Theorem fltabcoprm 40006

Description: A counterexample to FLT with 𝐴, 𝐶 coprime also has 𝐴, 𝐵 coprime. Converse of fltaccoprm 40004. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltabcoprm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltabcoprm.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltabcoprm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltabcoprm.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
fltabcoprm.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
fltabcoprm	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)

Proof of Theorem fltabcoprm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltabcoprm.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
2		fltabcoprm.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		fltabcoprm.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
4		coprmgcdb 16058	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) = 1))
5	2, 3, 4	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) = 1))
6	1, 5	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1))
7		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ∥ 𝐴)
8		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ)
9	8	nnsqcld 13668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖↑2) ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖↑2) ∈ ℤ)
11	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℕ)
12	11	nnsqcld 13668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
14		fltabcoprm.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
16	15	nnsqcld 13668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
17	16	nnzd 12138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
18		dvdssqlem 15975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ 𝐴 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐴↑2)))
19	8, 11, 18	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖 ∥ 𝐴 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐴↑2)))
20	7, 19	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖↑2) ∥ (𝐴↑2))
21		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ∥ 𝐵)
22		dvdssqlem 15975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ 𝐵 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐵↑2)))
23	8, 15, 22	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖 ∥ 𝐵 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐵↑2)))
24	21, 23	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖↑2) ∥ (𝐵↑2))
25	10, 13, 17, 20, 24	dvds2addd 15706	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
26		fltabcoprm.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
27	26	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
28	25, 27	breqtrd 5062	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖↑2) ∥ (𝐶↑2))
29	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℕ)
30		dvdssqlem 15975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ 𝐶 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐶↑2)))
31	8, 29, 30	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖 ∥ 𝐶 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐶↑2)))
32	28, 31	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ∥ 𝐶)
33	7, 32	jca 515	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶))
34	33	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)))
35	34	imim1d 82	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1)))
36	35	ralimdva 3108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1) → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1)))
37	6, 36	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1))
38		coprmgcdb 16058	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
39	2, 14, 38	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
40	37, 39	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070   class class class wbr 5036  (class class class)co 7156  1c1 10589   + caddc 10591  ℕcn 11687  2c2 11742  ↑cexp 13492   ∥ cdvds 15668   gcd cgcd 15906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-dvds 15669  df-gcd 15907

This theorem is referenced by:  flt4lem1  40010  flt4lem3  40012  flt4lem5c  40018  flt4lem5d  40019  flt4lem5e  40020