MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzwo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzwo 12928
Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
uzwo ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘)
Distinct variable group:   𝑗,𝑘,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem uzwo
Dummy variables 𝑡 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5152 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑀 → (𝑡𝑀𝑡))
21ralbidv 3167 . . . . . . . . . . 11 ( = 𝑀 → (∀𝑡𝑆 𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑀𝑡))
32imbi2d 339 . . . . . . . . . 10 ( = 𝑀 → (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑀𝑡)))
4 breq1 5152 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑚 → (𝑡𝑚𝑡))
54ralbidv 3167 . . . . . . . . . . 11 ( = 𝑚 → (∀𝑡𝑆 𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑚𝑡))
65imbi2d 339 . . . . . . . . . 10 ( = 𝑚 → (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑚𝑡)))
7 breq1 5152 . . . . . . . . . . . 12 ( = (𝑚 + 1) → (𝑡 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
87ralbidv 3167 . . . . . . . . . . 11 ( = (𝑚 + 1) → (∀𝑡𝑆 𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
98imbi2d 339 . . . . . . . . . 10 ( = (𝑚 + 1) → (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
10 breq1 5152 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑛 → (𝑡𝑛𝑡))
1110ralbidv 3167 . . . . . . . . . . 11 ( = 𝑛 → (∀𝑡𝑆 𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑛𝑡))
1211imbi2d 339 . . . . . . . . . 10 ( = 𝑛 → (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑛𝑡)))
13 ssel 3970 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (𝑡𝑆𝑡 ∈ (ℤ𝑀)))
14 eluzle 12868 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑡)
1513, 14syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (𝑡𝑆𝑀𝑡))
1615ralrimiv 3134 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → ∀𝑡𝑆 𝑀𝑡)
1716adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑀𝑡)
18 uzssz 12876 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
19 sstr 3985 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ (ℤ𝑀) ⊆ ℤ) → 𝑆 ⊆ ℤ)
2018, 19mpan2 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → 𝑆 ⊆ ℤ)
21 eluzelz 12865 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
22 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝑡𝑚𝑡))
2322ralbidv 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑚 → (∀𝑡𝑆 𝑗𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑚𝑡))
2423rspcev 3606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 𝑚𝑡) → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡)
2524expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → (𝑚𝑆 → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡))
2625con3rr3 155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡 → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ¬ 𝑚𝑆))
27 ssel2 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆) → 𝑡 ∈ ℤ)
28 zre 12595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
29 zre 12595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑡 ∈ ℤ → 𝑡 ∈ ℝ)
30 letri3 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚𝑡𝑡𝑚)))
3128, 29, 30syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚𝑡𝑡𝑚)))
32 zleltp1 12646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡𝑚𝑡 < (𝑚 + 1)))
33 peano2re 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
3428, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
35 ltnle 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ) → (𝑡 < (𝑚 + 1) ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
3629, 34, 35syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡 < (𝑚 + 1) ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
3732, 36bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡𝑚 ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
3837ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑡𝑚 ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
3938anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → ((𝑚𝑡𝑡𝑚) ↔ (𝑚𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
4031, 39bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
4127, 40sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
42 eleq1a 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡𝑆 → (𝑚 = 𝑡𝑚𝑆))
4342ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → (𝑚 = 𝑡𝑚𝑆))
4441, 43sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → ((𝑚𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡) → 𝑚𝑆))
4544expd 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → (𝑚𝑡 → (¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡𝑚𝑆)))
46 con1 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡𝑚𝑆) → (¬ 𝑚𝑆 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
4745, 46syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → (𝑚𝑡 → (¬ 𝑚𝑆 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
4847com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → (¬ 𝑚𝑆 → (𝑚𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
4948exp32 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑆 ⊆ ℤ → (𝑡𝑆 → (¬ 𝑚𝑆 → (𝑚𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))))
5049com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑆 ⊆ ℤ → (¬ 𝑚𝑆 → (𝑡𝑆 → (𝑚𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))))
5150imp41 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ 𝑚𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → (𝑚𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
5251ralimdva 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ 𝑚𝑆) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
5352ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) → (¬ 𝑚𝑆 → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
5426, 53sylan9r 507 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
5554pm2.43d 53 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
5655expl 456 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℤ → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
5721, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
5820, 57sylani 602 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
5958a2d 29 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑚𝑡) → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
603, 6, 9, 12, 17, 59uzind4i 12927 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑛𝑡))
61 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑛 → (𝑗𝑡𝑛𝑡))
6261ralbidv 3167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑛 → (∀𝑡𝑆 𝑗𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑛𝑡))
6362rspcev 3606 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 𝑛𝑡) → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡)
6463expcom 412 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑡𝑆 𝑛𝑡 → (𝑛𝑆 → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡))
6564con3rr3 155 . . . . . . . . . 10 (¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡 → (∀𝑡𝑆 𝑛𝑡 → ¬ 𝑛𝑆))
6665adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑛𝑡 → ¬ 𝑛𝑆))
6760, 66sylcom 30 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ¬ 𝑛𝑆))
68 ssel 3970 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (𝑛𝑆𝑛 ∈ (ℤ𝑀)))
6968con3rr3 155 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → ¬ 𝑛𝑆))
7069adantrd 490 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ¬ 𝑛𝑆))
7167, 70pm2.61i 182 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ¬ 𝑛𝑆)
7271ex 411 . . . . . 6 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡 → ¬ 𝑛𝑆))
7372alrimdv 1924 . . . . 5 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡 → ∀𝑛 ¬ 𝑛𝑆))
74 eq0 4343 . . . . 5 (𝑆 = ∅ ↔ ∀𝑛 ¬ 𝑛𝑆)
7573, 74imbitrrdi 251 . . . 4 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡𝑆 = ∅))
7675necon1ad 2946 . . 3 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (𝑆 ≠ ∅ → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡))
7776imp 405 . 2 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡)
78 breq2 5153 . . . 4 (𝑡 = 𝑘 → (𝑗𝑡𝑗𝑘))
7978cbvralvw 3224 . . 3 (∀𝑡𝑆 𝑗𝑡 ↔ ∀𝑘𝑆 𝑗𝑘)
8079rexbii 3083 . 2 (∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡 ↔ ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘)
8177, 80sylib 217 1 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wal 1531   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  wss 3944  c0 4322   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11139  1c1 11141   + caddc 11143   < clt 11280  cle 11281  cz 12591  cuz 12855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856
This theorem is referenced by:  uzwo2  12929  nnwo  12930  infssuzle  12948  infssuzcl  12949  infdesc  42202  uzwo4  44559
  Copyright terms: Public domain W3C validator