MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzwo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzwo 11957
Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
uzwo ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘)
Distinct variable group:   𝑗,𝑘,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem uzwo
Dummy variables 𝑡 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4814 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑀 → (𝑡𝑀𝑡))
21ralbidv 3133 . . . . . . . . . . 11 ( = 𝑀 → (∀𝑡𝑆 𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑀𝑡))
32imbi2d 331 . . . . . . . . . 10 ( = 𝑀 → (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑀𝑡)))
4 breq1 4814 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑚 → (𝑡𝑚𝑡))
54ralbidv 3133 . . . . . . . . . . 11 ( = 𝑚 → (∀𝑡𝑆 𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑚𝑡))
65imbi2d 331 . . . . . . . . . 10 ( = 𝑚 → (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑚𝑡)))
7 breq1 4814 . . . . . . . . . . . 12 ( = (𝑚 + 1) → (𝑡 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
87ralbidv 3133 . . . . . . . . . . 11 ( = (𝑚 + 1) → (∀𝑡𝑆 𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
98imbi2d 331 . . . . . . . . . 10 ( = (𝑚 + 1) → (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
10 breq1 4814 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑛 → (𝑡𝑛𝑡))
1110ralbidv 3133 . . . . . . . . . . 11 ( = 𝑛 → (∀𝑡𝑆 𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑛𝑡))
1211imbi2d 331 . . . . . . . . . 10 ( = 𝑛 → (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑛𝑡)))
13 ssel 3757 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (𝑡𝑆𝑡 ∈ (ℤ𝑀)))
14 eluzle 11904 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑡)
1513, 14syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (𝑡𝑆𝑀𝑡))
1615ralrimiv 3112 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → ∀𝑡𝑆 𝑀𝑡)
1716adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑀𝑡)
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑀𝑡))
19 uzssz 11911 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
20 sstr 3771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ (ℤ𝑀) ⊆ ℤ) → 𝑆 ⊆ ℤ)
2119, 20mpan2 682 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → 𝑆 ⊆ ℤ)
22 eluzelz 11901 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
23 breq1 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝑡𝑚𝑡))
2423ralbidv 3133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑚 → (∀𝑡𝑆 𝑗𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑚𝑡))
2524rspcev 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 𝑚𝑡) → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡)
2625expcom 402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → (𝑚𝑆 → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡))
2726con3rr3 152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡 → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ¬ 𝑚𝑆))
28 ssel2 3758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆) → 𝑡 ∈ ℤ)
29 zre 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
30 zre 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑡 ∈ ℤ → 𝑡 ∈ ℝ)
31 letri3 10381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚𝑡𝑡𝑚)))
3229, 30, 31syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚𝑡𝑡𝑚)))
33 zleltp1 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡𝑚𝑡 < (𝑚 + 1)))
34 peano2re 10467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
3529, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
36 ltnle 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ) → (𝑡 < (𝑚 + 1) ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
3730, 35, 36syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡 < (𝑚 + 1) ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
3833, 37bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡𝑚 ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
3938ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑡𝑚 ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
4039anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → ((𝑚𝑡𝑡𝑚) ↔ (𝑚𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
4132, 40bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
4228, 41sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
43 eleq1a 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡𝑆 → (𝑚 = 𝑡𝑚𝑆))
4443ad2antll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → (𝑚 = 𝑡𝑚𝑆))
4542, 44sylbird 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → ((𝑚𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡) → 𝑚𝑆))
4645expd 404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → (𝑚𝑡 → (¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡𝑚𝑆)))
47 con1 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡𝑚𝑆) → (¬ 𝑚𝑆 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
4846, 47syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → (𝑚𝑡 → (¬ 𝑚𝑆 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
4948com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → (¬ 𝑚𝑆 → (𝑚𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
5049exp32 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑆 ⊆ ℤ → (𝑡𝑆 → (¬ 𝑚𝑆 → (𝑚𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))))
5150com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑆 ⊆ ℤ → (¬ 𝑚𝑆 → (𝑡𝑆 → (𝑚𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))))
5251imp41 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ 𝑚𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → (𝑚𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
5352ralimdva 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ 𝑚𝑆) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
5453ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) → (¬ 𝑚𝑆 → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
5527, 54sylan9r 504 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
5655pm2.43d 53 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
5756expl 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℤ → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
5822, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
5921, 58sylani 597 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
6059a2d 29 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑚𝑡) → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
613, 6, 9, 12, 18, 60uzind4 11951 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑛𝑡))
62 breq1 4814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑛 → (𝑗𝑡𝑛𝑡))
6362ralbidv 3133 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑛 → (∀𝑡𝑆 𝑗𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑛𝑡))
6463rspcev 3462 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 𝑛𝑡) → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡)
6564expcom 402 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑡𝑆 𝑛𝑡 → (𝑛𝑆 → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡))
6665con3rr3 152 . . . . . . . . . 10 (¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡 → (∀𝑡𝑆 𝑛𝑡 → ¬ 𝑛𝑆))
6766adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑛𝑡 → ¬ 𝑛𝑆))
6861, 67sylcom 30 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ¬ 𝑛𝑆))
69 ssel 3757 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (𝑛𝑆𝑛 ∈ (ℤ𝑀)))
7069con3rr3 152 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → ¬ 𝑛𝑆))
7170adantrd 485 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ¬ 𝑛𝑆))
7268, 71pm2.61i 176 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ¬ 𝑛𝑆)
7372ex 401 . . . . . 6 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡 → ¬ 𝑛𝑆))
7473alrimdv 2024 . . . . 5 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡 → ∀𝑛 ¬ 𝑛𝑆))
75 eq0 4095 . . . . 5 (𝑆 = ∅ ↔ ∀𝑛 ¬ 𝑛𝑆)
7674, 75syl6ibr 243 . . . 4 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡𝑆 = ∅))
7776necon1ad 2954 . . 3 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (𝑆 ≠ ∅ → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡))
7877imp 395 . 2 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡)
79 breq2 4815 . . . 4 (𝑡 = 𝑘 → (𝑗𝑡𝑗𝑘))
8079cbvralv 3319 . . 3 (∀𝑡𝑆 𝑗𝑡 ↔ ∀𝑘𝑆 𝑗𝑘)
8180rexbii 3188 . 2 (∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡 ↔ ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘)
8278, 81sylib 209 1 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wal 1650   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  wss 3734  c0 4081   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6846  cr 10192  1c1 10194   + caddc 10196   < clt 10332  cle 10333  cz 11628  cuz 11891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-nn 11279  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892
This theorem is referenced by:  uzwo2  11958  nnwo  11959  infssuzle  11977  infssuzcl  11978  uzwo4  39896
  Copyright terms: Public domain W3C validator