Theorem evth2f 40107

Description: A version of evth2 23167 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
evth2f.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
evth2f.2	⊢ Ⅎ𝑦𝐹
evth2f.3	⊢ Ⅎ𝑥𝑋
evth2f.4	⊢ Ⅎ𝑦𝑋
evth2f.5	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
evth2f.6	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
evth2f.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
evth2f.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
evth2f.9	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
evth2f	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem evth2f

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evth2f.5	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		evth2f.6	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3		evth2f.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
4		evth2f.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5		evth2f.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
6	1, 2, 3, 4, 5	evth2 23167	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏))
7		nfcv 2934	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎𝑋
8		evth2f.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
9		evth2f.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
10		nfcv 2934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
11	9, 10	nffv 6456	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑎)
12		nfcv 2934	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
13		nfcv 2934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑏
14	9, 13	nffv 6456	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑏)
15	11, 12, 14	nfbr 4933	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏)
16	8, 15	nfral 3127	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏)
17		nfv 1957	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏)
18		fveq2 6446	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑥))
19	18	breq1d 4896	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏)))
20	19	ralbidv 3168	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏)))
21	7, 8, 16, 17, 20	cbvrexf 3362	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏))
22		nfcv 2934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏𝑋
23		evth2f.4	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝑋
24		evth2f.2	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐹
25		nfcv 2934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝑥
26	24, 25	nffv 6456	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑥)
27		nfcv 2934	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
28		nfcv 2934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝑏
29	24, 28	nffv 6456	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑏)
30	26, 27, 29	nfbr 4933	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏)
31		nfv 1957	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)
32		fveq2 6446	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑦))
33	32	breq2d 4898	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
34	22, 23, 30, 31, 33	cbvralf 3361	. . . 4 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))
35	34	rexbii 3224	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))
36	21, 35	bitri 267	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))
37	6, 36	sylib 210	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2919   ≠ wne 2969  ∀wral 3090  ∃wrex 3091  ∅c0 4141  ∪ cuni 4671   class class class wbr 4886  ran crn 5356  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ≤ cle 10412  (,)cioo 12487  topGenctg 16484   Cn ccn 21436  Compccmp 21598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-cmp 21599  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535

This theorem is referenced by:  stoweidlem29  41173