Theorem hfstructcan 46030

Description: Two HFStructs are equal if and only if their converted forms are equal. (Contributed by Eric Schmidt, 29-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hfstructcan	⊢ ((𝐹 ∈ HFStruct ∧ 𝐺 ∈ HFStruct) → ((𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) = (𝐺 ∘ (♯ ↾ ω)) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Proof of Theorem hfstructcan

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashomf1o 46013	. . 3 ⊢ (♯ ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
2		f1ofun 6826	. . 3 ⊢ ((♯ ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → Fun (♯ ↾ ω))
3	1, 2	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ HFStruct ∧ 𝐺 ∈ HFStruct) → Fun (♯ ↾ ω))
4		hfstructfun 46025	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → Fun 𝐹)
5		funrel 6556	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → Rel 𝐹)
7	6	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ HFStruct ∧ 𝐺 ∈ HFStruct) → Rel 𝐹)
8		hfstructstruct 46024	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → ∃𝑥 𝐹 Struct 𝑥)
9		dmstructnn 45925	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Struct 𝑥 → dom 𝐹 ⊆ ℕ)
10		nnssnn0 12609	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
11	9, 10	sstrdi 3943	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Struct 𝑥 → dom 𝐹 ⊆ ℕ0)
12		dff1o5 6834	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯ ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ↔ ((♯ ↾ ω):ω–1-1→ℕ0 ∧ ran (♯ ↾ ω) = ℕ0))
13	1, 12	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ ((♯ ↾ ω):ω–1-1→ℕ0 ∧ ran (♯ ↾ ω) = ℕ0)
14	13	simpri 491	. . . . . 6 ⊢ ran (♯ ↾ ω) = ℕ0
15	11, 14	sseqtrrdi 3972	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Struct 𝑥 → dom 𝐹 ⊆ ran (♯ ↾ ω))
16	15	exlimiv 1963	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝐹 Struct 𝑥 → dom 𝐹 ⊆ ran (♯ ↾ ω))
17	8, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ HFStruct → dom 𝐹 ⊆ ran (♯ ↾ ω))
18	17	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ HFStruct ∧ 𝐺 ∈ HFStruct) → dom 𝐹 ⊆ ran (♯ ↾ ω))
19		hfstructfun 46025	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ HFStruct → Fun 𝐺)
20		funrel 6556	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐺 → Rel 𝐺)
21	19, 20	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ HFStruct → Rel 𝐺)
22	21	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ HFStruct ∧ 𝐺 ∈ HFStruct) → Rel 𝐺)
23		hfstructstruct 46024	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ HFStruct → ∃𝑥 𝐺 Struct 𝑥)
24		dmstructnn 45925	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Struct 𝑥 → dom 𝐺 ⊆ ℕ)
25	24, 10	sstrdi 3943	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Struct 𝑥 → dom 𝐺 ⊆ ℕ0)
26	25, 14	sseqtrrdi 3972	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Struct 𝑥 → dom 𝐺 ⊆ ran (♯ ↾ ω))
27	26	exlimiv 1963	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝐺 Struct 𝑥 → dom 𝐺 ⊆ ran (♯ ↾ ω))
28	23, 27	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ HFStruct → dom 𝐺 ⊆ ran (♯ ↾ ω))
29	28	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ HFStruct ∧ 𝐺 ∈ HFStruct) → dom 𝐺 ⊆ ran (♯ ↾ ω))
30	3, 7, 18, 22, 29	cocan2g 45922	1 ⊢ ((𝐹 ∈ HFStruct ∧ 𝐺 ∈ HFStruct) → ((𝐹 ∘ (♯ ↾ ω)) = (𝐺 ∘ (♯ ↾ ω)) ↔ 𝐹 = 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  Rel wrel 5656  Fun wfun 6532  –1-1→wf1 6535  –1-1-onto→wf1o 6537  ωcom 7877  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ♯chash 14474   Struct cstr 17324  HFStructchfstruct 46022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-hash 14475  df-struct 17325  df-hfstruct 46023

This theorem is used by: (None)