Theorem lspsncl 20963

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 20962). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4752	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 20962	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 594	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  LModclmod 20846  LSubSpclss 20917  LSpanclspn 20957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  20966  ellspsni  20987  lspsn  20988  lspsnss2  20991  lsmelval2  21072  lsmpr  21076  lsppr  21080  lspprabs  21082  lspsncmp  21106  lspsnne1  21107  lspsnne2  21108  lspabs3  21111  lspsneq  21112  lspdisj  21115  lspdisj2  21117  lspfixed  21118  lspexchn1  21120  lspindpi  21122  lsmcv  21131  lshpnel  39443  lshpnelb  39444  lshpnel2N  39445  lshpdisj  39447  lsatlss  39456  lsmsat  39468  lsatfixedN  39469  lssats  39472  lsmcv2  39489  lsat0cv  39493  lkrlsp  39562  lkrlsp3  39564  lshpsmreu  39569  lshpkrlem5  39574  dochnel  41853  djhlsmat  41887  dihjat1lem  41888  dvh3dim3N  41909  lclkrlem2b  41968  lclkrlem2f  41972  lclkrlem2p  41982  lcfrvalsnN  42001  lcfrlem23  42025  mapdsn  42101  mapdn0  42129  mapdncol  42130  mapdindp  42131  mapdpglem1  42132  mapdpglem2a  42134  mapdpglem3  42135  mapdpglem6  42138  mapdpglem8  42139  mapdpglem9  42140  mapdpglem12  42143  mapdpglem13  42144  mapdpglem14  42145  mapdpglem17N  42148  mapdpglem18  42149  mapdpglem19  42150  mapdpglem21  42152  mapdpglem23  42154  mapdpglem29  42160  mapdindp0  42179  mapdheq4lem  42191  mapdh6lem1N  42193  mapdh6lem2N  42194  mapdh6dN  42199  lspindp5  42230  hdmaplem3  42233  mapdh9a  42249  hdmap1l6lem1  42267  hdmap1l6lem2  42268  hdmap1l6d  42273  hdmap1eulem  42282  hdmap11lem2  42302  hdmapeq0  42304  hdmaprnlem1N  42309  hdmaprnlem3N  42310  hdmaprnlem3uN  42311  hdmaprnlem4N  42313  hdmaprnlem7N  42315  hdmaprnlem8N  42316  hdmaprnlem9N  42317  hdmaprnlem3eN  42318  hdmaprnlem16N  42322  hdmap14lem9  42336  hgmaprnlem2N  42357  hdmapglem7a  42387