MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crngpropd 20184
Description: If two structures have the same group components (properties), one is a commutative ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
ringpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
ringpropd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
ringpropd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
crngpropd (𝜑 → (𝐾 ∈ CRing ↔ 𝐿 ∈ CRing))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem crngpropd
StepHypRef Expression
1 ringpropd.1 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
2 ringpropd.2 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
3 ringpropd.3 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
4 ringpropd.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
51, 2, 3, 4ringpropd 20183 . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6 eqid 2724 . . . . . 6 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
7 eqid 2724 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
86, 7mgpbas 20041 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
91, 8eqtrdi 2780 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
10 eqid 2724 . . . . . 6 (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
11 eqid 2724 . . . . . 6 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
1210, 11mgpbas 20041 . . . . 5 (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
132, 12eqtrdi 2780 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
14 eqid 2724 . . . . . . 7 (.r𝐾) = (.r𝐾)
156, 14mgpplusg 20039 . . . . . 6 (.r𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
1615oveqi 7415 . . . . 5 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
17 eqid 2724 . . . . . . 7 (.r𝐿) = (.r𝐿)
1810, 17mgpplusg 20039 . . . . . 6 (.r𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
1918oveqi 7415 . . . . 5 (𝑥(.r𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
204, 16, 193eqtr3g 2787 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
219, 13, 20cmnpropd 19707 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd ↔ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd))
225, 21anbi12d 630 . 2 (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd)))
236iscrng 20141 . 2 (𝐾 ∈ CRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd))
2410iscrng 20141 . 2 (𝐿 ∈ CRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd))
2522, 23, 243bitr4g 314 1 (𝜑 → (𝐾 ∈ CRing ↔ 𝐿 ∈ CRing))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  CMndccmn 19696  mulGrpcmgp 20035  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-cmn 19698  df-mgp 20036  df-ring 20136  df-cring 20137
This theorem is referenced by:  fldpropd  20621  zncrng  21428  opsrcrng  21951
  Copyright terms: Public domain W3C validator