Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fltabcoprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fltabcoprm 41873
Description: A counterexample to FLT with 𝐴, 𝐶 coprime also has 𝐴, 𝐵 coprime. Converse of fltaccoprm 41871. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fltabcoprm.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
fltabcoprm.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
fltabcoprm.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
fltabcoprm.2 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
fltabcoprm.3 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
Assertion
Ref Expression
fltabcoprm (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)

Proof of Theorem fltabcoprm
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fltabcoprm.2 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
2 fltabcoprm.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
3 fltabcoprm.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
4 coprmgcdb 16583 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) = 1))
52, 3, 4syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) = 1))
61, 5mpbird 257 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → 𝑖 = 1))
7 simprl 768 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖𝐴)
8 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ)
98nnsqcld 14204 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖↑2) ∈ ℕ)
109nnzd 12582 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖↑2) ∈ ℤ)
112ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝐴 ∈ ℕ)
1211nnsqcld 14204 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
1312nnzd 12582 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
14 fltabcoprm.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
1514ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
1615nnsqcld 14204 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
1716nnzd 12582 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
18 dvdssqlem 16500 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑖𝐴 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐴↑2)))
198, 11, 18syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖𝐴 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐴↑2)))
207, 19mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖↑2) ∥ (𝐴↑2))
21 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖𝐵)
22 dvdssqlem 16500 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑖𝐵 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐵↑2)))
238, 15, 22syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖𝐵 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐵↑2)))
2421, 23mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖↑2) ∥ (𝐵↑2))
2510, 13, 17, 20, 24dvds2addd 16232 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
26 fltabcoprm.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
2726ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
2825, 27breqtrd 5164 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖↑2) ∥ (𝐶↑2))
293ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝐶 ∈ ℕ)
30 dvdssqlem 16500 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝑖𝐶 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐶↑2)))
318, 29, 30syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖𝐶 ↔ (𝑖↑2) ∥ (𝐶↑2)))
3228, 31mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖𝐶)
337, 32jca 511 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖𝐴𝑖𝐶))
3433ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → (𝑖𝐴𝑖𝐶)))
3534imim1d 82 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (((𝑖𝐴𝑖𝐶) → 𝑖 = 1) → ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1)))
3635ralimdva 3159 . . 3 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐶) → 𝑖 = 1) → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1)))
376, 36mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1))
38 coprmgcdb 16583 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
392, 14, 38syl2anc 583 . 2 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
4037, 39mpbid 231 1 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  1c1 11107   + caddc 11109  cn 12209  2c2 12264  cexp 14024  cdvds 16194   gcd cgcd 16432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-gcd 16433
This theorem is referenced by:  flt4lem1  41877  flt4lem3  41879  flt4lem5c  41885  flt4lem5d  41886  flt4lem5e  41887
  Copyright terms: Public domain W3C validator