Theorem uzwo 12580

Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzwo	⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)

Distinct variable group:   𝑗,𝑘,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem uzwo

Dummy variables 𝑡 ℎ 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑀 → (ℎ ≤ 𝑡 ↔ 𝑀 ≤ 𝑡))
2	1	ralbidv 3120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑀 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑀 ≤ 𝑡))
3	2	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑀 → (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑀 ≤ 𝑡)))
4		breq1 5073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑚 → (ℎ ≤ 𝑡 ↔ 𝑚 ≤ 𝑡))
5	4	ralbidv 3120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑚 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡))
6	5	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑚 → (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡)))
7		breq1 5073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = (𝑚 + 1) → (ℎ ≤ 𝑡 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
8	7	ralbidv 3120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = (𝑚 + 1) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
9	8	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝑚 + 1) → (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
10		breq1 5073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑛 → (ℎ ≤ 𝑡 ↔ 𝑛 ≤ 𝑡))
11	10	ralbidv 3120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑛 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡))
12	11	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑛 → (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 ℎ ≤ 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡)))
13		ssel 3910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑡 ∈ 𝑆 → 𝑡 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
14		eluzle 12524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑡)
15	13, 14	syl6 35	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑡 ∈ 𝑆 → 𝑀 ≤ 𝑡))
16	15	ralrimiv 3106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑀 ≤ 𝑡)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑀 ≤ 𝑡)
18		uzssz 12532	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
19		sstr 3925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ) → 𝑆 ⊆ ℤ)
20	18, 19	mpan2 687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑆 ⊆ ℤ)
21		eluzelz 12521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
22		breq1 5073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 ≤ 𝑡 ↔ 𝑚 ≤ 𝑡))
23	22	ralbidv 3120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡))
24	23	rspcev 3552	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡)
25	24	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → (𝑚 ∈ 𝑆 → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡))
26	25	con3rr3 155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ¬ 𝑚 ∈ 𝑆))
27		ssel2 3912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) → 𝑡 ∈ ℤ)
28		zre 12253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
29		zre 12253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑡 ∈ ℤ → 𝑡 ∈ ℝ)
30		letri3 10991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑚)))
31	28, 29, 30	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑚)))
32		zleltp1 12301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡 ≤ 𝑚 ↔ 𝑡 < (𝑚 + 1)))
33		peano2re 11078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
34	28, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
35		ltnle 10985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ) → (𝑡 < (𝑚 + 1) ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
36	29, 34, 35	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡 < (𝑚 + 1) ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
37	32, 36	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡 ≤ 𝑚 ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
38	37	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑡 ≤ 𝑚 ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
39	38	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → ((𝑚 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑚) ↔ (𝑚 ≤ 𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
40	31, 39	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚 ≤ 𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
41	27, 40	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆)) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚 ≤ 𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
42		eleq1a 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 → (𝑚 = 𝑡 → 𝑚 ∈ 𝑆))
43	42	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆)) → (𝑚 = 𝑡 → 𝑚 ∈ 𝑆))
44	41, 43	sylbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆)) → ((𝑚 ≤ 𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡) → 𝑚 ∈ 𝑆))
45	44	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆)) → (𝑚 ≤ 𝑡 → (¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡 → 𝑚 ∈ 𝑆)))
46		con1 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡 → 𝑚 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑚 ∈ 𝑆 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
47	45, 46	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆)) → (𝑚 ≤ 𝑡 → (¬ 𝑚 ∈ 𝑆 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
48	47	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝑆)) → (¬ 𝑚 ∈ 𝑆 → (𝑚 ≤ 𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
49	48	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑆 ⊆ ℤ → (𝑡 ∈ 𝑆 → (¬ 𝑚 ∈ 𝑆 → (𝑚 ≤ 𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))))
50	49	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑆 ⊆ ℤ → (¬ 𝑚 ∈ 𝑆 → (𝑡 ∈ 𝑆 → (𝑚 ≤ 𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))))
51	50	imp41 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝑆) → (𝑚 ≤ 𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
52	51	ralimdva 3102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝑆) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
53	52	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) → (¬ 𝑚 ∈ 𝑆 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
54	26, 53	sylan9r 508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
55	54	pm2.43d 53	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
56	55	expl 457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
57	21, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
58	20, 57	sylani 603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
59	58	a2d 29	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑚 ≤ 𝑡) → ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
60	3, 6, 9, 12, 17, 59	uzind4i 12579	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡))
61		breq1 5073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 ≤ 𝑡 ↔ 𝑛 ≤ 𝑡))
62	61	ralbidv 3120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡))
63	62	rspcev 3552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡)
64	63	expcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡 → (𝑛 ∈ 𝑆 → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡))
65	64	con3rr3 155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡 → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
66	65	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑛 ≤ 𝑡 → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
67	60, 66	sylcom 30	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
68		ssel 3910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑛 ∈ 𝑆 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
69	68	con3rr3 155	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
70	69	adantrd 491	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
71	67, 70	pm2.61i 182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡) → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆)
72	71	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 → ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
73	72	alrimdv 1933	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 → ∀𝑛 ¬ 𝑛 ∈ 𝑆))
74		eq0 4274	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ∅ ↔ ∀𝑛 ¬ 𝑛 ∈ 𝑆)
75	73, 74	syl6ibr 251	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 → 𝑆 = ∅))
76	75	necon1ad 2959	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑆 ≠ ∅ → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡))
77	76	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡)
78		breq2 5074	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → (𝑗 ≤ 𝑡 ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
79	78	cbvralvw 3372	. . 3 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)
80	79	rexbii 3177	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑡 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)
81	77, 80	sylib 217	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512

This theorem is referenced by:  uzwo2  12581  nnwo  12582  infssuzle  12600  infssuzcl  12601  infdesc  40396  uzwo4  42490