Theorem sraidom 33549

Description: Condition for a subring algebra to be an integral domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sraidom.1	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
sraidom.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
sraidom.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
sraidom.4	⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sraidom	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ IDomn)

Proof of Theorem sraidom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sraidom.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2		eqidd 2730	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
3		sraidom.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉))
5		sraidom.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝐵)
6		sraidom.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7	5, 6	sseqtrdi 3976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
8	4, 7	srabase 21081	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
9	4, 7	sraaddg 21082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐴))
10	9	oveqdr 7377	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
11	4, 7	sramulr 21083	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐴))
12	11	oveqdr 7377	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
13	2, 8, 10, 12	idompropd 33217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ IDomn ↔ 𝐴 ∈ IDomn))
14	1, 13	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ IDomn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6482  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  IDomncidom 20578  subringAlg csra 21075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-cmn 19661  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-nzr 20398  df-domn 20580  df-idom 20581  df-sra 21077

This theorem is referenced by:  fldextrspunfld  33643