Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infdesc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infdesc 40396
Description: Infinite descent. The hypotheses say that 𝑆 is lower bounded, and that if 𝜓 holds for an integer in 𝑆, it holds for a smaller integer in 𝑆. By infinite descent, eventually we cannot go any smaller, therefore 𝜓 holds for no integer in 𝑆. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
infdesc.x (𝑦 = 𝑥 → (𝜓𝜒))
infdesc.z (𝑦 = 𝑧 → (𝜓𝜃))
infdesc.s (𝜑𝑆 ⊆ (ℤ𝑀))
infdesc.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝜒)) → ∃𝑧𝑆 (𝜃𝑧 < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
infdesc (𝜑 → {𝑦𝑆𝜓} = ∅)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑧   𝜓,𝑥,𝑧   𝜒,𝑦   𝜃,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑥,𝑧)   𝜃(𝑥,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem infdesc
StepHypRef Expression
1 df-ne 2943 . . 3 ({𝑦𝑆𝜓} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝑦𝑆𝜓} = ∅)
2 ssrab2 4009 . . . . . 6 {𝑦𝑆𝜓} ⊆ 𝑆
3 infdesc.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (ℤ𝑀))
42, 3sstrid 3928 . . . . 5 (𝜑 → {𝑦𝑆𝜓} ⊆ (ℤ𝑀))
5 uzwo 12580 . . . . 5 (({𝑦𝑆𝜓} ⊆ (ℤ𝑀) ∧ {𝑦𝑆𝜓} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
64, 5sylan 579 . . . 4 ((𝜑 ∧ {𝑦𝑆𝜓} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
7 infdesc.x . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝜓𝜒))
87elrab 3617 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ↔ (𝑥𝑆𝜒))
9 infdesc.1 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝜒)) → ∃𝑧𝑆 (𝜃𝑧 < 𝑥))
10 uzssre 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
113, 10sstrdi 3929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑆 ⊆ ℝ)
1312sselda 3917 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ℝ)
1411sselda 3917 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
1613, 15ltnled 11052 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑧))
1716anbi2d 628 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝜃𝑧 < 𝑥) ↔ (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧)))
1817rexbidva 3224 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → (∃𝑧𝑆 (𝜃𝑧 < 𝑥) ↔ ∃𝑧𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧)))
1918adantrr 713 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝜒)) → (∃𝑧𝑆 (𝜃𝑧 < 𝑥) ↔ ∃𝑧𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧)))
209, 19mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝜒)) → ∃𝑧𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧))
218, 20sylan2b 593 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}) → ∃𝑧𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧))
22 infdesc.z . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (𝜓𝜃))
2322rexrab 3626 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧 ↔ ∃𝑧𝑆 (𝜃 ∧ ¬ 𝑥𝑧))
2421, 23sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}) → ∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧)
2524ralrimiva 3107 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧)
26 rexnal 3165 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
2726ralbii 3090 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
28 ralnex 3163 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ ∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
2927, 28bitri 274 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∃𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓} ¬ 𝑥𝑧 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
3025, 29sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
3130adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ {𝑦𝑆𝜓} ≠ ∅) → ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑦𝑆𝜓}∀𝑧 ∈ {𝑦𝑆𝜓}𝑥𝑧)
326, 31pm2.21dd 194 . . 3 ((𝜑 ∧ {𝑦𝑆𝜓} ≠ ∅) → {𝑦𝑆𝜓} = ∅)
331, 32sylan2br 594 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ {𝑦𝑆𝜓} = ∅) → {𝑦𝑆𝜓} = ∅)
3433pm2.18da 796 1 (𝜑 → {𝑦𝑆𝜓} = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1539  wcel 2108  wne 2942  wral 3063  wrex 3064  {crab 3067  wss 3883  c0 4253   class class class wbr 5070  cfv 6418  cr 10801   < clt 10940  cle 10941  cuz 12511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512
This theorem is referenced by:  nna4b4nsq  40413
  Copyright terms: Public domain W3C validator