Theorem hdmapeveclem 39468

Description: Lemma for hdmapevec 39469. TODO: combine with hdmapevec 39469 if it shortens overall. (Contributed by NM, 16-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapevec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapevec.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapevec.j	⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapevec.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapevec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapevec.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapevec.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapevec.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapevec.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapevec.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapevec.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmapevec.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapevec.ne	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝐸})))

Assertion

Ref	Expression
hdmapeveclem	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐸) = (𝐽‘𝐸))

Proof of Theorem hdmapeveclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapevec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapevec.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
3		hdmapevec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hdmapevec.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		hdmapevec.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6		hdmapevec.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		hdmapevec.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
8		hdmapevec.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmapevec.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmapevec.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
11		hdmapevec.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
15	1, 12, 13, 3, 4, 14, 2, 11	dvheveccl 38746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
16	15	eldifad 3856	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
17		hdmapevec.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		hdmapevec.ne	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝐸})))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18	hdmapval2 39466	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐸) = (𝐼‘⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝐸⟩))
20		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
21		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
22		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
23	1, 3, 4, 14, 6, 7, 22, 8, 11, 15	hvmapcl2 39400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ (𝐷 ∖ {(0g‘𝐶)}))
24	23	eldifad 3856	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ 𝐷)
25	1, 3, 4, 14, 5, 6, 20, 21, 8, 11, 15	mapdhvmap 39403	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝐸})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐽‘𝐸)}))
26	1, 3, 11	dvhlmod 38744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
27	4, 5, 26, 17, 18, 16	hdmaplem1 39405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
28	27	necomd 2989	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
29	4, 5, 26, 17, 18, 16, 14	hdmaplem3 39407	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
30		eqidd 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩))
31	1, 3, 4, 14, 5, 6, 7, 20, 21, 9, 11, 24, 25, 28, 15, 29, 30	hdmap1eq2 39439	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝐸⟩) = (𝐽‘𝐸))
32	19, 31	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐸) = (𝐽‘𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3842  {csn 4517  ⟨cop 4523  ⟨cotp 4525   I cid 5429   ↾ cres 5528  ‘cfv 6340  Basecbs 16587  0_gc0g 16817  LSpanclspn 19863  HLchlt 36984  LHypclh 37618  LTrncltrn 37735  DVecHcdvh 38712  LCDualclcd 39220  mapdcmpd 39258  HVMapchvm 39390  HDMap1chdma1 39425  HDMapchdma 39426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693  ax-riotaBAD 36587

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-ot 4526  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-of 7426  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-tpos 7922  df-undef 7969  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-er 8321  df-map 8440  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-4 11782  df-5 11783  df-6 11784  df-n0 11978  df-z 12064  df-uz 12326  df-fz 12983  df-struct 16589  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-ress 16595  df-plusg 16682  df-mulr 16683  df-sca 16685  df-vsca 16686  df-0g 16819  df-mre 16961  df-mrc 16962  df-acs 16964  df-proset 17655  df-poset 17673  df-plt 17685  df-lub 17701  df-glb 17702  df-join 17703  df-meet 17704  df-p0 17766  df-p1 17767  df-lat 17773  df-clat 17835  df-mgm 17969  df-sgrp 18018  df-mnd 18029  df-submnd 18074  df-grp 18223  df-minusg 18224  df-sbg 18225  df-subg 18395  df-cntz 18566  df-oppg 18593  df-lsm 18880  df-cmn 19027  df-abl 19028  df-mgp 19360  df-ur 19372  df-ring 19419  df-oppr 19496  df-dvdsr 19514  df-unit 19515  df-invr 19545  df-dvr 19556  df-drng 19624  df-lmod 19756  df-lss 19824  df-lsp 19864  df-lvec 19995  df-lsatoms 36610  df-lshyp 36611  df-lcv 36653  df-lfl 36692  df-lkr 36720  df-ldual 36758  df-oposet 36810  df-ol 36812  df-oml 36813  df-covers 36900  df-ats 36901  df-atl 36932  df-cvlat 36956  df-hlat 36985  df-llines 37132  df-lplanes 37133  df-lvols 37134  df-lines 37135  df-psubsp 37137  df-pmap 37138  df-padd 37430  df-lhyp 37622  df-laut 37623  df-ldil 37738  df-ltrn 37739  df-trl 37793  df-tgrp 38377  df-tendo 38389  df-edring 38391  df-dveca 38637  df-disoa 38663  df-dvech 38713  df-dib 38773  df-dic 38807  df-dih 38863  df-doch 38982  df-djh 39029  df-lcdual 39221  df-mapd 39259  df-hvmap 39391  df-hdmap1 39427  df-hdmap 39428

This theorem is referenced by:  hdmapevec  39469