MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crngpropd 20005
Description: If two structures have the same group components (properties), one is a commutative ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
ringpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
ringpropd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
ringpropd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
crngpropd (𝜑 → (𝐾 ∈ CRing ↔ 𝐿 ∈ CRing))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem crngpropd
StepHypRef Expression
1 ringpropd.1 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
2 ringpropd.2 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
3 ringpropd.3 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
4 ringpropd.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
51, 2, 3, 4ringpropd 20004 . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6 eqid 2736 . . . . . 6 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
7 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
86, 7mgpbas 19900 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
91, 8eqtrdi 2792 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
10 eqid 2736 . . . . . 6 (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
11 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
1210, 11mgpbas 19900 . . . . 5 (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
132, 12eqtrdi 2792 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
14 eqid 2736 . . . . . . 7 (.r𝐾) = (.r𝐾)
156, 14mgpplusg 19898 . . . . . 6 (.r𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
1615oveqi 7369 . . . . 5 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
17 eqid 2736 . . . . . . 7 (.r𝐿) = (.r𝐿)
1810, 17mgpplusg 19898 . . . . . 6 (.r𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
1918oveqi 7369 . . . . 5 (𝑥(.r𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
204, 16, 193eqtr3g 2799 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
219, 13, 20cmnpropd 19571 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd ↔ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd))
225, 21anbi12d 631 . 2 (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd)))
236iscrng 19969 . 2 (𝐾 ∈ CRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd))
2410iscrng 19969 . 2 (𝐿 ∈ CRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd))
2522, 23, 243bitr4g 313 1 (𝜑 → (𝐾 ∈ CRing ↔ 𝐿 ∈ CRing))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7356  Basecbs 17082  +gcplusg 17132  .rcmulr 17133  CMndccmn 19560  mulGrpcmgp 19894  Ringcrg 19962  CRingccrg 19963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-plusg 17145  df-0g 17322  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-grp 18750  df-cmn 19562  df-mgp 19895  df-ring 19964  df-cring 19965
This theorem is referenced by:  fldpropd  20215  zncrng  20949  opsrcrng  21464
  Copyright terms: Public domain W3C validator