Theorem lspsncl 20899

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 20898). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4762	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 20898	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 593	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  {csn 4579  ‘cfv 6486  Basecbs 17139  LModclmod 20782  LSubSpclss 20853  LSpanclspn 20893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-plusg 17193  df-0g 17364  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-mgp 20045  df-ur 20086  df-ring 20139  df-lmod 20784  df-lss 20854  df-lsp 20894

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  20902  ellspsni  20923  lspsn  20924  lspsnss2  20927  lsmelval2  21008  lsmpr  21012  lsppr  21016  lspprabs  21018  lspsncmp  21042  lspsnne1  21043  lspsnne2  21044  lspabs3  21047  lspsneq  21048  lspdisj  21051  lspdisj2  21053  lspfixed  21054  lspexchn1  21056  lspindpi  21058  lsmcv  21067  lshpnel  38981  lshpnelb  38982  lshpnel2N  38983  lshpdisj  38985  lsatlss  38994  lsmsat  39006  lsatfixedN  39007  lssats  39010  lsmcv2  39027  lsat0cv  39031  lkrlsp  39100  lkrlsp3  39102  lshpsmreu  39107  lshpkrlem5  39112  dochnel  41392  djhlsmat  41426  dihjat1lem  41427  dvh3dim3N  41448  lclkrlem2b  41507  lclkrlem2f  41511  lclkrlem2p  41521  lcfrvalsnN  41540  lcfrlem23  41564  mapdsn  41640  mapdn0  41668  mapdncol  41669  mapdindp  41670  mapdpglem1  41671  mapdpglem2a  41673  mapdpglem3  41674  mapdpglem6  41677  mapdpglem8  41678  mapdpglem9  41679  mapdpglem12  41682  mapdpglem13  41683  mapdpglem14  41684  mapdpglem17N  41687  mapdpglem18  41688  mapdpglem19  41689  mapdpglem21  41691  mapdpglem23  41693  mapdpglem29  41699  mapdindp0  41718  mapdheq4lem  41730  mapdh6lem1N  41732  mapdh6lem2N  41733  mapdh6dN  41738  lspindp5  41769  hdmaplem3  41772  mapdh9a  41788  hdmap1l6lem1  41806  hdmap1l6lem2  41807  hdmap1l6d  41812  hdmap1eulem  41821  hdmap11lem2  41841  hdmapeq0  41843  hdmaprnlem1N  41848  hdmaprnlem3N  41849  hdmaprnlem3uN  41850  hdmaprnlem4N  41852  hdmaprnlem7N  41854  hdmaprnlem8N  41855  hdmaprnlem9N  41856  hdmaprnlem3eN  41857  hdmaprnlem16N  41861  hdmap14lem9  41875  hgmaprnlem2N  41896  hdmapglem7a  41926