Theorem lspsncl 21303

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 21302). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4748	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 21302	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 605	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  LModclmod 21186  LSubSpclss 21257  LSpanclspn 21297

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298

This theorem is used by:  lspsnsubg  21306  ellspsni  21327  lspsn  21328  lspsnss2  21331  lsmelval2  21411  lsmpr  21415  lsppr  21419  lspprabs  21421  lspsncmp  21445  lspsnne1  21446  lspsnne2  21447  lspabs3  21450  lspsneq  21451  lspdisj  21454  lspdisj2  21456  lspfixed  21457  lspexchn1  21459  lspindpi  21461  lsmcv  21470  lshpnel  40306  lshpnelb  40307  lshpnel2N  40308  lshpdisj  40310  lsatlss  40319  lsmsat  40331  lsatfixedN  40332  lssats  40335  lsmcv2  40352  lsat0cv  40356  lkrlsp  40425  lkrlsp3  40427  lshpsmreu  40432  lshpkrlem5  40437  dochnel  42716  djhlsmat  42750  dihjat1lem  42751  dvh3dim3N  42772  lclkrlem2b  42831  lclkrlem2f  42835  lclkrlem2p  42845  lcfrvalsnN  42864  lcfrlem23  42888  mapdsn  42964  mapdn0  42992  mapdncol  42993  mapdindp  42994  mapdpglem1  42995  mapdpglem2a  42997  mapdpglem3  42998  mapdpglem6  43001  mapdpglem8  43002  mapdpglem9  43003  mapdpglem12  43006  mapdpglem13  43007  mapdpglem14  43008  mapdpglem17N  43011  mapdpglem18  43012  mapdpglem19  43013  mapdpglem21  43015  mapdpglem23  43017  mapdpglem29  43023  mapdindp0  43042  mapdheq4lem  43054  mapdh6lem1N  43056  mapdh6lem2N  43057  mapdh6dN  43062  lspindp5  43093  hdmaplem3  43096  mapdh9a  43112  hdmap1l6lem1  43130  hdmap1l6lem2  43131  hdmap1l6d  43136  hdmap1eulem  43145  hdmap11lem2  43165  hdmapeq0  43167  hdmaprnlem1N  43172  hdmaprnlem3N  43173  hdmaprnlem3uN  43174  hdmaprnlem4N  43176  hdmaprnlem7N  43178  hdmaprnlem8N  43179  hdmaprnlem9N  43180  hdmaprnlem3eN  43181  hdmaprnlem16N  43185  hdmap14lem9  43199  hgmaprnlem2N  43220  hdmapglem7a  43250