Theorem lspsncl 21072

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 21071). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4753	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 21071	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 604	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  {csn 4591  ‘cfv 6533  Basecbs 17265  LModclmod 20955  LSubSpclss 21026  LSpanclspn 21066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-mgp 20213  df-ur 20260  df-ring 20313  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  21075  ellspsni  21096  lspsn  21097  lspsnss2  21100  lsmelval2  21180  lsmpr  21184  lsppr  21188  lspprabs  21190  lspsncmp  21214  lspsnne1  21215  lspsnne2  21216  lspabs3  21219  lspsneq  21220  lspdisj  21223  lspdisj2  21225  lspfixed  21226  lspexchn1  21228  lspindpi  21230  lsmcv  21239  lshpnel  39642  lshpnelb  39643  lshpnel2N  39644  lshpdisj  39646  lsatlss  39655  lsmsat  39667  lsatfixedN  39668  lssats  39671  lsmcv2  39688  lsat0cv  39692  lkrlsp  39761  lkrlsp3  39763  lshpsmreu  39768  lshpkrlem5  39773  dochnel  42052  djhlsmat  42086  dihjat1lem  42087  dvh3dim3N  42108  lclkrlem2b  42167  lclkrlem2f  42171  lclkrlem2p  42181  lcfrvalsnN  42200  lcfrlem23  42224  mapdsn  42300  mapdn0  42328  mapdncol  42329  mapdindp  42330  mapdpglem1  42331  mapdpglem2a  42333  mapdpglem3  42334  mapdpglem6  42337  mapdpglem8  42338  mapdpglem9  42339  mapdpglem12  42342  mapdpglem13  42343  mapdpglem14  42344  mapdpglem17N  42347  mapdpglem18  42348  mapdpglem19  42349  mapdpglem21  42351  mapdpglem23  42353  mapdpglem29  42359  mapdindp0  42378  mapdheq4lem  42390  mapdh6lem1N  42392  mapdh6lem2N  42393  mapdh6dN  42398  lspindp5  42429  hdmaplem3  42432  mapdh9a  42448  hdmap1l6lem1  42466  hdmap1l6lem2  42467  hdmap1l6d  42472  hdmap1eulem  42481  hdmap11lem2  42501  hdmapeq0  42503  hdmaprnlem1N  42508  hdmaprnlem3N  42509  hdmaprnlem3uN  42510  hdmaprnlem4N  42512  hdmaprnlem7N  42514  hdmaprnlem8N  42515  hdmaprnlem9N  42516  hdmaprnlem3eN  42517  hdmaprnlem16N  42521  hdmap14lem9  42535  hgmaprnlem2N  42556  hdmapglem7a  42586