Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incssnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incssnn0 41434
Description: Transitivity induction of subsets, lemma for nacsfix 41435. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
incssnn0 ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵))
Distinct variable group:   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem incssnn0
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝐴))
21sseq2d 4013 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑎) ↔ (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴)))
32imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴))))
4 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
54sseq2d 4013 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑎) ↔ (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑏)))
65imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑏))))
7 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐹𝑎) = (𝐹‘(𝑏 + 1)))
87sseq2d 4013 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑎) ↔ (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
98imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
10 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐵 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝐵))
1110sseq2d 4013 . . . . 5 (𝑎 = 𝐵 → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑎) ↔ (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵)))
1211imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = 𝐵 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵))))
13 ssid 4003 . . . . 5 (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴)
14132a1i 12 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴)))
15 eluznn0 12897 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
1615ancoms 459 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℕ0)
17 fveq2 6888 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑏 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑏))
18 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑏 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) = (𝐹‘(𝑏 + 1)))
1917, 18sseq12d 4014 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → ((𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ↔ (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
2019rspcv 3608 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
2116, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
2221expimpd 454 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
2322ancomsd 466 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (ℤ𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
24 sstr2 3988 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
2524com12 32 . . . . . 6 ((𝐹𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)) → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑏) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
2623, 25syl6 35 . . . . 5 (𝑏 ∈ (ℤ𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑏) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
2726a2d 29 . . . 4 (𝑏 ∈ (ℤ𝐴) → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑏)) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
283, 6, 9, 12, 14, 27uzind4 12886 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵)))
2928com12 32 . 2 ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵)))
30293impia 1117 1 ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wss 3947  cfv 6540  (class class class)co 7405  1c1 11107   + caddc 11109  0cn0 12468  cz 12554  cuz 12818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819
This theorem is referenced by:  nacsfix  41435
  Copyright terms: Public domain W3C validator