Theorem lspsncl 21259

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 21258). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4742	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 21258	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 605	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  {csn 4584  ‘cfv 6541  Basecbs 17394  LModclmod 21142  LSubSpclss 21213  LSpanclspn 21253

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-plusg 17448  df-0g 17619  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-sbg 19156  df-mgp 20368  df-ur 20415  df-ring 20468  df-lmod 21144  df-lss 21214  df-lsp 21254

This theorem is used by:  lspsnsubg  21262  ellspsni  21283  lspsn  21284  lspsnss2  21287  lsmelval2  21367  lsmpr  21371  lsppr  21375  lspprabs  21377  lspsncmp  21401  lspsnne1  21402  lspsnne2  21403  lspabs3  21406  lspsneq  21407  lspdisj  21410  lspdisj2  21412  lspfixed  21413  lspexchn1  21415  lspindpi  21417  lsmcv  21426  lshpnel  40147  lshpnelb  40148  lshpnel2N  40149  lshpdisj  40151  lsatlss  40160  lsmsat  40172  lsatfixedN  40173  lssats  40176  lsmcv2  40193  lsat0cv  40197  lkrlsp  40266  lkrlsp3  40268  lshpsmreu  40273  lshpkrlem5  40278  dochnel  42557  djhlsmat  42591  dihjat1lem  42592  dvh3dim3N  42613  lclkrlem2b  42672  lclkrlem2f  42676  lclkrlem2p  42686  lcfrvalsnN  42705  lcfrlem23  42729  mapdsn  42805  mapdn0  42833  mapdncol  42834  mapdindp  42835  mapdpglem1  42836  mapdpglem2a  42838  mapdpglem3  42839  mapdpglem6  42842  mapdpglem8  42843  mapdpglem9  42844  mapdpglem12  42847  mapdpglem13  42848  mapdpglem14  42849  mapdpglem17N  42852  mapdpglem18  42853  mapdpglem19  42854  mapdpglem21  42856  mapdpglem23  42858  mapdpglem29  42864  mapdindp0  42883  mapdheq4lem  42895  mapdh6lem1N  42897  mapdh6lem2N  42898  mapdh6dN  42903  lspindp5  42934  hdmaplem3  42937  mapdh9a  42953  hdmap1l6lem1  42971  hdmap1l6lem2  42972  hdmap1l6d  42977  hdmap1eulem  42986  hdmap11lem2  43006  hdmapeq0  43008  hdmaprnlem1N  43013  hdmaprnlem3N  43014  hdmaprnlem3uN  43015  hdmaprnlem4N  43017  hdmaprnlem7N  43019  hdmaprnlem8N  43020  hdmaprnlem9N  43021  hdmaprnlem3eN  43022  hdmaprnlem16N  43026  hdmap14lem9  43040  hgmaprnlem2N  43061  hdmapglem7a  43091