Theorem lssneln0 20886

Description: A vector 𝑋 which doesn't belong to a subspace 𝑈 is nonzero. (Contributed by NM, 14-May-2015.) (Revised by AV, 17-Jul-2022.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssneln0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lssneln0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssneln0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssneln0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssneln0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lssneln0.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lssneln0	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem lssneln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssneln0.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		lssneln0.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		lssneln0.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lssneln0.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lssneln0.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6		lssneln0.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
7	2, 3, 4, 5, 6	lssvneln0 20885	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
8		eldifsn 4735	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
9	1, 7, 8	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∖ cdif 3894  {csn 4573  ‘cfv 6481  0_gc0g 17343  LModclmod 20793  LSubSpclss 20864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mgp 20059  df-ur 20100  df-ring 20153  df-lmod 20795  df-lss 20865

This theorem is referenced by:  lspexchn1  21067  baerlem5amN  41763  baerlem5bmN  41764  baerlem5abmN  41765  mapdh6iN  41791  hdmaplem3  41820  mapdh8ad  41826  mapdh8e  41831  mapdh9a  41836  mapdh9aOLDN  41837  hdmap1l6i  41865  hdmap1eulem  41869  hdmap1eulemOLDN  41870  hdmapval3lemN  41884  hdmap10lem  41886  hdmap11lem1  41888  hdmaprnlem3N  41897  hdmap14lem11  41925