Theorem lspsncl 20859

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 20858). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4768	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 20858	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 593	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  {csn 4585  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  LModclmod 20742  LSubSpclss 20813  LSpanclspn 20853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  20862  ellspsni  20883  lspsn  20884  lspsnss2  20887  lsmelval2  20968  lsmpr  20972  lsppr  20976  lspprabs  20978  lspsncmp  21002  lspsnne1  21003  lspsnne2  21004  lspabs3  21007  lspsneq  21008  lspdisj  21011  lspdisj2  21013  lspfixed  21014  lspexchn1  21016  lspindpi  21018  lsmcv  21027  lshpnel  38949  lshpnelb  38950  lshpnel2N  38951  lshpdisj  38953  lsatlss  38962  lsmsat  38974  lsatfixedN  38975  lssats  38978  lsmcv2  38995  lsat0cv  38999  lkrlsp  39068  lkrlsp3  39070  lshpsmreu  39075  lshpkrlem5  39080  dochnel  41360  djhlsmat  41394  dihjat1lem  41395  dvh3dim3N  41416  lclkrlem2b  41475  lclkrlem2f  41479  lclkrlem2p  41489  lcfrvalsnN  41508  lcfrlem23  41532  mapdsn  41608  mapdn0  41636  mapdncol  41637  mapdindp  41638  mapdpglem1  41639  mapdpglem2a  41641  mapdpglem3  41642  mapdpglem6  41645  mapdpglem8  41646  mapdpglem9  41647  mapdpglem12  41650  mapdpglem13  41651  mapdpglem14  41652  mapdpglem17N  41655  mapdpglem18  41656  mapdpglem19  41657  mapdpglem21  41659  mapdpglem23  41661  mapdpglem29  41667  mapdindp0  41686  mapdheq4lem  41698  mapdh6lem1N  41700  mapdh6lem2N  41701  mapdh6dN  41706  lspindp5  41737  hdmaplem3  41740  mapdh9a  41756  hdmap1l6lem1  41774  hdmap1l6lem2  41775  hdmap1l6d  41780  hdmap1eulem  41789  hdmap11lem2  41809  hdmapeq0  41811  hdmaprnlem1N  41816  hdmaprnlem3N  41817  hdmaprnlem3uN  41818  hdmaprnlem4N  41820  hdmaprnlem7N  41822  hdmaprnlem8N  41823  hdmaprnlem9N  41824  hdmaprnlem3eN  41825  hdmaprnlem16N  41829  hdmap14lem9  41843  hgmaprnlem2N  41864  hdmapglem7a  41894