Theorem lspsncl 20890

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 20889). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4813	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 20889	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 591	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3944  {csn 4630  ‘cfv 6549  Basecbs 17199  LModclmod 20772  LSubSpclss 20844  LSpanclspn 20884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-plusg 17265  df-0g 17442  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-mgp 20104  df-ur 20151  df-ring 20204  df-lmod 20774  df-lss 20845  df-lsp 20885

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  20893  lspsneli  20914  lspsn  20915  lspsnss2  20918  lsmelval2  20999  lsmpr  21003  lsppr  21007  lspprabs  21009  lspsncmp  21033  lspsnne1  21034  lspsnne2  21035  lspabs3  21038  lspsneq  21039  lspdisj  21042  lspdisj2  21044  lspfixed  21045  lspexchn1  21047  lspindpi  21049  lsmcv  21058  lshpnel  38605  lshpnelb  38606  lshpnel2N  38607  lshpdisj  38609  lsatlss  38618  lsmsat  38630  lsatfixedN  38631  lssats  38634  lsmcv2  38651  lsat0cv  38655  lkrlsp  38724  lkrlsp3  38726  lshpsmreu  38731  lshpkrlem5  38736  dochnel  41016  djhlsmat  41050  dihjat1lem  41051  dvh3dim3N  41072  lclkrlem2b  41131  lclkrlem2f  41135  lclkrlem2p  41145  lcfrvalsnN  41164  lcfrlem23  41188  mapdsn  41264  mapdn0  41292  mapdncol  41293  mapdindp  41294  mapdpglem1  41295  mapdpglem2a  41297  mapdpglem3  41298  mapdpglem6  41301  mapdpglem8  41302  mapdpglem9  41303  mapdpglem12  41306  mapdpglem13  41307  mapdpglem14  41308  mapdpglem17N  41311  mapdpglem18  41312  mapdpglem19  41313  mapdpglem21  41315  mapdpglem23  41317  mapdpglem29  41323  mapdindp0  41342  mapdheq4lem  41354  mapdh6lem1N  41356  mapdh6lem2N  41357  mapdh6dN  41362  lspindp5  41393  hdmaplem3  41396  mapdh9a  41412  hdmap1l6lem1  41430  hdmap1l6lem2  41431  hdmap1l6d  41436  hdmap1eulem  41445  hdmap11lem2  41465  hdmapeq0  41467  hdmaprnlem1N  41472  hdmaprnlem3N  41473  hdmaprnlem3uN  41474  hdmaprnlem4N  41476  hdmaprnlem7N  41478  hdmaprnlem8N  41479  hdmaprnlem9N  41480  hdmaprnlem3eN  41481  hdmaprnlem16N  41485  hdmap14lem9  41499  hgmaprnlem2N  41520  hdmapglem7a  41550