Theorem incssnn0 43157

Description: Transitivity induction of subsets, lemma for nacsfix 43158. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
incssnn0	⊢ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem incssnn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝐴))
2	1	sseq2d 3955	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
3	2	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴))))
4		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
5	4	sseq2d 3955	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏)))
6	5	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏))))
7		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘(𝑏 + 1)))
8	7	sseq2d 3955	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
9	8	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
10		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝐵))
11	10	sseq2d 3955	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
12	11	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))))
13		ssid 3945	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)
14	13	2a1i 12	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
15		eluznn0 12858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
16	15	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℕ0)
17		fveq2 6834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑏))
18		fvoveq1 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) = (𝐹‘(𝑏 + 1)))
19	17, 18	sseq12d 3956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
20	19	rspcv 3561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
21	16, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
22	21	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
23	22	ancomsd 465	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
24		sstr2 3929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏) → ((𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
25	24	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
26	23, 25	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
27	26	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏)) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
28	3, 6, 9, 12, 14, 27	uzind4 12847	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
29	28	com12 32	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
30	29	3impia 1118	1 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1c1 11030   + caddc 11032  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780

This theorem is referenced by:  nacsfix  43158