Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idomrcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idomrcan 33262
Description: Right-cancellation law for integral domains. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.) (Proof shortened by SN, 21-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
idomrcan.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
idomrcan.0 0 = (0g𝑅)
idomrcan.m · = (.r𝑅)
idomrcan.x (𝜑𝑋𝐵)
idomrcan.y (𝜑𝑌𝐵)
idomrcan.z (𝜑𝑍 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
idomrcan.r (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
idomrcan.1 (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
Assertion
Ref Expression
idomrcan (𝜑𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem idomrcan
StepHypRef Expression
1 idomrcan.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 idomrcan.0 . 2 0 = (0g𝑅)
3 idomrcan.m . 2 · = (.r𝑅)
4 idomrcan.x . 2 (𝜑𝑋𝐵)
5 idomrcan.y . 2 (𝜑𝑌𝐵)
6 idomrcan.z . 2 (𝜑𝑍 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
7 idomrcan.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
87idomdomd 20742 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
9 idomrcan.1 . 2 (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9domnrcan 20739 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2105  cdif 3959  {csn 4630  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  .rcmulr 17298  0gc0g 17485  IDomncidom 20709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-oppr 20350  df-nzr 20529  df-domn 20711  df-idom 20712
This theorem is referenced by:  fracfld  33289  dvdsruasso  33392  mxidlirredi  33478  rprmirredlem  33537  1arithidomlem1  33542  1arithufdlem3  33553
  Copyright terms: Public domain W3C validator