Theorem lspsncl 20998

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 20997). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4833	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 20997	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 592	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  LSpanclspn 20992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  21001  ellspsni  21022  lspsn  21023  lspsnss2  21026  lsmelval2  21107  lsmpr  21111  lsppr  21115  lspprabs  21117  lspsncmp  21141  lspsnne1  21142  lspsnne2  21143  lspabs3  21146  lspsneq  21147  lspdisj  21150  lspdisj2  21152  lspfixed  21153  lspexchn1  21155  lspindpi  21157  lsmcv  21166  lshpnel  38939  lshpnelb  38940  lshpnel2N  38941  lshpdisj  38943  lsatlss  38952  lsmsat  38964  lsatfixedN  38965  lssats  38968  lsmcv2  38985  lsat0cv  38989  lkrlsp  39058  lkrlsp3  39060  lshpsmreu  39065  lshpkrlem5  39070  dochnel  41350  djhlsmat  41384  dihjat1lem  41385  dvh3dim3N  41406  lclkrlem2b  41465  lclkrlem2f  41469  lclkrlem2p  41479  lcfrvalsnN  41498  lcfrlem23  41522  mapdsn  41598  mapdn0  41626  mapdncol  41627  mapdindp  41628  mapdpglem1  41629  mapdpglem2a  41631  mapdpglem3  41632  mapdpglem6  41635  mapdpglem8  41636  mapdpglem9  41637  mapdpglem12  41640  mapdpglem13  41641  mapdpglem14  41642  mapdpglem17N  41645  mapdpglem18  41646  mapdpglem19  41647  mapdpglem21  41649  mapdpglem23  41651  mapdpglem29  41657  mapdindp0  41676  mapdheq4lem  41688  mapdh6lem1N  41690  mapdh6lem2N  41691  mapdh6dN  41696  lspindp5  41727  hdmaplem3  41730  mapdh9a  41746  hdmap1l6lem1  41764  hdmap1l6lem2  41765  hdmap1l6d  41770  hdmap1eulem  41779  hdmap11lem2  41799  hdmapeq0  41801  hdmaprnlem1N  41806  hdmaprnlem3N  41807  hdmaprnlem3uN  41808  hdmaprnlem4N  41810  hdmaprnlem7N  41812  hdmaprnlem8N  41813  hdmaprnlem9N  41814  hdmaprnlem3eN  41815  hdmaprnlem16N  41819  hdmap14lem9  41833  hgmaprnlem2N  41854  hdmapglem7a  41884