Theorem lspsncl 20975

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 20974). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4808	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 20974	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 593	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  20978  ellspsni  20999  lspsn  21000  lspsnss2  21003  lsmelval2  21084  lsmpr  21088  lsppr  21092  lspprabs  21094  lspsncmp  21118  lspsnne1  21119  lspsnne2  21120  lspabs3  21123  lspsneq  21124  lspdisj  21127  lspdisj2  21129  lspfixed  21130  lspexchn1  21132  lspindpi  21134  lsmcv  21143  lshpnel  38984  lshpnelb  38985  lshpnel2N  38986  lshpdisj  38988  lsatlss  38997  lsmsat  39009  lsatfixedN  39010  lssats  39013  lsmcv2  39030  lsat0cv  39034  lkrlsp  39103  lkrlsp3  39105  lshpsmreu  39110  lshpkrlem5  39115  dochnel  41395  djhlsmat  41429  dihjat1lem  41430  dvh3dim3N  41451  lclkrlem2b  41510  lclkrlem2f  41514  lclkrlem2p  41524  lcfrvalsnN  41543  lcfrlem23  41567  mapdsn  41643  mapdn0  41671  mapdncol  41672  mapdindp  41673  mapdpglem1  41674  mapdpglem2a  41676  mapdpglem3  41677  mapdpglem6  41680  mapdpglem8  41681  mapdpglem9  41682  mapdpglem12  41685  mapdpglem13  41686  mapdpglem14  41687  mapdpglem17N  41690  mapdpglem18  41691  mapdpglem19  41692  mapdpglem21  41694  mapdpglem23  41696  mapdpglem29  41702  mapdindp0  41721  mapdheq4lem  41733  mapdh6lem1N  41735  mapdh6lem2N  41736  mapdh6dN  41741  lspindp5  41772  hdmaplem3  41775  mapdh9a  41791  hdmap1l6lem1  41809  hdmap1l6lem2  41810  hdmap1l6d  41815  hdmap1eulem  41824  hdmap11lem2  41844  hdmapeq0  41846  hdmaprnlem1N  41851  hdmaprnlem3N  41852  hdmaprnlem3uN  41853  hdmaprnlem4N  41855  hdmaprnlem7N  41857  hdmaprnlem8N  41858  hdmaprnlem9N  41859  hdmaprnlem3eN  41860  hdmaprnlem16N  41864  hdmap14lem9  41878  hgmaprnlem2N  41899  hdmapglem7a  41929