Theorem evth2f 44408

Description: A version of evth2 24906 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
evth2f.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
evth2f.2	⊢ Ⅎ𝑦𝐹
evth2f.3	⊢ Ⅎ𝑥𝑋
evth2f.4	⊢ Ⅎ𝑦𝑋
evth2f.5	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
evth2f.6	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
evth2f.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
evth2f.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
evth2f.9	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
evth2f	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem evth2f

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evth2f.5	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		evth2f.6	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3		evth2f.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
4		evth2f.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5		evth2f.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
6	1, 2, 3, 4, 5	evth2 24906	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏))
7		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎𝑋
8		evth2f.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
9		evth2f.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
10		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
11	9, 10	nffv 6912	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑎)
12		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
13		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑏
14	9, 13	nffv 6912	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑏)
15	11, 12, 14	nfbr 5199	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏)
16	8, 15	nfralw 3306	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏)
17		nfv 1909	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏)
18		fveq2 6902	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑥))
19	18	breq1d 5162	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏)))
20	19	ralbidv 3175	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏)))
21	7, 8, 16, 17, 20	cbvrexfw 3300	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏))
22		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏𝑋
23		evth2f.4	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝑋
24		evth2f.2	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐹
25		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝑥
26	24, 25	nffv 6912	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑥)
27		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
28		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝑏
29	24, 28	nffv 6912	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑏)
30	26, 27, 29	nfbr 5199	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏)
31		nfv 1909	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)
32		fveq2 6902	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑦))
33	32	breq2d 5164	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
34	22, 23, 30, 31, 33	cbvralfw 3299	. . . 4 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))
35	34	rexbii 3091	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))
36	21, 35	bitri 274	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))
37	6, 36	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2879   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  ∅c0 4326  ∪ cuni 4912   class class class wbr 5152  ran crn 5683  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ≤ cle 11287  (,)cioo 13364  topGenctg 17426   Cn ccn 23148  Compccmp 23310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-cmp 23311  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248

This theorem is referenced by:  stoweidlem29  45446