Theorem lspsncl 19298

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 19297). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4527	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 19297	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 587	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ⊆ wss 3769  {csn 4368  ‘cfv 6101  Basecbs 16184  LModclmod 19181  LSubSpclss 19250  LSpanclspn 19292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-plusg 16280  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  19301  lspsneli  19322  lspsn  19323  lspsnss2  19326  lsmelval2  19406  lsmpr  19410  lsppr  19414  lspprabs  19416  lspsncmp  19437  lspsnne1  19438  lspsnne2  19439  lspabs3  19442  lspsneq  19443  lspdisj  19446  lspdisj2  19448  lspfixed  19449  lspfixedOLD  19450  lspexchn1  19452  lspindpi  19454  lsmcv  19463  lshpnel  35004  lshpnelb  35005  lshpnel2N  35006  lshpdisj  35008  lsatlss  35017  lsmsat  35029  lsatfixedN  35030  lssats  35033  lsmcv2  35050  lsat0cv  35054  lkrlsp  35123  lkrlsp3  35125  lshpsmreu  35130  lshpkrlem5  35135  dochnel  37414  djhlsmat  37448  dihjat1lem  37449  dvh3dim3N  37470  lclkrlem2b  37529  lclkrlem2f  37533  lclkrlem2p  37543  lcfrvalsnN  37562  lcfrlem23  37586  mapdsn  37662  mapdn0  37690  mapdncol  37691  mapdindp  37692  mapdpglem1  37693  mapdpglem2a  37695  mapdpglem3  37696  mapdpglem6  37699  mapdpglem8  37700  mapdpglem9  37701  mapdpglem12  37704  mapdpglem13  37705  mapdpglem14  37706  mapdpglem17N  37709  mapdpglem18  37710  mapdpglem19  37711  mapdpglem21  37713  mapdpglem23  37715  mapdpglem29  37721  mapdindp0  37740  mapdheq4lem  37752  mapdh6lem1N  37754  mapdh6lem2N  37755  mapdh6dN  37760  lspindp5  37791  hdmaplem3  37794  mapdh9a  37810  hdmap1l6lem1  37828  hdmap1l6lem2  37829  hdmap1l6d  37834  hdmap1eulem  37843  hdmap11lem2  37863  hdmapeq0  37865  hdmaprnlem1N  37870  hdmaprnlem3N  37871  hdmaprnlem3uN  37872  hdmaprnlem4N  37874  hdmaprnlem7N  37876  hdmaprnlem8N  37877  hdmaprnlem9N  37878  hdmaprnlem3eN  37879  hdmaprnlem16N  37883  hdmap14lem9  37897  hgmaprnlem2N  37918  hdmapglem7a  37948