Theorem infdesc 43492

Description: Infinite descent. The hypotheses say that 𝑆 is lower bounded, and that if 𝜓 holds for an integer in 𝑆, it holds for a smaller integer in 𝑆. By infinite descent, eventually we cannot go any smaller, therefore 𝜓 holds for no integer in 𝑆. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
infdesc.x	⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜓 ↔ 𝜒))
infdesc.z	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))
infdesc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
infdesc.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝜒)) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ 𝑧 < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
infdesc	⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} = ∅)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑧   𝜓,𝑥,𝑧   𝜒,𝑦   𝜃,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑥, 𝑧)   𝜃(𝑥, 𝑧)   𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem infdesc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2956	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} = ∅)
2		ssrab2 4028	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ⊆ 𝑆
3		infdesc.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	sstrid 3942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
5		uzwo 12963	. . . . 5 ⊢ (({𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
6	4, 5	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
7		infdesc.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜓 ↔ 𝜒))
8	7	elrab 3645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝜒))
9		infdesc.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝜒)) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ 𝑧 < 𝑥))
10		uzssre 12912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
11	3, 10	sstrdi 3943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
12	11	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ ℝ)
13	12	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ ℝ)
14	11	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	13, 15	ltnled 11384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧))
17	16	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝜃 ∧ 𝑧 < 𝑥) ↔ (𝜃 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧)))
18	17	rexbidva 3184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ 𝑧 < 𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧)))
19	18	adantrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝜒)) → (∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ 𝑧 < 𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧)))
20	9, 19	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝜒)) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧))
21	8, 20	sylan2b 606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧))
22		infdesc.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))
23	22	rexrab 3654	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧))
24	21, 23	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}) → ∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ 𝑥 ≤ 𝑧)
25	24	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ 𝑥 ≤ 𝑧)
26		rexnal 3114	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
27	26	ralbii 3108	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
28		ralnex 3088	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
29	27, 28	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
30	25, 29	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ≠ ∅) → ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
32	6, 31	pm2.21dd 198	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ≠ ∅) → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} = ∅)
33	1, 32	sylan2br 607	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} = ∅) → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} = ∅)
34	33	pm2.18da 812	1 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  ℝcr 11126   < clt 11270   ≤ cle 11271  ℤ_≥cuz 12890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891

This theorem is used by:  nna4b4nsq  43509