MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluznn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluznn0 12310
Description: Membership in a nonnegative upper set of integers implies membership in 0. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
eluznn0 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem eluznn0
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12273 . 2 0 = (ℤ‘0)
21uztrn2 12255 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  cfv 6343  0cc0 10529  0cn0 11890  cuz 12236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237
This theorem is referenced by:  elfz2nn0  12998  uzsubfz0  13015  leexp2r  13539  fi1uzind  13856  swrdlen2  14018  swrdfv2  14019  pfxccatpfx2  14095  geoserg  15217  geolim2  15223  geomulcvg  15228  mertenslem1  15236  mertenslem2  15237  mertens  15238  efcllem  15427  eftlcl  15456  reeftlcl  15457  eftlub  15458  efsep  15459  ruclem9  15587  smuval2  15825  smupvallem  15826  algfx  15918  eucalgcvga  15924  pcfaclem  16228  prmunb  16244  vdwlem7  16317  vdwlem10  16320  ramtlecl  16330  cpnord  24534  plyco0  24785  radcnvlem1  25004  abelthlem5  25026  abelthlem7  25029  log2tlbnd  25527  ftalem4  25657  ftalem5  25658  bcmono  25857  sseqp1  31678  subfaclim  32460  knoppndvlem6  33881  geomcau  35107  incssnn0  39505  jm2.27c  39801  iunrelexpuztr  40273  radcnvrat  40875  binomcxplemnn0  40910  stoweidlem7  42512  dignnld  44879
  Copyright terms: Public domain W3C validator