Theorem idomrcan 33611

Description: Right-cancellation law for integral domains. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.) (Proof shortened by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomrcan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
idomrcan.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
idomrcan.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
idomrcan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
idomrcan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
idomrcan.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
idomrcan.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
idomrcan.1	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
idomrcan	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem idomrcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idomrcan.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		idomrcan.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		idomrcan.m	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		idomrcan.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		idomrcan.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		idomrcan.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
7		idomrcan.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
8	7	idomdomd 20833	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
9		idomrcan.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9	domnrcan 20830	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3902  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17273  ._rcmulr 17315  0_gc0g 17496  IDomncidom 20801

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-0g 17498  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-oppr 20424  df-nzr 20619  df-domn 20803  df-idom 20804

This theorem is used by:  fracfld  33638  dvdsruasso  33707  mxidlirredi  33763  rprmirredlem  33829  1arithidomlem1  33834  1arithufdlem3  33845