Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infdesc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infdesc 40216
Description: Infinite descent. The hypotheses say that 𝑆 is lower bounded, and that if 𝜓 holds for an integer in 𝑆, it holds for a smaller integer in 𝑆. By infinite descent, eventually we cannot go any smaller, therefore 𝜓 holds for no integer in 𝑆. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
infdesc.x (𝑦 = 𝑥 → (𝜓𝜒))
infdesc.z (𝑦 = 𝑧 → (𝜓𝜃))
infdesc.s (𝜑𝑆 ⊆ (ℤ𝑀))
infdesc.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝜒)) → ∃𝑧𝑆 (𝜃𝑧 < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
infdesc (𝜑 → {𝑦𝑆𝜓} = ∅)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑧   𝜓,𝑥,𝑧   𝜒,𝑦   𝜃,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑥,𝑧)   𝜃(𝑥,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem infdesc
StepHypRef Expression
1 df-ne 2942 . . 3 ({𝑦𝑆𝜓} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝑦𝑆𝜓} = ∅)
2 ssrab2 4008 . . . . . 6 {𝑦𝑆𝜓} ⊆ 𝑆
3 infdesc.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (ℤ𝑀))
42, 3sstrid 3927 . . . . 5 (𝜑 → {𝑦𝑆𝜓} ⊆ (ℤ𝑀))
5 uzwo 12532 . . . . 5 (({𝑦𝑆𝜓} ⊆ (ℤ𝑀) ∧ {𝑦𝑆𝜓} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
64, 5sylan 583 . . . 4 ((𝜑 ∧ {𝑦𝑆𝜓} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
7 infdesc.x . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝜓𝜒))
87elrab 3615 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ↔ (𝑥𝑆𝜒))
9 infdesc.1 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝜒)) → ∃𝑧𝑆 (𝜃𝑧 < 𝑥))
10 uzssre 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
113, 10sstrdi 3928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
1211adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑆 ⊆ ℝ)
1312sselda 3916 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ℝ)
1411sselda 3916 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
1514adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
1613, 15ltnled 11004 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑧))
1716anbi2d 632 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝜃𝑧 < 𝑥) ↔ (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧)))
1817rexbidva 3223 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → (∃𝑧𝑆 (𝜃𝑧 < 𝑥) ↔ ∃𝑧𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧)))
1918adantrr 717 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝜒)) → (∃𝑧𝑆 (𝜃𝑧 < 𝑥) ↔ ∃𝑧𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧)))
209, 19mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝜒)) → ∃𝑧𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧))
218, 20sylan2b 597 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}) → ∃𝑧𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧))
22 infdesc.z . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (𝜓𝜃))
2322rexrab 3624 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧 ↔ ∃𝑧𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧))
2421, 23sylibr 237 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}) → ∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧)
2524ralrimiva 3106 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧)
26 rexnal 3164 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
2726ralbii 3089 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
28 ralnex 3162 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
2927, 28bitri 278 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
3025, 29sylib 221 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
3130adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ {𝑦𝑆𝜓} ≠ ∅) → ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
326, 31pm2.21dd 198 . . 3 ((𝜑 ∧ {𝑦𝑆𝜓} ≠ ∅) → {𝑦𝑆𝜓} = ∅)
331, 32sylan2br 598 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ {𝑦𝑆𝜓} = ∅) → {𝑦𝑆𝜓} = ∅)
3433pm2.18da 800 1 (𝜑 → {𝑦𝑆𝜓} = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  wne 2941  wral 3062  wrex 3063  {crab 3066  wss 3881  c0 4252   class class class wbr 5068  cfv 6398  cr 10753   < clt 10892  cle 10893  cuz 12463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-om 7664  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-er 8412  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-nn 11856  df-n0 12116  df-z 12202  df-uz 12464
This theorem is referenced by:  nna4b4nsq  40233
  Copyright terms: Public domain W3C validator