Theorem lspsncl 20940

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 20939). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4766	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 20939	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 594	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  {csn 4582  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  LModclmod 20823  LSubSpclss 20894  LSpanclspn 20934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  20943  ellspsni  20964  lspsn  20965  lspsnss2  20968  lsmelval2  21049  lsmpr  21053  lsppr  21057  lspprabs  21059  lspsncmp  21083  lspsnne1  21084  lspsnne2  21085  lspabs3  21088  lspsneq  21089  lspdisj  21092  lspdisj2  21094  lspfixed  21095  lspexchn1  21097  lspindpi  21099  lsmcv  21108  lshpnel  39359  lshpnelb  39360  lshpnel2N  39361  lshpdisj  39363  lsatlss  39372  lsmsat  39384  lsatfixedN  39385  lssats  39388  lsmcv2  39405  lsat0cv  39409  lkrlsp  39478  lkrlsp3  39480  lshpsmreu  39485  lshpkrlem5  39490  dochnel  41769  djhlsmat  41803  dihjat1lem  41804  dvh3dim3N  41825  lclkrlem2b  41884  lclkrlem2f  41888  lclkrlem2p  41898  lcfrvalsnN  41917  lcfrlem23  41941  mapdsn  42017  mapdn0  42045  mapdncol  42046  mapdindp  42047  mapdpglem1  42048  mapdpglem2a  42050  mapdpglem3  42051  mapdpglem6  42054  mapdpglem8  42055  mapdpglem9  42056  mapdpglem12  42059  mapdpglem13  42060  mapdpglem14  42061  mapdpglem17N  42064  mapdpglem18  42065  mapdpglem19  42066  mapdpglem21  42068  mapdpglem23  42070  mapdpglem29  42076  mapdindp0  42095  mapdheq4lem  42107  mapdh6lem1N  42109  mapdh6lem2N  42110  mapdh6dN  42115  lspindp5  42146  hdmaplem3  42149  mapdh9a  42165  hdmap1l6lem1  42183  hdmap1l6lem2  42184  hdmap1l6d  42189  hdmap1eulem  42198  hdmap11lem2  42218  hdmapeq0  42220  hdmaprnlem1N  42225  hdmaprnlem3N  42226  hdmaprnlem3uN  42227  hdmaprnlem4N  42229  hdmaprnlem7N  42231  hdmaprnlem8N  42232  hdmaprnlem9N  42233  hdmaprnlem3eN  42234  hdmaprnlem16N  42238  hdmap14lem9  42252  hgmaprnlem2N  42273  hdmapglem7a  42303