Theorem crngpropd 20192

Description: If two structures have the same group components (properties), one is a commutative ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
ringpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
ringpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
ringpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
crngpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ CRing ↔ 𝐿 ∈ CRing))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem crngpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		ringpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		ringpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		ringpropd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	ringpropd 20191	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
7		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8	6, 7	mgpbas 20048	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
9	1, 8	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
10		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
11		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
12	10, 11	mgpbas 20048	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
13	2, 12	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
14		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
15	6, 14	mgpplusg 20047	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
16	15	oveqi 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
17		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
18	10, 17	mgpplusg 20047	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
19	18	oveqi 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
20	4, 16, 19	3eqtr3g 2787	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
21	9, 13, 20	cmnpropd 19688	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd ↔ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd))
22	5, 21	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd)))
23	6	iscrng 20143	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ CRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd))
24	10	iscrng 20143	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ CRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd))
25	22, 23, 24	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ CRing ↔ 𝐿 ∈ CRing))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  CMndccmn 19677  mulGrpcmgp 20043  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-cmn 19679  df-mgp 20044  df-ring 20138  df-cring 20139

This theorem is referenced by:  fldpropd  20673  zncrng  21469  opsrcrng  21982  idompropd  33230