Theorem lspsncl 21245

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 21244). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4746	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 21244	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 605	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6537  Basecbs 17380  LModclmod 21128  LSubSpclss 21199  LSpanclspn 21239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mgp 20354  df-ur 20401  df-ring 20454  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240

This theorem is used by:  lspsnsubg  21248  ellspsni  21269  lspsn  21270  lspsnss2  21273  lsmelval2  21353  lsmpr  21357  lsppr  21361  lspprabs  21363  lspsncmp  21387  lspsnne1  21388  lspsnne2  21389  lspabs3  21392  lspsneq  21393  lspdisj  21396  lspdisj2  21398  lspfixed  21399  lspexchn1  21401  lspindpi  21403  lsmcv  21412  lshpnel  40020  lshpnelb  40021  lshpnel2N  40022  lshpdisj  40024  lsatlss  40033  lsmsat  40045  lsatfixedN  40046  lssats  40049  lsmcv2  40066  lsat0cv  40070  lkrlsp  40139  lkrlsp3  40141  lshpsmreu  40146  lshpkrlem5  40151  dochnel  42430  djhlsmat  42464  dihjat1lem  42465  dvh3dim3N  42486  lclkrlem2b  42545  lclkrlem2f  42549  lclkrlem2p  42559  lcfrvalsnN  42578  lcfrlem23  42602  mapdsn  42678  mapdn0  42706  mapdncol  42707  mapdindp  42708  mapdpglem1  42709  mapdpglem2a  42711  mapdpglem3  42712  mapdpglem6  42715  mapdpglem8  42716  mapdpglem9  42717  mapdpglem12  42720  mapdpglem13  42721  mapdpglem14  42722  mapdpglem17N  42725  mapdpglem18  42726  mapdpglem19  42727  mapdpglem21  42729  mapdpglem23  42731  mapdpglem29  42737  mapdindp0  42756  mapdheq4lem  42768  mapdh6lem1N  42770  mapdh6lem2N  42771  mapdh6dN  42776  lspindp5  42807  hdmaplem3  42810  mapdh9a  42826  hdmap1l6lem1  42844  hdmap1l6lem2  42845  hdmap1l6d  42850  hdmap1eulem  42859  hdmap11lem2  42879  hdmapeq0  42881  hdmaprnlem1N  42886  hdmaprnlem3N  42887  hdmaprnlem3uN  42888  hdmaprnlem4N  42890  hdmaprnlem7N  42892  hdmaprnlem8N  42893  hdmaprnlem9N  42894  hdmaprnlem3eN  42895  hdmaprnlem16N  42899  hdmap14lem9  42913  hgmaprnlem2N  42934  hdmapglem7a  42964