MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzwo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzwo 12845
Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
uzwo ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘)
Distinct variable group:   𝑗,𝑘,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem uzwo
Dummy variables 𝑡 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5113 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑀 → (𝑡𝑀𝑡))
21ralbidv 3170 . . . . . . . . . . 11 ( = 𝑀 → (∀𝑡𝑆 𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑀𝑡))
32imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 ( = 𝑀 → (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑀𝑡)))
4 breq1 5113 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑚 → (𝑡𝑚𝑡))
54ralbidv 3170 . . . . . . . . . . 11 ( = 𝑚 → (∀𝑡𝑆 𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑚𝑡))
65imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 ( = 𝑚 → (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑚𝑡)))
7 breq1 5113 . . . . . . . . . . . 12 ( = (𝑚 + 1) → (𝑡 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
87ralbidv 3170 . . . . . . . . . . 11 ( = (𝑚 + 1) → (∀𝑡𝑆 𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
98imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 ( = (𝑚 + 1) → (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
10 breq1 5113 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑛 → (𝑡𝑛𝑡))
1110ralbidv 3170 . . . . . . . . . . 11 ( = 𝑛 → (∀𝑡𝑆 𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑛𝑡))
1211imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 ( = 𝑛 → (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑛𝑡)))
13 ssel 3940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (𝑡𝑆𝑡 ∈ (ℤ𝑀)))
14 eluzle 12785 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑡)
1513, 14syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (𝑡𝑆𝑀𝑡))
1615ralrimiv 3138 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → ∀𝑡𝑆 𝑀𝑡)
1716adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑀𝑡)
18 uzssz 12793 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
19 sstr 3955 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ (ℤ𝑀) ⊆ ℤ) → 𝑆 ⊆ ℤ)
2018, 19mpan2 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → 𝑆 ⊆ ℤ)
21 eluzelz 12782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
22 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝑡𝑚𝑡))
2322ralbidv 3170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑚 → (∀𝑡𝑆 𝑗𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑚𝑡))
2423rspcev 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 𝑚𝑡) → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡)
2524expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → (𝑚𝑆 → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡))
2625con3rr3 155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡 → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ¬ 𝑚𝑆))
27 ssel2 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆) → 𝑡 ∈ ℤ)
28 zre 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
29 zre 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑡 ∈ ℤ → 𝑡 ∈ ℝ)
30 letri3 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚𝑡𝑡𝑚)))
3128, 29, 30syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚𝑡𝑡𝑚)))
32 zleltp1 12563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡𝑚𝑡 < (𝑚 + 1)))
33 peano2re 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
3428, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
35 ltnle 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ) → (𝑡 < (𝑚 + 1) ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
3629, 34, 35syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡 < (𝑚 + 1) ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
3732, 36bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡𝑚 ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
3837ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑡𝑚 ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
3938anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → ((𝑚𝑡𝑡𝑚) ↔ (𝑚𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
4031, 39bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
4127, 40sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
42 eleq1a 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡𝑆 → (𝑚 = 𝑡𝑚𝑆))
4342ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → (𝑚 = 𝑡𝑚𝑆))
4441, 43sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → ((𝑚𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡) → 𝑚𝑆))
4544expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → (𝑚𝑡 → (¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡𝑚𝑆)))
46 con1 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡𝑚𝑆) → (¬ 𝑚𝑆 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
4745, 46syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → (𝑚𝑡 → (¬ 𝑚𝑆 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
4847com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → (¬ 𝑚𝑆 → (𝑚𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
4948exp32 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑆 ⊆ ℤ → (𝑡𝑆 → (¬ 𝑚𝑆 → (𝑚𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))))
5049com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑆 ⊆ ℤ → (¬ 𝑚𝑆 → (𝑡𝑆 → (𝑚𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))))
5150imp41 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ 𝑚𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → (𝑚𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
5251ralimdva 3160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ 𝑚𝑆) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
5352ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) → (¬ 𝑚𝑆 → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
5426, 53sylan9r 509 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
5554pm2.43d 53 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
5655expl 458 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℤ → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
5721, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
5820, 57sylani 604 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
5958a2d 29 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑚𝑡) → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
603, 6, 9, 12, 17, 59uzind4i 12844 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑛𝑡))
61 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑛 → (𝑗𝑡𝑛𝑡))
6261ralbidv 3170 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑛 → (∀𝑡𝑆 𝑗𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑛𝑡))
6362rspcev 3582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 𝑛𝑡) → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡)
6463expcom 414 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑡𝑆 𝑛𝑡 → (𝑛𝑆 → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡))
6564con3rr3 155 . . . . . . . . . 10 (¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡 → (∀𝑡𝑆 𝑛𝑡 → ¬ 𝑛𝑆))
6665adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑛𝑡 → ¬ 𝑛𝑆))
6760, 66sylcom 30 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ¬ 𝑛𝑆))
68 ssel 3940 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (𝑛𝑆𝑛 ∈ (ℤ𝑀)))
6968con3rr3 155 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → ¬ 𝑛𝑆))
7069adantrd 492 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ¬ 𝑛𝑆))
7167, 70pm2.61i 182 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ¬ 𝑛𝑆)
7271ex 413 . . . . . 6 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡 → ¬ 𝑛𝑆))
7372alrimdv 1932 . . . . 5 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡 → ∀𝑛 ¬ 𝑛𝑆))
74 eq0 4308 . . . . 5 (𝑆 = ∅ ↔ ∀𝑛 ¬ 𝑛𝑆)
7573, 74syl6ibr 251 . . . 4 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡𝑆 = ∅))
7675necon1ad 2956 . . 3 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (𝑆 ≠ ∅ → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡))
7776imp 407 . 2 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡)
78 breq2 5114 . . . 4 (𝑡 = 𝑘 → (𝑗𝑡𝑗𝑘))
7978cbvralvw 3223 . . 3 (∀𝑡𝑆 𝑗𝑡 ↔ ∀𝑘𝑆 𝑗𝑘)
8079rexbii 3093 . 2 (∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡 ↔ ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘)
8177, 80sylib 217 1 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  wss 3913  c0 4287   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  cr 11059  1c1 11061   + caddc 11063   < clt 11198  cle 11199  cz 12508  cuz 12772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773
This theorem is referenced by:  uzwo2  12846  nnwo  12847  infssuzle  12865  infssuzcl  12866  infdesc  41039  uzwo4  43383
  Copyright terms: Public domain W3C validator