Theorem eluznn0 12818

Description: Membership in a nonnegative upper set of integers implies membership in ℕ₀. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn0	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem eluznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12777	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2	1	uztrn2 12754	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  0cc0 11009  ℕ₀cn0 12384  ℤ_≥cuz 12735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736

This theorem is referenced by:  elfz2nn0  13521  uzsubfz0  13539  leexp2r  14081  fi1uzind  14414  swrdlen2  14567  swrdfv2  14568  pfxccatpfx2  14643  geoserg  15773  geolim2  15778  geomulcvg  15783  mertenslem1  15791  mertenslem2  15792  mertens  15793  efcllem  15984  eftlcl  16016  reeftlcl  16017  eftlub  16018  efsep  16019  ruclem9  16147  smuval2  16393  smupvallem  16394  algfx  16491  eucalgcvga  16497  pcfaclem  16810  prmunb  16826  vdwlem7  16899  vdwlem10  16902  ramtlecl  16912  cpnord  25835  plyco0  26095  radcnvlem1  26320  abelthlem5  26343  abelthlem7  26346  log2tlbnd  26853  ftalem4  26984  ftalem5  26985  bcmono  27186  sseqp1  34363  subfaclim  35165  knoppndvlem6  36495  geomcau  37743  incssnn0  42688  jm2.27c  42984  iunrelexpuztr  43696  radcnvrat  44291  binomcxplemnn0  44326  stoweidlem7  45992  dignnld  48592