Theorem incssnn0 43815

Description: Transitivity induction of subsets, lemma for nacsfix 43816. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
incssnn0	⊢ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem incssnn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝐴))
2	1	sseq2d 3940	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
3	2	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴))))
4		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
5	4	sseq2d 3940	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏)))
6	5	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏))))
7		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘(𝑏 + 1)))
8	7	sseq2d 3940	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
9	8	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
10		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝐵))
11	10	sseq2d 3940	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
12	11	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))))
13		ssid 3930	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)
14	13	2a1i 12	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
15		eluznn0 13047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
16	15	ancoms 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℕ0)
17		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑏))
18		fvoveq1 7443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) = (𝐹‘(𝑏 + 1)))
19	17, 18	sseq12d 3941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
20	19	rspcv 3572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
21	16, 20	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
22	21	expimpd 459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
23	22	ancomsd 471	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
24		sstr2 3915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏) → ((𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
25	24	com12 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
26	23, 25	syl6 36	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
27	26	a2d 30	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏)) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
28	3, 6, 9, 12, 14, 27	uzind4 13036	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
29	28	com12 33	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
30	29	3impia 1135	1 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11204   + caddc 11206  ℕ₀cn0 12609  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969

This theorem is used by:  nacsfix  43816