41837  hdmap1eulem  41846  hdmap11lem2  41866  hdmapeq0  41868  hdmaprnlem1N  41873  hdmaprnlem3N  41874  hdmaprnlem3uN  41875  hdmaprnlem4N  41877  hdmaprnlem7N  41879  hdmaprnlem8N  41880  hdmaprnlem9N  41881  hdmaprnlem3eN  41882  hdmaprnlem16N  41886  hdmap14lem9  41900  hgmaprnlem2N  41921  hdmapglem7a  41951