MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem4c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem4c 25275
Description: Lemma for minvec 25286. The infimum of the distances to 𝐴 is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
minvec.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
minvec.n 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
minvec.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
minvec.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
minvec.w (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
minvec.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
minveclem4c (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑦, βˆ’   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝑁   πœ‘,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,π‘ˆ   𝑦,𝑋   𝑦,π‘Œ   𝑦,𝑆

Proof of Theorem minveclem4c
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.s . 2 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
2 minvec.x . . . . 5 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
3 minvec.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
4 minvec.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
5 minvec.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
6 minvec.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
7 minvec.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
8 minvec.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
9 minvec.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
10 minvec.r . . . . 5 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 25274 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
1211simp1d 1139 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ℝ)
1311simp2d 1140 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
14 0re 11213 . . . 4 0 ∈ ℝ
1511simp3d 1141 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀)
16 breq1 5141 . . . . . 6 (𝑦 = 0 β†’ (𝑦 ≀ 𝑀 ↔ 0 ≀ 𝑀))
1716ralbidv 3169 . . . . 5 (𝑦 = 0 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 𝑦 ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
1817rspcev 3604 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 𝑦 ≀ 𝑀)
1914, 15, 18sylancr 586 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 𝑦 ≀ 𝑀)
20 infrecl 12193 . . 3 ((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 𝑦 ≀ 𝑀) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2112, 13, 19, 20syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
221, 21eqeltrid 2829 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  ran crn 5667  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  infcinf 9432  β„cr 11105  0cc0 11106   < clt 11245   ≀ cle 11246  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  TopOpenctopn 17366  -gcsg 18855  LSubSpclss 20768  normcnm 24407  β„‚PreHilccph 25016  CMetSpccms 25182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-xms 24148  df-ms 24149  df-nm 24413  df-ngp 24414  df-nlm 24417  df-cph 25018
This theorem is referenced by:  minveclem2  25276  minveclem3b  25278  minveclem4  25282
  Copyright terms: Public domain W3C validator