Theorem incssnn0 43675

Description: Transitivity induction of subsets, lemma for nacsfix 43676. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
incssnn0	⊢ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem incssnn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝐴))
2	1	sseq2d 3963	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
3	2	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴))))
4		fveq2 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
5	4	sseq2d 3963	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏)))
6	5	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏))))
7		fveq2 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘(𝑏 + 1)))
8	7	sseq2d 3963	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
9	8	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
10		fveq2 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝐵))
11	10	sseq2d 3963	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
12	11	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))))
13		ssid 3953	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)
14	13	2a1i 12	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐴)))
15		eluznn0 13025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
16	15	ancoms 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℕ0)
17		fveq2 6877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑏))
18		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) = (𝐹‘(𝑏 + 1)))
19	17, 18	sseq12d 3964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
20	19	rspcv 3573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
21	16, 20	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
22	21	expimpd 459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
23	22	ancomsd 471	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
24		sstr2 3938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏) → ((𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
25	24	com12 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
26	23, 25	syl6 36	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
27	26	a2d 30	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝑏)) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
28	3, 6, 9, 12, 14, 27	uzind4 13014	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
29	28	com12 33	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵)))
30	29	3impia 1135	1 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  1c1 11182   + caddc 11184  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947

This theorem is used by:  nacsfix  43676