Theorem lspsncl 20883

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 20882). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4772	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 20882	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 593	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  {csn 4589  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  LModclmod 20766  LSubSpclss 20837  LSpanclspn 20877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  20886  ellspsni  20907  lspsn  20908  lspsnss2  20911  lsmelval2  20992  lsmpr  20996  lsppr  21000  lspprabs  21002  lspsncmp  21026  lspsnne1  21027  lspsnne2  21028  lspabs3  21031  lspsneq  21032  lspdisj  21035  lspdisj2  21037  lspfixed  21038  lspexchn1  21040  lspindpi  21042  lsmcv  21051  lshpnel  38976  lshpnelb  38977  lshpnel2N  38978  lshpdisj  38980  lsatlss  38989  lsmsat  39001  lsatfixedN  39002  lssats  39005  lsmcv2  39022  lsat0cv  39026  lkrlsp  39095  lkrlsp3  39097  lshpsmreu  39102  lshpkrlem5  39107  dochnel  41387  djhlsmat  41421  dihjat1lem  41422  dvh3dim3N  41443  lclkrlem2b  41502  lclkrlem2f  41506  lclkrlem2p  41516  lcfrvalsnN  41535  lcfrlem23  41559  mapdsn  41635  mapdn0  41663  mapdncol  41664  mapdindp  41665  mapdpglem1  41666  mapdpglem2a  41668  mapdpglem3  41669  mapdpglem6  41672  mapdpglem8  41673  mapdpglem9  41674  mapdpglem12  41677  mapdpglem13  41678  mapdpglem14  41679  mapdpglem17N  41682  mapdpglem18  41683  mapdpglem19  41684  mapdpglem21  41686  mapdpglem23  41688  mapdpglem29  41694  mapdindp0  41713  mapdheq4lem  41725  mapdh6lem1N  41727  mapdh6lem2N  41728  mapdh6dN  41733  lspindp5  41764  hdmaplem3  41767  mapdh9a  41783  hdmap1l6lem1  41801  hdmap1l6lem2  41802  hdmap1l6d  41807  hdmap1eulem  41816  hdmap11lem2  41836  hdmapeq0  41838  hdmaprnlem1N  41843  hdmaprnlem3N  41844  hdmaprnlem3uN  41845  hdmaprnlem4N  41847  hdmaprnlem7N  41849  hdmaprnlem8N  41850  hdmaprnlem9N  41851  hdmaprnlem3eN  41852  hdmaprnlem16N  41856  hdmap14lem9  41870  hgmaprnlem2N  41891  hdmapglem7a  41921