Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evth2f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evth2f 41504
 Description: A version of evth2 23563 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
evth2f.1 𝑥𝐹
evth2f.2 𝑦𝐹
evth2f.3 𝑥𝑋
evth2f.4 𝑦𝑋
evth2f.5 𝑋 = 𝐽
evth2f.6 𝐾 = (topGen‘ran (,))
evth2f.7 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
evth2f.8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
evth2f.9 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
evth2f (𝜑 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem evth2f
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evth2f.5 . . 3 𝑋 = 𝐽
2 evth2f.6 . . 3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3 evth2f.7 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
4 evth2f.8 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5 evth2f.9 . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
61, 2, 3, 4, 5evth2 23563 . 2 (𝜑 → ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝐹𝑎) ≤ (𝐹𝑏))
7 nfcv 2982 . . . 4 𝑎𝑋
8 evth2f.3 . . . 4 𝑥𝑋
9 evth2f.1 . . . . . . 7 𝑥𝐹
10 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑥𝑎
119, 10nffv 6669 . . . . . 6 𝑥(𝐹𝑎)
12 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑥
13 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑥𝑏
149, 13nffv 6669 . . . . . 6 𝑥(𝐹𝑏)
1511, 12, 14nfbr 5100 . . . . 5 𝑥(𝐹𝑎) ≤ (𝐹𝑏)
168, 15nfralw 3220 . . . 4 𝑥𝑏𝑋 (𝐹𝑎) ≤ (𝐹𝑏)
17 nfv 1916 . . . 4 𝑎𝑏𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑏)
18 fveq2 6659 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑥 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑥))
1918breq1d 5063 . . . . 5 (𝑎 = 𝑥 → ((𝐹𝑎) ≤ (𝐹𝑏) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑏)))
2019ralbidv 3192 . . . 4 (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑏𝑋 (𝐹𝑎) ≤ (𝐹𝑏) ↔ ∀𝑏𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑏)))
217, 8, 16, 17, 20cbvrexfw 3423 . . 3 (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝐹𝑎) ≤ (𝐹𝑏) ↔ ∃𝑥𝑋𝑏𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑏))
22 nfcv 2982 . . . . 5 𝑏𝑋
23 evth2f.4 . . . . 5 𝑦𝑋
24 evth2f.2 . . . . . . 7 𝑦𝐹
25 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑦𝑥
2624, 25nffv 6669 . . . . . 6 𝑦(𝐹𝑥)
27 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑦
28 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑦𝑏
2924, 28nffv 6669 . . . . . 6 𝑦(𝐹𝑏)
3026, 27, 29nfbr 5100 . . . . 5 𝑦(𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑏)
31 nfv 1916 . . . . 5 𝑏(𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)
32 fveq2 6659 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑦 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑦))
3332breq2d 5065 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑏) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
3422, 23, 30, 31, 33cbvralfw 3421 . . . 4 (∀𝑏𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑏) ↔ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
3534rexbii 3242 . . 3 (∃𝑥𝑋𝑏𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑏) ↔ ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
3621, 35bitri 278 . 2 (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝐹𝑎) ≤ (𝐹𝑏) ↔ ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
376, 36sylib 221 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Ⅎwnfc 2962   ≠ wne 3014  ∀wral 3133  ∃wrex 3134  ∅c0 4276  ∪ cuni 4825   class class class wbr 5053  ran crn 5544  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146   ≤ cle 10670  (,)cioo 12733  topGenctg 16709   Cn ccn 21827  Compccmp 21989 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-mulf 10611 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8827  df-fi 8868  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-starv 16578  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-ip 16581  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-unif 16586  df-hom 16587  df-cco 16588  df-rest 16694  df-topn 16695  df-0g 16713  df-gsum 16714  df-topgen 16715  df-pt 16716  df-prds 16719  df-xrs 16773  df-qtop 16778  df-imas 16779  df-xps 16781  df-mre 16855  df-mrc 16856  df-acs 16858  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-submnd 17955  df-mulg 18223  df-cntz 18445  df-cmn 18906  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-cnfld 20541  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-cmp 21990  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927 This theorem is referenced by:  stoweidlem29  42537
 Copyright terms: Public domain W3C validator