Theorem lspsncl 20014

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 20013). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4721	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 20013	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 596	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866  {csn 4541  ‘cfv 6380  Basecbs 16760  LModclmod 19899  LSubSpclss 19968  LSpanclspn 20008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lsp 20009

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  20017  lspsneli  20038  lspsn  20039  lspsnss2  20042  lsmelval2  20122  lsmpr  20126  lsppr  20130  lspprabs  20132  lspsncmp  20153  lspsnne1  20154  lspsnne2  20155  lspabs3  20158  lspsneq  20159  lspdisj  20162  lspdisj2  20164  lspfixed  20165  lspexchn1  20167  lspindpi  20169  lsmcv  20178  lshpnel  36734  lshpnelb  36735  lshpnel2N  36736  lshpdisj  36738  lsatlss  36747  lsmsat  36759  lsatfixedN  36760  lssats  36763  lsmcv2  36780  lsat0cv  36784  lkrlsp  36853  lkrlsp3  36855  lshpsmreu  36860  lshpkrlem5  36865  dochnel  39144  djhlsmat  39178  dihjat1lem  39179  dvh3dim3N  39200  lclkrlem2b  39259  lclkrlem2f  39263  lclkrlem2p  39273  lcfrvalsnN  39292  lcfrlem23  39316  mapdsn  39392  mapdn0  39420  mapdncol  39421  mapdindp  39422  mapdpglem1  39423  mapdpglem2a  39425  mapdpglem3  39426  mapdpglem6  39429  mapdpglem8  39430  mapdpglem9  39431  mapdpglem12  39434  mapdpglem13  39435  mapdpglem14  39436  mapdpglem17N  39439  mapdpglem18  39440  mapdpglem19  39441  mapdpglem21  39443  mapdpglem23  39445  mapdpglem29  39451  mapdindp0  39470  mapdheq4lem  39482  mapdh6lem1N  39484  mapdh6lem2N  39485  mapdh6dN  39490  lspindp5  39521  hdmaplem3  39524  mapdh9a  39540  hdmap1l6lem1  39558  hdmap1l6lem2  39559  hdmap1l6d  39564  hdmap1eulem  39573  hdmap11lem2  39593  hdmapeq0  39595  hdmaprnlem1N  39600  hdmaprnlem3N  39601  hdmaprnlem3uN  39602  hdmaprnlem4N  39604  hdmaprnlem7N  39606  hdmaprnlem8N  39607  hdmaprnlem9N  39608  hdmaprnlem3eN  39609  hdmaprnlem16N  39613  hdmap14lem9  39627  hgmaprnlem2N  39648  hdmapglem7a  39678