Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem4c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem4c 24138
 Description: Lemma for minvec 24149. The infimum of the distances to 𝐴 is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
minveclem4c (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝑆

Proof of Theorem minveclem4c
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.s . 2 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
2 minvec.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝑈)
3 minvec.m . . . . 5 = (-g𝑈)
4 minvec.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑈)
5 minvec.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
6 minvec.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
7 minvec.w . . . . 5 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
8 minvec.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
9 minvec.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
10 minvec.r . . . . 5 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 24137 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
1211simp1d 1139 . . 3 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
1311simp2d 1140 . . 3 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
14 0re 10694 . . . 4 0 ∈ ℝ
1511simp3d 1141 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
16 breq1 5039 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → (𝑦𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
1716ralbidv 3126 . . . . 5 (𝑦 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑦𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
1817rspcev 3543 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤)
1914, 15, 18sylancr 590 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤)
20 infrecl 11672 . . 3 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2112, 13, 19, 20syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
221, 21eqeltrid 2856 1 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227   class class class wbr 5036   ↦ cmpt 5116  ran crn 5529  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  infcinf 8951  ℝcr 10587  0cc0 10588   < clt 10726   ≤ cle 10727  Basecbs 16554   ↾s cress 16555  TopOpenctopn 16766  -gcsg 18184  LSubSpclss 19784  normcnm 23291  ℂPreHilccph 23880  CMetSpccms 24045 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-0g 16786  df-topgen 16788  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-sbg 18187  df-lmod 19717  df-lss 19785  df-psmet 20171  df-xmet 20172  df-met 20173  df-bl 20174  df-mopn 20175  df-top 21607  df-topon 21624  df-topsp 21646  df-bases 21659  df-xms 23035  df-ms 23036  df-nm 23297  df-ngp 23298  df-nlm 23301  df-cph 23882 This theorem is referenced by:  minveclem2  24139  minveclem3b  24141  minveclem4  24145
 Copyright terms: Public domain W3C validator