Theorem crngpropd 19329

Description: If two structures have the same group components (properties), one is a commutative ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
ringpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
ringpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
ringpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
crngpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ CRing ↔ 𝐿 ∈ CRing))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem crngpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		ringpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		ringpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		ringpropd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	ringpropd 19328	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
7		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8	6, 7	mgpbas 19238	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
9	1, 8	eqtrdi 2849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
10		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
11		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
12	10, 11	mgpbas 19238	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
13	2, 12	eqtrdi 2849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
14		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
15	6, 14	mgpplusg 19236	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
16	15	oveqi 7148	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
17		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
18	10, 17	mgpplusg 19236	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
19	18	oveqi 7148	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
20	4, 16, 19	3eqtr3g 2856	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
21	9, 13, 20	cmnpropd 18908	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd ↔ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd))
22	5, 21	anbi12d 633	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd)))
23	6	iscrng 19297	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ CRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd))
24	10	iscrng 19297	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ CRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd))
25	22, 23, 24	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ CRing ↔ 𝐿 ∈ CRing))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  ._rcmulr 16558  CMndccmn 18898  mulGrpcmgp 19232  Ringcrg 19290  CRingccrg 19291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-cmn 18900  df-mgp 19233  df-ring 19292  df-cring 19293

This theorem is referenced by:  fldpropd  19523  zncrng  20236  opsrcrng  20727