Theorem infdesc 27979

Description: Infinite descent. The hypotheses say that 𝑆 is lower bounded, and that if 𝜓 holds for an integer in 𝑆, it holds for a smaller integer in 𝑆. By infinite descent, eventually we cannot go any smaller, therefore 𝜓 holds for no integer in 𝑆. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
infdesc.x	⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜓 ↔ 𝜒))
infdesc.z	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))
infdesc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
infdesc.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝜒)) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ 𝑧 < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
infdesc	⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} = ∅)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑧   𝜓,𝑥,𝑧   𝜒,𝑦   𝜃,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑥, 𝑧)   𝜃(𝑥, 𝑧)   𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem infdesc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2959	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} = ∅)
2		ssrab2 4007	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ⊆ 𝑆
3		infdesc.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	sstrid 3923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
5		uzwo 13048	. . . . 5 ⊢ (({𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
6	4, 5	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
7		infdesc.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜓 ↔ 𝜒))
8	7	elrab 3647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝜒))
9		infdesc.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝜒)) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ 𝑧 < 𝑥))
10		uzssre 12997	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
11	3, 10	sstrdi 3924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
12	11	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ ℝ)
13	12	sselda 3912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ ℝ)
14	11	sselda 3912	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	13, 15	ltnled 11467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧))
17	16	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝜃 ∧ 𝑧 < 𝑥) ↔ (𝜃 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧)))
18	17	rexbidva 3187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ 𝑧 < 𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧)))
19	18	adantrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝜒)) → (∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ 𝑧 < 𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧)))
20	9, 19	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝜒)) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧))
21	8, 20	sylan2b 606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧))
22		infdesc.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))
23	22	rexrab 3656	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧))
24	21, 23	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}) → ∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ 𝑥 ≤ 𝑧)
25	24	ralrimiva 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ 𝑥 ≤ 𝑧)
26		rexnal 3117	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
27	26	ralbii 3111	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
28		ralnex 3091	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
29	27, 28	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
30	25, 29	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ≠ ∅) → ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
32	6, 31	pm2.21dd 198	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ≠ ∅) → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} = ∅)
33	1, 32	sylan2br 607	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} = ∅) → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} = ∅)
34	33	pm2.18da 812	1 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3415   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  ℝcr 11209   < clt 11353   ≤ cle 11354  ℤ_≥cuz 12975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976

This theorem is used by:  nna4b4nsq  28002