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Theorem uzwo 12843
Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
uzwo ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘)
Distinct variable group:   𝑗,𝑘,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem uzwo
Dummy variables 𝑡 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5113 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑀 → (𝑡𝑀𝑡))
21ralbidv 3175 . . . . . . . . . . 11 ( = 𝑀 → (∀𝑡𝑆 𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑀𝑡))
32imbi2d 341 . . . . . . . . . 10 ( = 𝑀 → (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑀𝑡)))
4 breq1 5113 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑚 → (𝑡𝑚𝑡))
54ralbidv 3175 . . . . . . . . . . 11 ( = 𝑚 → (∀𝑡𝑆 𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑚𝑡))
65imbi2d 341 . . . . . . . . . 10 ( = 𝑚 → (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑚𝑡)))
7 breq1 5113 . . . . . . . . . . . 12 ( = (𝑚 + 1) → (𝑡 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
87ralbidv 3175 . . . . . . . . . . 11 ( = (𝑚 + 1) → (∀𝑡𝑆 𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
98imbi2d 341 . . . . . . . . . 10 ( = (𝑚 + 1) → (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
10 breq1 5113 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑛 → (𝑡𝑛𝑡))
1110ralbidv 3175 . . . . . . . . . . 11 ( = 𝑛 → (∀𝑡𝑆 𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑛𝑡))
1211imbi2d 341 . . . . . . . . . 10 ( = 𝑛 → (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑡) ↔ ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑛𝑡)))
13 ssel 3942 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (𝑡𝑆𝑡 ∈ (ℤ𝑀)))
14 eluzle 12783 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑡)
1513, 14syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (𝑡𝑆𝑀𝑡))
1615ralrimiv 3143 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → ∀𝑡𝑆 𝑀𝑡)
1716adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑀𝑡)
18 uzssz 12791 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
19 sstr 3957 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ (ℤ𝑀) ⊆ ℤ) → 𝑆 ⊆ ℤ)
2018, 19mpan2 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → 𝑆 ⊆ ℤ)
21 eluzelz 12780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
22 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝑡𝑚𝑡))
2322ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑚 → (∀𝑡𝑆 𝑗𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑚𝑡))
2423rspcev 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 𝑚𝑡) → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡)
2524expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → (𝑚𝑆 → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡))
2625con3rr3 155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡 → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ¬ 𝑚𝑆))
27 ssel2 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆) → 𝑡 ∈ ℤ)
28 zre 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
29 zre 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑡 ∈ ℤ → 𝑡 ∈ ℝ)
30 letri3 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚𝑡𝑡𝑚)))
3128, 29, 30syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚𝑡𝑡𝑚)))
32 zleltp1 12561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡𝑚𝑡 < (𝑚 + 1)))
33 peano2re 11335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
3428, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
35 ltnle 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ) → (𝑡 < (𝑚 + 1) ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
3629, 34, 35syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡 < (𝑚 + 1) ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
3732, 36bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑡𝑚 ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
3837ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑡𝑚 ↔ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
3938anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → ((𝑚𝑡𝑡𝑚) ↔ (𝑚𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
4031, 39bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
4127, 40sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → (𝑚 = 𝑡 ↔ (𝑚𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
42 eleq1a 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡𝑆 → (𝑚 = 𝑡𝑚𝑆))
4342ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → (𝑚 = 𝑡𝑚𝑆))
4441, 43sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → ((𝑚𝑡 ∧ ¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡) → 𝑚𝑆))
4544expd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → (𝑚𝑡 → (¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡𝑚𝑆)))
46 con1 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((¬ (𝑚 + 1) ≤ 𝑡𝑚𝑆) → (¬ 𝑚𝑆 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
4745, 46syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → (𝑚𝑡 → (¬ 𝑚𝑆 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
4847com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑡𝑆)) → (¬ 𝑚𝑆 → (𝑚𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
4948exp32 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑆 ⊆ ℤ → (𝑡𝑆 → (¬ 𝑚𝑆 → (𝑚𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))))
5049com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑆 ⊆ ℤ → (¬ 𝑚𝑆 → (𝑡𝑆 → (𝑚𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))))
5150imp41 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ 𝑚𝑆) ∧ 𝑡𝑆) → (𝑚𝑡 → (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
5251ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ 𝑚𝑆) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
5352ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) → (¬ 𝑚𝑆 → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
5426, 53sylan9r 510 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
5554pm2.43d 53 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ⊆ ℤ) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡))
5655expl 459 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℤ → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
5721, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
5820, 57sylani 605 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑚𝑡 → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
5958a2d 29 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑚𝑡) → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 (𝑚 + 1) ≤ 𝑡)))
603, 6, 9, 12, 17, 59uzind4i 12842 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ∀𝑡𝑆 𝑛𝑡))
61 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑛 → (𝑗𝑡𝑛𝑡))
6261ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑛 → (∀𝑡𝑆 𝑗𝑡 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑛𝑡))
6362rspcev 3584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 𝑛𝑡) → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡)
6463expcom 415 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑡𝑆 𝑛𝑡 → (𝑛𝑆 → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡))
6564con3rr3 155 . . . . . . . . . 10 (¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡 → (∀𝑡𝑆 𝑛𝑡 → ¬ 𝑛𝑆))
6665adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → (∀𝑡𝑆 𝑛𝑡 → ¬ 𝑛𝑆))
6760, 66sylcom 30 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ¬ 𝑛𝑆))
68 ssel 3942 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (𝑛𝑆𝑛 ∈ (ℤ𝑀)))
6968con3rr3 155 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → ¬ 𝑛𝑆))
7069adantrd 493 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ¬ 𝑛𝑆))
7167, 70pm2.61i 182 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡) → ¬ 𝑛𝑆)
7271ex 414 . . . . . 6 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡 → ¬ 𝑛𝑆))
7372alrimdv 1933 . . . . 5 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡 → ∀𝑛 ¬ 𝑛𝑆))
74 eq0 4308 . . . . 5 (𝑆 = ∅ ↔ ∀𝑛 ¬ 𝑛𝑆)
7573, 74syl6ibr 252 . . . 4 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (¬ ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡𝑆 = ∅))
7675necon1ad 2961 . . 3 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (𝑆 ≠ ∅ → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡))
7776imp 408 . 2 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡)
78 breq2 5114 . . . 4 (𝑡 = 𝑘 → (𝑗𝑡𝑗𝑘))
7978cbvralvw 3228 . . 3 (∀𝑡𝑆 𝑗𝑡 ↔ ∀𝑘𝑆 𝑗𝑘)
8079rexbii 3098 . 2 (∃𝑗𝑆𝑡𝑆 𝑗𝑡 ↔ ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘)
8177, 80sylib 217 1 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wal 1540   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  wrex 3074  wss 3915  c0 4287   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  cr 11057  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196  cle 11197  cz 12506  cuz 12770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771
This theorem is referenced by:  uzwo2  12844  nnwo  12845  infssuzle  12863  infssuzcl  12864  infdesc  41010  uzwo4  43335
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