Theorem lspsncl 19439

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 19438). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4648	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 19438	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 592	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ⊆ wss 3859  {csn 4472  ‘cfv 6225  Basecbs 16312  LModclmod 19324  LSubSpclss 19393  LSpanclspn 19433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-plusg 16407  df-0g 16544  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-lsp 19434

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  19442  lspsneli  19463  lspsn  19464  lspsnss2  19467  lsmelval2  19547  lsmpr  19551  lsppr  19555  lspprabs  19557  lspsncmp  19578  lspsnne1  19579  lspsnne2  19580  lspabs3  19583  lspsneq  19584  lspdisj  19587  lspdisj2  19589  lspfixed  19590  lspexchn1  19592  lspindpi  19594  lsmcv  19603  rnasclassa  19811  lshpnel  35650  lshpnelb  35651  lshpnel2N  35652  lshpdisj  35654  lsatlss  35663  lsmsat  35675  lsatfixedN  35676  lssats  35679  lsmcv2  35696  lsat0cv  35700  lkrlsp  35769  lkrlsp3  35771  lshpsmreu  35776  lshpkrlem5  35781  dochnel  38060  djhlsmat  38094  dihjat1lem  38095  dvh3dim3N  38116  lclkrlem2b  38175  lclkrlem2f  38179  lclkrlem2p  38189  lcfrvalsnN  38208  lcfrlem23  38232  mapdsn  38308  mapdn0  38336  mapdncol  38337  mapdindp  38338  mapdpglem1  38339  mapdpglem2a  38341  mapdpglem3  38342  mapdpglem6  38345  mapdpglem8  38346  mapdpglem9  38347  mapdpglem12  38350  mapdpglem13  38351  mapdpglem14  38352  mapdpglem17N  38355  mapdpglem18  38356  mapdpglem19  38357  mapdpglem21  38359  mapdpglem23  38361  mapdpglem29  38367  mapdindp0  38386  mapdheq4lem  38398  mapdh6lem1N  38400  mapdh6lem2N  38401  mapdh6dN  38406  lspindp5  38437  hdmaplem3  38440  mapdh9a  38456  hdmap1l6lem1  38474  hdmap1l6lem2  38475  hdmap1l6d  38480  hdmap1eulem  38489  hdmap11lem2  38509  hdmapeq0  38511  hdmaprnlem1N  38516  hdmaprnlem3N  38517  hdmaprnlem3uN  38518  hdmaprnlem4N  38520  hdmaprnlem7N  38522  hdmaprnlem8N  38523  hdmaprnlem9N  38524  hdmaprnlem3eN  38525  hdmaprnlem16N  38529  hdmap14lem9  38543  hgmaprnlem2N  38564  hdmapglem7a  38594