Theorem lspsncl 20581

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 20580). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4811	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 20580	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 594	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ‘cfv 6541  Basecbs 17141  LModclmod 20464  LSubSpclss 20535  LSpanclspn 20575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-0g 17384  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  20584  lspsneli  20605  lspsn  20606  lspsnss2  20609  lsmelval2  20689  lsmpr  20693  lsppr  20697  lspprabs  20699  lspsncmp  20722  lspsnne1  20723  lspsnne2  20724  lspabs3  20727  lspsneq  20728  lspdisj  20731  lspdisj2  20733  lspfixed  20734  lspexchn1  20736  lspindpi  20738  lsmcv  20747  lshpnel  37842  lshpnelb  37843  lshpnel2N  37844  lshpdisj  37846  lsatlss  37855  lsmsat  37867  lsatfixedN  37868  lssats  37871  lsmcv2  37888  lsat0cv  37892  lkrlsp  37961  lkrlsp3  37963  lshpsmreu  37968  lshpkrlem5  37973  dochnel  40253  djhlsmat  40287  dihjat1lem  40288  dvh3dim3N  40309  lclkrlem2b  40368  lclkrlem2f  40372  lclkrlem2p  40382  lcfrvalsnN  40401  lcfrlem23  40425  mapdsn  40501  mapdn0  40529  mapdncol  40530  mapdindp  40531  mapdpglem1  40532  mapdpglem2a  40534  mapdpglem3  40535  mapdpglem6  40538  mapdpglem8  40539  mapdpglem9  40540  mapdpglem12  40543  mapdpglem13  40544  mapdpglem14  40545  mapdpglem17N  40548  mapdpglem18  40549  mapdpglem19  40550  mapdpglem21  40552  mapdpglem23  40554  mapdpglem29  40560  mapdindp0  40579  mapdheq4lem  40591  mapdh6lem1N  40593  mapdh6lem2N  40594  mapdh6dN  40599  lspindp5  40630  hdmaplem3  40633  mapdh9a  40649  hdmap1l6lem1  40667  hdmap1l6lem2  40668  hdmap1l6d  40673  hdmap1eulem  40682  hdmap11lem2  40702  hdmapeq0  40704  hdmaprnlem1N  40709  hdmaprnlem3N  40710  hdmaprnlem3uN  40711  hdmaprnlem4N  40713  hdmaprnlem7N  40715  hdmaprnlem8N  40716  hdmaprnlem9N  40717  hdmaprnlem3eN  40718  hdmaprnlem16N  40722  hdmap14lem9  40736  hgmaprnlem2N  40757  hdmapglem7a  40787