Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evth2f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evth2f 40107
Description: A version of evth2 23167 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
evth2f.1 𝑥𝐹
evth2f.2 𝑦𝐹
evth2f.3 𝑥𝑋
evth2f.4 𝑦𝑋
evth2f.5 𝑋 = 𝐽
evth2f.6 𝐾 = (topGen‘ran (,))
evth2f.7 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
evth2f.8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
evth2f.9 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
evth2f (𝜑 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem evth2f
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evth2f.5 . . 3 𝑋 = 𝐽
2 evth2f.6 . . 3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3 evth2f.7 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
4 evth2f.8 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5 evth2f.9 . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
61, 2, 3, 4, 5evth2 23167 . 2 (𝜑 → ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝐹𝑎) ≤ (𝐹𝑏))
7 nfcv 2934 . . . 4 𝑎𝑋
8 evth2f.3 . . . 4 𝑥𝑋
9 evth2f.1 . . . . . . 7 𝑥𝐹
10 nfcv 2934 . . . . . . 7 𝑥𝑎
119, 10nffv 6456 . . . . . 6 𝑥(𝐹𝑎)
12 nfcv 2934 . . . . . 6 𝑥
13 nfcv 2934 . . . . . . 7 𝑥𝑏
149, 13nffv 6456 . . . . . 6 𝑥(𝐹𝑏)
1511, 12, 14nfbr 4933 . . . . 5 𝑥(𝐹𝑎) ≤ (𝐹𝑏)
168, 15nfral 3127 . . . 4 𝑥𝑏𝑋 (𝐹𝑎) ≤ (𝐹𝑏)
17 nfv 1957 . . . 4 𝑎𝑏𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑏)
18 fveq2 6446 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑥 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑥))
1918breq1d 4896 . . . . 5 (𝑎 = 𝑥 → ((𝐹𝑎) ≤ (𝐹𝑏) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑏)))
2019ralbidv 3168 . . . 4 (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑏𝑋 (𝐹𝑎) ≤ (𝐹𝑏) ↔ ∀𝑏𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑏)))
217, 8, 16, 17, 20cbvrexf 3362 . . 3 (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝐹𝑎) ≤ (𝐹𝑏) ↔ ∃𝑥𝑋𝑏𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑏))
22 nfcv 2934 . . . . 5 𝑏𝑋
23 evth2f.4 . . . . 5 𝑦𝑋
24 evth2f.2 . . . . . . 7 𝑦𝐹
25 nfcv 2934 . . . . . . 7 𝑦𝑥
2624, 25nffv 6456 . . . . . 6 𝑦(𝐹𝑥)
27 nfcv 2934 . . . . . 6 𝑦
28 nfcv 2934 . . . . . . 7 𝑦𝑏
2924, 28nffv 6456 . . . . . 6 𝑦(𝐹𝑏)
3026, 27, 29nfbr 4933 . . . . 5 𝑦(𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑏)
31 nfv 1957 . . . . 5 𝑏(𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)
32 fveq2 6446 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑦 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑦))
3332breq2d 4898 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑏) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
3422, 23, 30, 31, 33cbvralf 3361 . . . 4 (∀𝑏𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑏) ↔ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
3534rexbii 3224 . . 3 (∃𝑥𝑋𝑏𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑏) ↔ ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
3621, 35bitri 267 . 2 (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝐹𝑎) ≤ (𝐹𝑏) ↔ ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
376, 36sylib 210 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  wnfc 2919  wne 2969  wral 3090  wrex 3091  c0 4141   cuni 4671   class class class wbr 4886  ran crn 5356  cfv 6135  (class class class)co 6922  cle 10412  (,)cioo 12487  topGenctg 16484   Cn ccn 21436  Compccmp 21598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-cmp 21599  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535
This theorem is referenced by:  stoweidlem29  41173
  Copyright terms: Public domain W3C validator