Theorem incssnn0 42706

Description: Transitivity induction of subsets, lemma for nacsfix 42707. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
incssnn0	⊢ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem incssnn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝐴))
2	1	sseq2d 3982	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
3	2	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴))))
4		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
5	4	sseq2d 3982	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏)))
6	5	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏))))
7		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘(𝑏 + 1)))
8	7	sseq2d 3982	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
9	8	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
10		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝐵))
11	10	sseq2d 3982	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
12	11	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))))
13		ssid 3972	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)
14	13	2a1i 12	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
15		eluznn0 12883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
16	15	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℕ0)
17		fveq2 6861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑏))
18		fvoveq1 7413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) = (𝐹‘(𝑏 + 1)))
19	17, 18	sseq12d 3983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
20	19	rspcv 3587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
21	16, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
22	21	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
23	22	ancomsd 465	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
24		sstr2 3956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏) → ((𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
25	24	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
26	23, 25	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
27	26	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏)) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
28	3, 6, 9, 12, 14, 27	uzind4 12872	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
29	28	com12 32	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
30	29	3impia 1117	1 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  1c1 11076   + caddc 11078  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801

This theorem is referenced by:  nacsfix  42707