Theorem infdesc 42297

Description: Infinite descent. The hypotheses say that 𝑆 is lower bounded, and that if 𝜓 holds for an integer in 𝑆, it holds for a smaller integer in 𝑆. By infinite descent, eventually we cannot go any smaller, therefore 𝜓 holds for no integer in 𝑆. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
infdesc.x	⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜓 ↔ 𝜒))
infdesc.z	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))
infdesc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
infdesc.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝜒)) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ 𝑧 < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
infdesc	⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} = ∅)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑧   𝜓,𝑥,𝑧   𝜒,𝑦   𝜃,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑥,𝑧)   𝜃(𝑥,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem infdesc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2931	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} = ∅)
2		ssrab2 4076	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ⊆ 𝑆
3		infdesc.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	sstrid 3991	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
5		uzwo 12947	. . . . 5 ⊢ (({𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
6	4, 5	sylan 578	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
7		infdesc.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜓 ↔ 𝜒))
8	7	elrab 3681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝜒))
9		infdesc.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝜒)) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ 𝑧 < 𝑥))
10		uzssre 12896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
11	3, 10	sstrdi 3992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
12	11	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ ℝ)
13	12	sselda 3979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ ℝ)
14	11	sselda 3979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
15	14	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	13, 15	ltnled 11411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧))
17	16	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝜃 ∧ 𝑧 < 𝑥) ↔ (𝜃 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧)))
18	17	rexbidva 3167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ 𝑧 < 𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧)))
19	18	adantrr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝜒)) → (∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ 𝑧 < 𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧)))
20	9, 19	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝜒)) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧))
21	8, 20	sylan2b 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}) → ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧))
22		infdesc.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))
23	22	rexrab 3690	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑧))
24	21, 23	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}) → ∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ 𝑥 ≤ 𝑧)
25	24	ralrimiva 3136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ 𝑥 ≤ 𝑧)
26		rexnal 3090	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
27	26	ralbii 3083	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
28		ralnex 3062	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
29	27, 28	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
30	25, 29	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
31	30	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ≠ ∅) → ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓}𝑥 ≤ 𝑧)
32	6, 31	pm2.21dd 194	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} ≠ ∅) → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} = ∅)
33	1, 32	sylan2br 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} = ∅) → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} = ∅)
34	33	pm2.18da 798	1 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑆 ∣ 𝜓} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3419   ⊆ wss 3947  ∅c0 4325   class class class wbr 5153  ‘cfv 6554  ℝcr 11157   < clt 11298   ≤ cle 11299  ℤ_≥cuz 12874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875

This theorem is referenced by:  nna4b4nsq  42314