Theorem crngpropd 20102

Description: If two structures have the same group components (properties), one is a commutative ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
ringpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
ringpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
ringpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
crngpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ CRing ↔ 𝐿 ∈ CRing))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem crngpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		ringpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		ringpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		ringpropd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	ringpropd 20101	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
7		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8	6, 7	mgpbas 19992	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
9	1, 8	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
10		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
11		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
12	10, 11	mgpbas 19992	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
13	2, 12	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
14		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
15	6, 14	mgpplusg 19990	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
16	15	oveqi 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
17		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
18	10, 17	mgpplusg 19990	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
19	18	oveqi 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
20	4, 16, 19	3eqtr3g 2795	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
21	9, 13, 20	cmnpropd 19658	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd ↔ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd))
22	5, 21	anbi12d 631	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd)))
23	6	iscrng 20062	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ CRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd))
24	10	iscrng 20062	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ CRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd))
25	22, 23, 24	3bitr4g 313	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ CRing ↔ 𝐿 ∈ CRing))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  CMndccmn 19647  mulGrpcmgp 19986  Ringcrg 20055  CRingccrg 20056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-cmn 19649  df-mgp 19987  df-ring 20057  df-cring 20058

This theorem is referenced by:  fldpropd  20394  zncrng  21099  opsrcrng  21619