Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fltabcoprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fltabcoprm 40814
Description: A counterexample to FLT with 𝐴, 𝐶 coprime also has 𝐴, 𝐵 coprime. Converse of fltaccoprm 40812. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fltabcoprm.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
fltabcoprm.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
fltabcoprm.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
fltabcoprm.2 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
fltabcoprm.3 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
Assertion
Ref Expression
fltabcoprm (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)

Proof of Theorem fltabcoprm
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fltabcoprm.2 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
2 fltabcoprm.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
3 fltabcoprm.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
4 coprmgcdb 16460 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) = 1))
52, 3, 4syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) = 1))
61, 5mpbird 257 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → 𝑖 = 1))
7 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖𝐴)
8 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ)
98nnsqcld 14073 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖↑2) ∈ ℕ)
109nnzd 12539 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖↑2) ∈ ℤ)
112ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝐴 ∈ ℕ)
1211nnsqcld 14073 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
1312nnzd 12539 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
14 fltabcoprm.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
1615nnsqcld 14073 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
1716nnzd 12539 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
18 dvdssqlem 16377 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑖𝐴 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐴↑2)))
198, 11, 18syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖𝐴 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐴↑2)))
207, 19mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖↑2) ∥ (𝐴↑2))
21 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖𝐵)
22 dvdssqlem 16377 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑖𝐵 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐵↑2)))
238, 15, 22syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖𝐵 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐵↑2)))
2421, 23mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖↑2) ∥ (𝐵↑2))
2510, 13, 17, 20, 24dvds2addd 16109 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
26 fltabcoprm.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
2825, 27breqtrd 5130 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖↑2) ∥ (𝐶↑2))
293ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝐶 ∈ ℕ)
30 dvdssqlem 16377 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝑖𝐶 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐶↑2)))
318, 29, 30syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖𝐶 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐶↑2)))
3228, 31mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖𝐶)
337, 32jca 513 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖𝐴𝑖𝐶))
3433ex 414 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → (𝑖𝐴𝑖𝐶)))
3534imim1d 82 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (((𝑖𝐴𝑖𝐶) → 𝑖 = 1) → ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1)))
3635ralimdva 3163 . . 3 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → 𝑖 = 1) → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1)))
376, 36mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1))
38 coprmgcdb 16460 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
392, 14, 38syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
4037, 39mpbid 231 1 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3063   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  1c1 10986   + caddc 10988  cn 12087  2c2 12142  cexp 13896  cdvds 16071   gcd cgcd 16309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-rp 12845  df-fl 13626  df-mod 13704  df-seq 13836  df-exp 13897  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-dvds 16072  df-gcd 16310
This theorem is referenced by:  flt4lem1  40818  flt4lem3  40820  flt4lem5c  40826  flt4lem5d  40827  flt4lem5e  40828
  Copyright terms: Public domain W3C validator