Theorem incssnn0 40449

Description: Transitivity induction of subsets, lemma for nacsfix 40450. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
incssnn0	⊢ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem incssnn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝐴))
2	1	sseq2d 3949	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
3	2	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴))))
4		fveq2 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
5	4	sseq2d 3949	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏)))
6	5	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏))))
7		fveq2 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘(𝑏 + 1)))
8	7	sseq2d 3949	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
9	8	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
10		fveq2 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝐵))
11	10	sseq2d 3949	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
12	11	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))))
13		ssid 3939	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)
14	13	2a1i 12	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
15		eluznn0 12586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
16	15	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℕ0)
17		fveq2 6756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑏))
18		fvoveq1 7278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) = (𝐹‘(𝑏 + 1)))
19	17, 18	sseq12d 3950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
20	19	rspcv 3547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
21	16, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
22	21	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
23	22	ancomsd 465	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
24		sstr2 3924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏) → ((𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
25	24	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
26	23, 25	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
27	26	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏)) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
28	3, 6, 9, 12, 14, 27	uzind4 12575	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
29	28	com12 32	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
30	29	3impia 1115	1 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512

This theorem is referenced by:  nacsfix  40450