Theorem lspsncl 20992

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 20991). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4812	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 20991	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 593	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3962  {csn 4630  ‘cfv 6562  Basecbs 17244  LModclmod 20874  LSubSpclss 20946  LSpanclspn 20986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  20995  ellspsni  21016  lspsn  21017  lspsnss2  21020  lsmelval2  21101  lsmpr  21105  lsppr  21109  lspprabs  21111  lspsncmp  21135  lspsnne1  21136  lspsnne2  21137  lspabs3  21140  lspsneq  21141  lspdisj  21144  lspdisj2  21146  lspfixed  21147  lspexchn1  21149  lspindpi  21151  lsmcv  21160  lshpnel  38964  lshpnelb  38965  lshpnel2N  38966  lshpdisj  38968  lsatlss  38977  lsmsat  38989  lsatfixedN  38990  lssats  38993  lsmcv2  39010  lsat0cv  39014  lkrlsp  39083  lkrlsp3  39085  lshpsmreu  39090  lshpkrlem5  39095  dochnel  41375  djhlsmat  41409  dihjat1lem  41410  dvh3dim3N  41431  lclkrlem2b  41490  lclkrlem2f  41494  lclkrlem2p  41504  lcfrvalsnN  41523  lcfrlem23  41547  mapdsn  41623  mapdn0  41651  mapdncol  41652  mapdindp  41653  mapdpglem1  41654  mapdpglem2a  41656  mapdpglem3  41657  mapdpglem6  41660  mapdpglem8  41661  mapdpglem9  41662  mapdpglem12  41665  mapdpglem13  41666  mapdpglem14  41667  mapdpglem17N  41670  mapdpglem18  41671  mapdpglem19  41672  mapdpglem21  41674  mapdpglem23  41676  mapdpglem29  41682  mapdindp0  41701  mapdheq4lem  41713  mapdh6lem1N  41715  mapdh6lem2N  41716  mapdh6dN  41721  lspindp5  41752  hdmaplem3  41755  mapdh9a  41771  hdmap1l6lem1  41789  hdmap1l6lem2  41790  hdmap1l6d  41795  hdmap1eulem  41804  hdmap11lem2  41824  hdmapeq0  41826  hdmaprnlem1N  41831  hdmaprnlem3N  41832  hdmaprnlem3uN  41833  hdmaprnlem4N  41835  hdmaprnlem7N  41837  hdmaprnlem8N  41838  hdmaprnlem9N  41839  hdmaprnlem3eN  41840  hdmaprnlem16N  41844  hdmap14lem9  41858  hgmaprnlem2N  41879  hdmapglem7a  41909