MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluznn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluznn0 12905
Description: Membership in a nonnegative upper set of integers implies membership in 0. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
eluznn0 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem eluznn0
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12868 . 2 0 = (ℤ‘0)
21uztrn2 12845 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2104  cfv 6542  0cc0 11112  0cn0 12476  cuz 12826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827
This theorem is referenced by:  elfz2nn0  13596  uzsubfz0  13613  leexp2r  14143  fi1uzind  14462  swrdlen2  14614  swrdfv2  14615  pfxccatpfx2  14691  geoserg  15816  geolim2  15821  geomulcvg  15826  mertenslem1  15834  mertenslem2  15835  mertens  15836  efcllem  16025  eftlcl  16054  reeftlcl  16055  eftlub  16056  efsep  16057  ruclem9  16185  smuval2  16427  smupvallem  16428  algfx  16521  eucalgcvga  16527  pcfaclem  16835  prmunb  16851  vdwlem7  16924  vdwlem10  16927  ramtlecl  16937  cpnord  25685  plyco0  25941  radcnvlem1  26161  abelthlem5  26183  abelthlem7  26186  log2tlbnd  26686  ftalem4  26816  ftalem5  26817  bcmono  27016  sseqp1  33692  subfaclim  34477  knoppndvlem6  35696  geomcau  36930  incssnn0  41751  jm2.27c  42048  iunrelexpuztr  42772  radcnvrat  43375  binomcxplemnn0  43410  stoweidlem7  45021  dignnld  47376
  Copyright terms: Public domain W3C validator