Theorem uzwo 12856

Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzwo	⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)

Distinct variable group:   𝑗,𝑘,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem uzwo

Dummy variables 𝑡 ℎ 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑀 → (ℎ ≤ 𝑡 ↔ 𝑀 ≤ 𝑡))
2	1	ralbidv 3164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑀 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑀 ≤ 𝑡))
3	2	imbi2d 342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑀 → (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑀 ≤ 𝑡)))
4		breq1 5077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑚 → (ℎ ≤ 𝑡 ↔ 𝑚 ≤ 𝑡))
5	4	ralbidv 3164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑚 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡))
6	5	imbi2d 342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑚 → (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡)))
7		breq1 5077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = (𝑚 + 1) → (ℎ ≤ 𝑡 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
8	7	ralbidv 3164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = (𝑚 + 1) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
9	8	imbi2d 342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝑚 + 1) → (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
10		breq1 5077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑛 → (ℎ ≤ 𝑡 ↔ 𝑛 ≤ 𝑡))
11	10	ralbidv 3164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑛 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡))
12	11	imbi2d 342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑛 → (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡)))
13		ssel 3910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑡 ∈ 𝑆 → 𝑡 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
14		eluzle 12796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑡)
15	13, 14	syl6 35	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑡 ∈ 𝑆 → 𝑀 ≤ 𝑡))
16	15	ralrimiv 3132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑀 ≤ 𝑡)
17	16	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑀 ≤ 𝑡)
18		uzssz 12804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
19		sstr 3924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ) → 𝑆 ⊆ ℤ)
20	18, 19	mpan2 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑆 ⊆ ℤ)
21		eluzelz 12793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
22		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 ≤ 𝑡 ↔ 𝑚 ≤ 𝑡))
23	22	ralbidv 3164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡))
24	23	rspcev 3561	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡)
25	24	expcom 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → (𝑚 ∈ 𝑆 → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡))
26	25	con3rr3 155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ¬ 𝑚 ∈ 𝑆))
27		ssel2 3911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) → 𝑡 ∈ ℤ)
28		zre 12523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
29		zre 12523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑡 ∈ ℤ → 𝑡 ∈ ℝ)
30		letri3 11227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑚)))
31	28, 29, 30	syl2an 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑚)))
32		zleltp1 12573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡 ≤ 𝑚 ↔ 𝑡 < (𝑚 + 1)))
33		peano2re 11315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
34	28, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
35		ltnle 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ) → (𝑡 < (𝑚 + 1) ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
36	29, 34, 35	syl2an 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡 < (𝑚 + 1) ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
37	32, 36	bitrd 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡 ≤ 𝑚 ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
38	37	ancoms 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑡 ≤ 𝑚 ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
39	38	anbi2d 637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → ((𝑚 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑚) ↔ (𝑚 ≤ 𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
40	31, 39	bitrd 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚 ≤ 𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
41	27, 40	sylan2 600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆)) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚 ≤ 𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
42		eleq1a 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 → (𝑚 = 𝑡 → 𝑚 ∈ 𝑆))
43	42	ad2antll 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆)) → (𝑚 = 𝑡 → 𝑚 ∈ 𝑆))
44	41, 43	sylbird 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆)) → ((𝑚 ≤ 𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡) → 𝑚 ∈ 𝑆))
45	44	expd 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆)) → (𝑚 ≤ 𝑡 → (¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡 → 𝑚 ∈ 𝑆)))
46		con1 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡 → 𝑚 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑚 ∈ 𝑆 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
47	45, 46	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆)) → (𝑚 ≤ 𝑡 → (¬ 𝑚 ∈ 𝑆 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
48	47	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆)) → (¬ 𝑚 ∈ 𝑆 → (𝑚 ≤ 𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
49	48	exp32 422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑆 ⊆ ℤ → (𝑡 ∈ 𝑆 → (¬ 𝑚 ∈ 𝑆 → (𝑚 ≤ 𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))))
50	49	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑆 ⊆ ℤ → (¬ 𝑚 ∈ 𝑆 → (𝑡 ∈ 𝑆 → (𝑚 ≤ 𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))))
51	50	imp41 427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) → (𝑚 ≤ 𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
52	51	ralimdva 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝑆) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
53	52	ex 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) → (¬ 𝑚 ∈ 𝑆 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
54	26, 53	sylan9r 514	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
55	54	pm2.43d 53	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
56	55	expl 459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
57	21, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
58	20, 57	sylani 611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
59	58	a2d 29	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡) → ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
60	3, 6, 9, 12, 17, 59	uzind4i 12855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡))
61		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 ≤ 𝑡 ↔ 𝑛 ≤ 𝑡))
62	61	ralbidv 3164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡))
63	62	rspcev 3561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡)
64	63	expcom 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡 → (𝑛 ∈ 𝑆 → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡))
65	64	con3rr3 155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡 → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
66	65	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡 → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
67	60, 66	sylcom 30	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
68		ssel 3910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑛 ∈ 𝑆 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
69	68	con3rr3 155	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
70	69	adantrd 493	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
71	67, 70	pm2.61i 183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆)
72	71	ex 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
73	72	alrimdv 1937	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 → ∀𝑛 ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
74		eq0 4280	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ∅ ↔ ∀𝑛 ¬ 𝑛 ∈ 𝑆)
75	73, 74	imbitrrdi 254	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 → 𝑆 = ∅))
76	75	necon1ad 2953	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑆 ≠ ∅ → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡))
77	76	imp 408	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡)
78		breq2 5078	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → (𝑗 ≤ 𝑡 ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
79	78	cbvralvw 3219	. . 3 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)
80	79	rexbii 3088	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)
81	77, 80	sylib 220	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397  ∀wal 1546   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3884  ∅c0 4263   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  ℝcr 11033  1c1 11035   + caddc 11037   < clt 11175   ≤ cle 11176  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784

This theorem is referenced by:  uzwo2  12857  nnwo  12858  infssuzle  12876  infssuzcl  12877  infdesc  43106  uzwo4  45514