Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infdesc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infdesc 42653
Description: Infinite descent. The hypotheses say that 𝑆 is lower bounded, and that if 𝜓 holds for an integer in 𝑆, it holds for a smaller integer in 𝑆. By infinite descent, eventually we cannot go any smaller, therefore 𝜓 holds for no integer in 𝑆. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
infdesc.x (𝑦 = 𝑥 → (𝜓𝜒))
infdesc.z (𝑦 = 𝑧 → (𝜓𝜃))
infdesc.s (𝜑𝑆 ⊆ (ℤ𝑀))
infdesc.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝜒)) → ∃𝑧𝑆 (𝜃𝑧 < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
infdesc (𝜑 → {𝑦𝑆𝜓} = ∅)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑧   𝜓,𝑥,𝑧   𝜒,𝑦   𝜃,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑥,𝑧)   𝜃(𝑥,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem infdesc
StepHypRef Expression
1 df-ne 2941 . . 3 ({𝑦𝑆𝜓} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝑦𝑆𝜓} = ∅)
2 ssrab2 4080 . . . . . 6 {𝑦𝑆𝜓} ⊆ 𝑆
3 infdesc.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (ℤ𝑀))
42, 3sstrid 3995 . . . . 5 (𝜑 → {𝑦𝑆𝜓} ⊆ (ℤ𝑀))
5 uzwo 12953 . . . . 5 (({𝑦𝑆𝜓} ⊆ (ℤ𝑀) ∧ {𝑦𝑆𝜓} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
64, 5sylan 580 . . . 4 ((𝜑 ∧ {𝑦𝑆𝜓} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
7 infdesc.x . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝜓𝜒))
87elrab 3692 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ↔ (𝑥𝑆𝜒))
9 infdesc.1 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝜒)) → ∃𝑧𝑆 (𝜃𝑧 < 𝑥))
10 uzssre 12900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
113, 10sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑆 ⊆ ℝ)
1312sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ℝ)
1411sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
1613, 15ltnled 11408 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑧))
1716anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝜃𝑧 < 𝑥) ↔ (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧)))
1817rexbidva 3177 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → (∃𝑧𝑆 (𝜃𝑧 < 𝑥) ↔ ∃𝑧𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧)))
1918adantrr 717 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝜒)) → (∃𝑧𝑆 (𝜃𝑧 < 𝑥) ↔ ∃𝑧𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧)))
209, 19mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝜒)) → ∃𝑧𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧))
218, 20sylan2b 594 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}) → ∃𝑧𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧))
22 infdesc.z . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (𝜓𝜃))
2322rexrab 3702 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧 ↔ ∃𝑧𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧))
2421, 23sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}) → ∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧)
2524ralrimiva 3146 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧)
26 rexnal 3100 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
2726ralbii 3093 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
28 ralnex 3072 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
2927, 28bitri 275 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
3025, 29sylib 218 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
3130adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ {𝑦𝑆𝜓} ≠ ∅) → ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
326, 31pm2.21dd 195 . . 3 ((𝜑 ∧ {𝑦𝑆𝜓} ≠ ∅) → {𝑦𝑆𝜓} = ∅)
331, 32sylan2br 595 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ {𝑦𝑆𝜓} = ∅) → {𝑦𝑆𝜓} = ∅)
3433pm2.18da 800 1 (𝜑 → {𝑦𝑆𝜓} = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  cfv 6561  cr 11154   < clt 11295  cle 11296  cuz 12878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879
This theorem is referenced by:  nna4b4nsq  42670
  Copyright terms: Public domain W3C validator