Theorem lspsncl 20967

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 20966). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4717	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 20966	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 599	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  {csn 4555  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  LModclmod 20850  LSubSpclss 20921  LSpanclspn 20961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  20970  ellspsni  20991  lspsn  20992  lspsnss2  20995  lsmelval2  21075  lsmpr  21079  lsppr  21083  lspprabs  21085  lspsncmp  21109  lspsnne1  21110  lspsnne2  21111  lspabs3  21114  lspsneq  21115  lspdisj  21118  lspdisj2  21120  lspfixed  21121  lspexchn1  21123  lspindpi  21125  lsmcv  21134  lshpnel  39475  lshpnelb  39476  lshpnel2N  39477  lshpdisj  39479  lsatlss  39488  lsmsat  39500  lsatfixedN  39501  lssats  39504  lsmcv2  39521  lsat0cv  39525  lkrlsp  39594  lkrlsp3  39596  lshpsmreu  39601  lshpkrlem5  39606  dochnel  41885  djhlsmat  41919  dihjat1lem  41920  dvh3dim3N  41941  lclkrlem2b  42000  lclkrlem2f  42004  lclkrlem2p  42014  lcfrvalsnN  42033  lcfrlem23  42057  mapdsn  42133  mapdn0  42161  mapdncol  42162  mapdindp  42163  mapdpglem1  42164  mapdpglem2a  42166  mapdpglem3  42167  mapdpglem6  42170  mapdpglem8  42171  mapdpglem9  42172  mapdpglem12  42175  mapdpglem13  42176  mapdpglem14  42177  mapdpglem17N  42180  mapdpglem18  42181  mapdpglem19  42182  mapdpglem21  42184  mapdpglem23  42186  mapdpglem29  42192  mapdindp0  42211  mapdheq4lem  42223  mapdh6lem1N  42225  mapdh6lem2N  42226  mapdh6dN  42231  lspindp5  42262  hdmaplem3  42265  mapdh9a  42281  hdmap1l6lem1  42299  hdmap1l6lem2  42300  hdmap1l6d  42305  hdmap1eulem  42314  hdmap11lem2  42334  hdmapeq0  42336  hdmaprnlem1N  42341  hdmaprnlem3N  42342  hdmaprnlem3uN  42343  hdmaprnlem4N  42345  hdmaprnlem7N  42347  hdmaprnlem8N  42348  hdmaprnlem9N  42349  hdmaprnlem3eN  42350  hdmaprnlem16N  42354  hdmap14lem9  42368  hgmaprnlem2N  42389  hdmapglem7a  42419