Theorem lspsncl 21098

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 21097). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4751	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 21097	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 604	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ‘cfv 6536  Basecbs 17264  LModclmod 20981  LSubSpclss 21052  LSpanclspn 21092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mgp 20212  df-ur 20259  df-ring 20312  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  21101  ellspsni  21122  lspsn  21123  lspsnss2  21126  lsmelval2  21206  lsmpr  21210  lsppr  21214  lspprabs  21216  lspsncmp  21240  lspsnne1  21241  lspsnne2  21242  lspabs3  21245  lspsneq  21246  lspdisj  21249  lspdisj2  21251  lspfixed  21252  lspexchn1  21254  lspindpi  21256  lsmcv  21265  lshpnel  39757  lshpnelb  39758  lshpnel2N  39759  lshpdisj  39761  lsatlss  39770  lsmsat  39782  lsatfixedN  39783  lssats  39786  lsmcv2  39803  lsat0cv  39807  lkrlsp  39876  lkrlsp3  39878  lshpsmreu  39883  lshpkrlem5  39888  dochnel  42167  djhlsmat  42201  dihjat1lem  42202  dvh3dim3N  42223  lclkrlem2b  42282  lclkrlem2f  42286  lclkrlem2p  42296  lcfrvalsnN  42315  lcfrlem23  42339  mapdsn  42415  mapdn0  42443  mapdncol  42444  mapdindp  42445  mapdpglem1  42446  mapdpglem2a  42448  mapdpglem3  42449  mapdpglem6  42452  mapdpglem8  42453  mapdpglem9  42454  mapdpglem12  42457  mapdpglem13  42458  mapdpglem14  42459  mapdpglem17N  42462  mapdpglem18  42463  mapdpglem19  42464  mapdpglem21  42466  mapdpglem23  42468  mapdpglem29  42474  mapdindp0  42493  mapdheq4lem  42505  mapdh6lem1N  42507  mapdh6lem2N  42508  mapdh6dN  42513  lspindp5  42544  hdmaplem3  42547  mapdh9a  42563  hdmap1l6lem1  42581  hdmap1l6lem2  42582  hdmap1l6d  42587  hdmap1eulem  42596  hdmap11lem2  42616  hdmapeq0  42618  hdmaprnlem1N  42623  hdmaprnlem3N  42624  hdmaprnlem3uN  42625  hdmaprnlem4N  42627  hdmaprnlem7N  42629  hdmaprnlem8N  42630  hdmaprnlem9N  42631  hdmaprnlem3eN  42632  hdmaprnlem16N  42636  hdmap14lem9  42650  hgmaprnlem2N  42671  hdmapglem7a  42701