Theorem lspsncl 20905

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 20904). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4755	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 20904	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 593	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  {csn 4571  ‘cfv 6476  Basecbs 17115  LModclmod 20788  LSubSpclss 20859  LSpanclspn 20899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-plusg 17169  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mgp 20054  df-ur 20095  df-ring 20148  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-lsp 20900

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  20908  ellspsni  20929  lspsn  20930  lspsnss2  20933  lsmelval2  21014  lsmpr  21018  lsppr  21022  lspprabs  21024  lspsncmp  21048  lspsnne1  21049  lspsnne2  21050  lspabs3  21053  lspsneq  21054  lspdisj  21057  lspdisj2  21059  lspfixed  21060  lspexchn1  21062  lspindpi  21064  lsmcv  21073  lshpnel  39022  lshpnelb  39023  lshpnel2N  39024  lshpdisj  39026  lsatlss  39035  lsmsat  39047  lsatfixedN  39048  lssats  39051  lsmcv2  39068  lsat0cv  39072  lkrlsp  39141  lkrlsp3  39143  lshpsmreu  39148  lshpkrlem5  39153  dochnel  41432  djhlsmat  41466  dihjat1lem  41467  dvh3dim3N  41488  lclkrlem2b  41547  lclkrlem2f  41551  lclkrlem2p  41561  lcfrvalsnN  41580  lcfrlem23  41604  mapdsn  41680  mapdn0  41708  mapdncol  41709  mapdindp  41710  mapdpglem1  41711  mapdpglem2a  41713  mapdpglem3  41714  mapdpglem6  41717  mapdpglem8  41718  mapdpglem9  41719  mapdpglem12  41722  mapdpglem13  41723  mapdpglem14  41724  mapdpglem17N  41727  mapdpglem18  41728  mapdpglem19  41729  mapdpglem21  41731  mapdpglem23  41733  mapdpglem29  41739  mapdindp0  41758  mapdheq4lem  41770  mapdh6lem1N  41772  mapdh6lem2N  41773  mapdh6dN  41778  lspindp5  41809  hdmaplem3  41812  mapdh9a  41828  hdmap1l6lem1  41846  hdmap1l6lem2  41847  hdmap1l6d  41852  hdmap1eulem  41861  hdmap11lem2  41881  hdmapeq0  41883  hdmaprnlem1N  41888  hdmaprnlem3N  41889  hdmaprnlem3uN  41890  hdmaprnlem4N  41892  hdmaprnlem7N  41894  hdmaprnlem8N  41895  hdmaprnlem9N  41896  hdmaprnlem3eN  41897  hdmaprnlem16N  41901  hdmap14lem9  41915  hgmaprnlem2N  41936  hdmapglem7a  41966