Theorem lssneln0 19268

Description: A vector 𝑋 which doesn't belong to a subspace 𝑈 is nonzero. (Contributed by NM, 14-May-2015.) (Revised by AV, 17-Jul-2022.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssneln0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lssneln0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssneln0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssneln0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssneln0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lssneln0.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lssneln0	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem lssneln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssneln0.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		lssneln0.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		lssneln0.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lssneln0.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lssneln0.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6		lssneln0.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
7	2, 3, 4, 5, 6	lssvneln0 19267	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
8		eldifsn 4504	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
9	1, 7, 8	sylanbrc 579	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2969   ∖ cdif 3764  {csn 4366  ‘cfv 6099  0_gc0g 16412  LModclmod 19178  LSubSpclss 19247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-plusg 16277  df-0g 16414  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-lmod 19180  df-lss 19248

This theorem is referenced by:  lspexchn1  19449  baerlem5amN  37729  baerlem5bmN  37730  baerlem5abmN  37731  mapdh6iN  37757  hdmaplem3  37786  mapdh8ad  37792  mapdh8e  37797  mapdh9a  37802  mapdh9aOLDN  37803  hdmap1l6i  37831  hdmap1eulem  37835  hdmap1eulemOLDN  37836  hdmapval3lemN  37850  hdmap10lem  37852  hdmap11lem1  37854  hdmaprnlem3N  37863  hdmap14lem11  37891