Theorem uzwo 12846

Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzwo	⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)

Distinct variable group:   𝑗,𝑘,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem uzwo

Dummy variables 𝑡 ℎ 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑀 → (ℎ ≤ 𝑡 ↔ 𝑀 ≤ 𝑡))
2	1	ralbidv 3156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑀 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑀 ≤ 𝑡))
3	2	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑀 → (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑀 ≤ 𝑡)))
4		breq1 5105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑚 → (ℎ ≤ 𝑡 ↔ 𝑚 ≤ 𝑡))
5	4	ralbidv 3156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑚 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡))
6	5	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑚 → (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡)))
7		breq1 5105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = (𝑚 + 1) → (ℎ ≤ 𝑡 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
8	7	ralbidv 3156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = (𝑚 + 1) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
9	8	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝑚 + 1) → (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
10		breq1 5105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑛 → (ℎ ≤ 𝑡 ↔ 𝑛 ≤ 𝑡))
11	10	ralbidv 3156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑛 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡))
12	11	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑛 → (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡)))
13		ssel 3937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑡 ∈ 𝑆 → 𝑡 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
14		eluzle 12782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑡)
15	13, 14	syl6 35	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑡 ∈ 𝑆 → 𝑀 ≤ 𝑡))
16	15	ralrimiv 3124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑀 ≤ 𝑡)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑀 ≤ 𝑡)
18		uzssz 12790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
19		sstr 3952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ) → 𝑆 ⊆ ℤ)
20	18, 19	mpan2 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑆 ⊆ ℤ)
21		eluzelz 12779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
22		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 ≤ 𝑡 ↔ 𝑚 ≤ 𝑡))
23	22	ralbidv 3156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡))
24	23	rspcev 3585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡)
25	24	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → (𝑚 ∈ 𝑆 → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡))
26	25	con3rr3 155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ¬ 𝑚 ∈ 𝑆))
27		ssel2 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) → 𝑡 ∈ ℤ)
28		zre 12509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
29		zre 12509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑡 ∈ ℤ → 𝑡 ∈ ℝ)
30		letri3 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑚)))
31	28, 29, 30	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑚)))
32		zleltp1 12560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡 ≤ 𝑚 ↔ 𝑡 < (𝑚 + 1)))
33		peano2re 11323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
34	28, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
35		ltnle 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ) → (𝑡 < (𝑚 + 1) ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
36	29, 34, 35	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡 < (𝑚 + 1) ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
37	32, 36	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡 ≤ 𝑚 ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
38	37	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑡 ≤ 𝑚 ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
39	38	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → ((𝑚 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑚) ↔ (𝑚 ≤ 𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
40	31, 39	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚 ≤ 𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
41	27, 40	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆)) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚 ≤ 𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
42		eleq1a 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 → (𝑚 = 𝑡 → 𝑚 ∈ 𝑆))
43	42	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆)) → (𝑚 = 𝑡 → 𝑚 ∈ 𝑆))
44	41, 43	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆)) → ((𝑚 ≤ 𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡) → 𝑚 ∈ 𝑆))
45	44	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆)) → (𝑚 ≤ 𝑡 → (¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡 → 𝑚 ∈ 𝑆)))
46		con1 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡 → 𝑚 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑚 ∈ 𝑆 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
47	45, 46	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆)) → (𝑚 ≤ 𝑡 → (¬ 𝑚 ∈ 𝑆 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
48	47	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆)) → (¬ 𝑚 ∈ 𝑆 → (𝑚 ≤ 𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
49	48	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑆 ⊆ ℤ → (𝑡 ∈ 𝑆 → (¬ 𝑚 ∈ 𝑆 → (𝑚 ≤ 𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))))
50	49	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑆 ⊆ ℤ → (¬ 𝑚 ∈ 𝑆 → (𝑡 ∈ 𝑆 → (𝑚 ≤ 𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))))
51	50	imp41 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) → (𝑚 ≤ 𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
52	51	ralimdva 3145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝑆) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
53	52	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) → (¬ 𝑚 ∈ 𝑆 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
54	26, 53	sylan9r 508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
55	54	pm2.43d 53	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
56	55	expl 457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
57	21, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
58	20, 57	sylani 604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
59	58	a2d 29	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡) → ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
60	3, 6, 9, 12, 17, 59	uzind4i 12845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡))
61		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 ≤ 𝑡 ↔ 𝑛 ≤ 𝑡))
62	61	ralbidv 3156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡))
63	62	rspcev 3585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡)
64	63	expcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡 → (𝑛 ∈ 𝑆 → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡))
65	64	con3rr3 155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡 → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
66	65	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡 → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
67	60, 66	sylcom 30	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
68		ssel 3937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑛 ∈ 𝑆 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
69	68	con3rr3 155	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
70	69	adantrd 491	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
71	67, 70	pm2.61i 182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆)
72	71	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
73	72	alrimdv 1929	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 → ∀𝑛 ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
74		eq0 4309	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ∅ ↔ ∀𝑛 ¬ 𝑛 ∈ 𝑆)
75	73, 74	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 → 𝑆 = ∅))
76	75	necon1ad 2942	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑆 ≠ ∅ → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡))
77	76	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡)
78		breq2 5106	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → (𝑗 ≤ 𝑡 ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
79	78	cbvralvw 3213	. . 3 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)
80	79	rexbii 3076	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)
81	77, 80	sylib 218	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  1c1 11045   + caddc 11047   < clt 11184   ≤ cle 11185  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770

This theorem is referenced by:  uzwo2  12847  nnwo  12848  infssuzle  12866  infssuzcl  12867  infdesc  42624  uzwo4  45040