Theorem idomrcan 32372

Description: Right-cancellation law for integral domains. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domncan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domncan.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domncan.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
domncan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
domncan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
domncan.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
domnrcan.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
domnrcan.2	⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
idomrcan	⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑍)

Proof of Theorem idomrcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domncan.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		domncan.1	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		domncan.m	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		domncan.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
5		domncan.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		domncan.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		domnrcan.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
8	7	idomdomd 32369	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
9		domnrcan.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑋))
10		df-idom 20900	. . . . . 6 ⊢ IDomn = (CRing ∩ Domn)
11	7, 10	eleqtrdi 2843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn))
12	11	elin1d 4198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	4	eldifad 3960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	1, 3	crngcom 20073	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
15	12, 13, 5, 14	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
16	1, 3	crngcom 20073	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) = (𝑍 · 𝑋))
17	12, 13, 6, 16	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) = (𝑍 · 𝑋))
18	9, 15, 17	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 18	domnlcan 32371	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3945   ∩ cin 3947  {csn 4628  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17384  CRingccrg 20056  Domncdomn 20895  IDomncidom 20896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-cmn 19649  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-nzr 20291  df-domn 20899  df-idom 20900

This theorem is referenced by:  dvdsruasso  32485  mxidlirredi  32582