Theorem lspsncl 20919

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 20918). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4761	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 20918	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 593	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  {csn 4577  ‘cfv 6489  Basecbs 17127  LModclmod 20802  LSubSpclss 20873  LSpanclspn 20913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-plusg 17181  df-0g 17352  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-mgp 20067  df-ur 20108  df-ring 20161  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  20922  ellspsni  20943  lspsn  20944  lspsnss2  20947  lsmelval2  21028  lsmpr  21032  lsppr  21036  lspprabs  21038  lspsncmp  21062  lspsnne1  21063  lspsnne2  21064  lspabs3  21067  lspsneq  21068  lspdisj  21071  lspdisj2  21073  lspfixed  21074  lspexchn1  21076  lspindpi  21078  lsmcv  21087  lshpnel  39155  lshpnelb  39156  lshpnel2N  39157  lshpdisj  39159  lsatlss  39168  lsmsat  39180  lsatfixedN  39181  lssats  39184  lsmcv2  39201  lsat0cv  39205  lkrlsp  39274  lkrlsp3  39276  lshpsmreu  39281  lshpkrlem5  39286  dochnel  41565  djhlsmat  41599  dihjat1lem  41600  dvh3dim3N  41621  lclkrlem2b  41680  lclkrlem2f  41684  lclkrlem2p  41694  lcfrvalsnN  41713  lcfrlem23  41737  mapdsn  41813  mapdn0  41841  mapdncol  41842  mapdindp  41843  mapdpglem1  41844  mapdpglem2a  41846  mapdpglem3  41847  mapdpglem6  41850  mapdpglem8  41851  mapdpglem9  41852  mapdpglem12  41855  mapdpglem13  41856  mapdpglem14  41857  mapdpglem17N  41860  mapdpglem18  41861  mapdpglem19  41862  mapdpglem21  41864  mapdpglem23  41866  mapdpglem29  41872  mapdindp0  41891  mapdheq4lem  41903  mapdh6lem1N  41905  mapdh6lem2N  41906  mapdh6dN  41911  lspindp5  41942  hdmaplem3  41945  mapdh9a  41961  hdmap1l6lem1  41979  hdmap1l6lem2  41980  hdmap1l6d  41985  hdmap1eulem  41994  hdmap11lem2  42014  hdmapeq0  42016  hdmaprnlem1N  42021  hdmaprnlem3N  42022  hdmaprnlem3uN  42023  hdmaprnlem4N  42025  hdmaprnlem7N  42027  hdmaprnlem8N  42028  hdmaprnlem9N  42029  hdmaprnlem3eN  42030  hdmaprnlem16N  42034  hdmap14lem9  42048  hgmaprnlem2N  42069  hdmapglem7a  42099