Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incssnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incssnn0 37884
Description: Transitivity induction of subsets, lemma for nacsfix 37885. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
incssnn0 ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵))
Distinct variable group:   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem incssnn0
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6374 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝐴))
21sseq2d 3792 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑎) ↔ (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴)))
32imbi2d 331 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴))))
4 fveq2 6374 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
54sseq2d 3792 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑎) ↔ (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑏)))
65imbi2d 331 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑏))))
7 fveq2 6374 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐹𝑎) = (𝐹‘(𝑏 + 1)))
87sseq2d 3792 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑎) ↔ (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
98imbi2d 331 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
10 fveq2 6374 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐵 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝐵))
1110sseq2d 3792 . . . . 5 (𝑎 = 𝐵 → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑎) ↔ (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵)))
1211imbi2d 331 . . . 4 (𝑎 = 𝐵 → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑎)) ↔ ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵))))
13 ssid 3782 . . . . 5 (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴)
14132a1i 12 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴)))
15 eluznn0 11957 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
1615ancoms 450 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℕ0)
17 fveq2 6374 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑏 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑏))
18 fvoveq1 6864 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑏 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) = (𝐹‘(𝑏 + 1)))
1917, 18sseq12d 3793 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → ((𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ↔ (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
2019rspcv 3456 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
2116, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
2221expimpd 445 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
2322ancomsd 457 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (ℤ𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
24 sstr2 3767 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
2524com12 32 . . . . . 6 ((𝐹𝑏) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)) → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑏) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1))))
2623, 25syl6 35 . . . . 5 (𝑏 ∈ (ℤ𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑏) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
2726a2d 29 . . . 4 (𝑏 ∈ (ℤ𝐴) → (((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝑏)) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘(𝑏 + 1)))))
283, 6, 9, 12, 14, 27uzind4 11945 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵)))
2928com12 32 . 2 ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵)))
30293impia 1145 1 ((∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3054  wss 3731  cfv 6067  (class class class)co 6841  1c1 10189   + caddc 10191  0cn0 11537  cz 11623  cuz 11885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-n0 11538  df-z 11624  df-uz 11886
This theorem is referenced by:  nacsfix  37885
  Copyright terms: Public domain W3C validator