Theorem fltabcoprm 42674

Description: A counterexample to FLT with 𝐴, 𝐶 coprime also has 𝐴, 𝐵 coprime. Converse of fltaccoprm 42672. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltabcoprm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltabcoprm.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltabcoprm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltabcoprm.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
fltabcoprm.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
fltabcoprm	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)

Proof of Theorem fltabcoprm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltabcoprm.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
2		fltabcoprm.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		fltabcoprm.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
4		coprmgcdb 16557	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) = 1))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) = 1))
6	1, 5	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1))
7		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ∥ 𝐴)
8		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ)
9	8	nnsqcld 14148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖↑2) ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖↑2) ∈ ℤ)
11	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℕ)
12	11	nnsqcld 14148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
14		fltabcoprm.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
16	15	nnsqcld 14148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
17	16	nnzd 12492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
18		dvdssqlem 16474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ 𝐴 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐴↑2)))
19	8, 11, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖 ∥ 𝐴 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐴↑2)))
20	7, 19	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖↑2) ∥ (𝐴↑2))
21		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ∥ 𝐵)
22		dvdssqlem 16474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ 𝐵 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐵↑2)))
23	8, 15, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖 ∥ 𝐵 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐵↑2)))
24	21, 23	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖↑2) ∥ (𝐵↑2))
25	10, 13, 17, 20, 24	dvds2addd 16200	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
26		fltabcoprm.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
27	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
28	25, 27	breqtrd 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖↑2) ∥ (𝐶↑2))
29	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℕ)
30		dvdssqlem 16474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝑖 ∥ 𝐶 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐶↑2)))
31	8, 29, 30	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖 ∥ 𝐶 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐶↑2)))
32	28, 31	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ∥ 𝐶)
33	7, 32	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶))
34	33	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶)))
35	34	imim1d 82	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1)))
36	35	ralimdva 3144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) → 𝑖 = 1) → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1)))
37	6, 36	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1))
38		coprmgcdb 16557	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
39	2, 14, 38	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
40	37, 39	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  1c1 11004   + caddc 11006  ℕcn 12122  2c2 12177  ↑cexp 13965   ∥ cdvds 16160   gcd cgcd 16402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-dvds 16161  df-gcd 16403

This theorem is referenced by:  flt4lem1  42678  flt4lem3  42680  flt4lem5c  42686  flt4lem5d  42687  flt4lem5e  42688