Theorem lspsncl 21128

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 21127). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4753	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 21127	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 605	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  {csn 4591  ‘cfv 6540  Basecbs 17287  LModclmod 21011  LSubSpclss 21082  LSpanclspn 21122

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-plusg 17341  df-0g 17512  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-mgp 20241  df-ur 20288  df-ring 20341  df-lmod 21013  df-lss 21083  df-lsp 21123

This theorem is used by:  lspsnsubg  21131  ellspsni  21152  lspsn  21153  lspsnss2  21156  lsmelval2  21236  lsmpr  21240  lsppr  21244  lspprabs  21246  lspsncmp  21270  lspsnne1  21271  lspsnne2  21272  lspabs3  21275  lspsneq  21276  lspdisj  21279  lspdisj2  21281  lspfixed  21282  lspexchn1  21284  lspindpi  21286  lsmcv  21295  lshpnel  39790  lshpnelb  39791  lshpnel2N  39792  lshpdisj  39794  lsatlss  39803  lsmsat  39815  lsatfixedN  39816  lssats  39819  lsmcv2  39836  lsat0cv  39840  lkrlsp  39909  lkrlsp3  39911  lshpsmreu  39916  lshpkrlem5  39921  dochnel  42200  djhlsmat  42234  dihjat1lem  42235  dvh3dim3N  42256  lclkrlem2b  42315  lclkrlem2f  42319  lclkrlem2p  42329  lcfrvalsnN  42348  lcfrlem23  42372  mapdsn  42448  mapdn0  42476  mapdncol  42477  mapdindp  42478  mapdpglem1  42479  mapdpglem2a  42481  mapdpglem3  42482  mapdpglem6  42485  mapdpglem8  42486  mapdpglem9  42487  mapdpglem12  42490  mapdpglem13  42491  mapdpglem14  42492  mapdpglem17N  42495  mapdpglem18  42496  mapdpglem19  42497  mapdpglem21  42499  mapdpglem23  42501  mapdpglem29  42507  mapdindp0  42526  mapdheq4lem  42538  mapdh6lem1N  42540  mapdh6lem2N  42541  mapdh6dN  42546  lspindp5  42577  hdmaplem3  42580  mapdh9a  42596  hdmap1l6lem1  42614  hdmap1l6lem2  42615  hdmap1l6d  42620  hdmap1eulem  42629  hdmap11lem2  42649  hdmapeq0  42651  hdmaprnlem1N  42656  hdmaprnlem3N  42657  hdmaprnlem3uN  42658  hdmaprnlem4N  42660  hdmaprnlem7N  42662  hdmaprnlem8N  42663  hdmaprnlem9N  42664  hdmaprnlem3eN  42665  hdmaprnlem16N  42669  hdmap14lem9  42683  hgmaprnlem2N  42704  hdmapglem7a  42734