Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infdesc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infdesc 42630
Description: Infinite descent. The hypotheses say that 𝑆 is lower bounded, and that if 𝜓 holds for an integer in 𝑆, it holds for a smaller integer in 𝑆. By infinite descent, eventually we cannot go any smaller, therefore 𝜓 holds for no integer in 𝑆. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
infdesc.x (𝑦 = 𝑥 → (𝜓𝜒))
infdesc.z (𝑦 = 𝑧 → (𝜓𝜃))
infdesc.s (𝜑𝑆 ⊆ (ℤ𝑀))
infdesc.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝜒)) → ∃𝑧𝑆 (𝜃𝑧 < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
infdesc (𝜑 → {𝑦𝑆𝜓} = ∅)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑧   𝜓,𝑥,𝑧   𝜒,𝑦   𝜃,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑥,𝑧)   𝜃(𝑥,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem infdesc
StepHypRef Expression
1 df-ne 2939 . . 3 ({𝑦𝑆𝜓} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝑦𝑆𝜓} = ∅)
2 ssrab2 4090 . . . . . 6 {𝑦𝑆𝜓} ⊆ 𝑆
3 infdesc.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (ℤ𝑀))
42, 3sstrid 4007 . . . . 5 (𝜑 → {𝑦𝑆𝜓} ⊆ (ℤ𝑀))
5 uzwo 12951 . . . . 5 (({𝑦𝑆𝜓} ⊆ (ℤ𝑀) ∧ {𝑦𝑆𝜓} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
64, 5sylan 580 . . . 4 ((𝜑 ∧ {𝑦𝑆𝜓} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
7 infdesc.x . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝜓𝜒))
87elrab 3695 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ↔ (𝑥𝑆𝜒))
9 infdesc.1 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝜒)) → ∃𝑧𝑆 (𝜃𝑧 < 𝑥))
10 uzssre 12898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
113, 10sstrdi 4008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑆 ⊆ ℝ)
1312sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ℝ)
1411sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
1613, 15ltnled 11406 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑧))
1716anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝜃𝑧 < 𝑥) ↔ (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧)))
1817rexbidva 3175 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → (∃𝑧𝑆 (𝜃𝑧 < 𝑥) ↔ ∃𝑧𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧)))
1918adantrr 717 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝜒)) → (∃𝑧𝑆 (𝜃𝑧 < 𝑥) ↔ ∃𝑧𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧)))
209, 19mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝜒)) → ∃𝑧𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧))
218, 20sylan2b 594 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}) → ∃𝑧𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧))
22 infdesc.z . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (𝜓𝜃))
2322rexrab 3705 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧 ↔ ∃𝑧𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧))
2421, 23sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}) → ∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧)
2524ralrimiva 3144 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧)
26 rexnal 3098 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
2726ralbii 3091 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
28 ralnex 3070 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
2927, 28bitri 275 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
3025, 29sylib 218 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
3130adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ {𝑦𝑆𝜓} ≠ ∅) → ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
326, 31pm2.21dd 195 . . 3 ((𝜑 ∧ {𝑦𝑆𝜓} ≠ ∅) → {𝑦𝑆𝜓} = ∅)
331, 32sylan2br 595 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ {𝑦𝑆𝜓} = ∅) → {𝑦𝑆𝜓} = ∅)
3433pm2.18da 800 1 (𝜑 → {𝑦𝑆𝜓} = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  cfv 6563  cr 11152   < clt 11293  cle 11294  cuz 12876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877
This theorem is referenced by:  nna4b4nsq  42647
  Copyright terms: Public domain W3C validator