Theorem minveclem4c 25545

Description: Lemma for minvec 25556. The infimum of the distances to 𝐴 is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
minvec.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
minveclem4c	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑦, −   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝑆

Proof of Theorem minveclem4c

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.s	. 2 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
2		minvec.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
3		minvec.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
4		minvec.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
5		minvec.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
6		minvec.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
7		minvec.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
8		minvec.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
9		minvec.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
10		minvec.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	minveclem1 25544	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
12	11	simp1d 1158	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ)
13	11	simp2d 1159	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
14		0re 11198	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	11	simp3d 1160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
16		breq1 5108	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
17	16	ralbidv 3188	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
18	17	rspcev 3584	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑤)
19	14, 15, 18	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑤)
20		infrecl 12188	. . 3 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
21	12, 13, 19, 20	syl3anc 1394	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
22	1, 21	eqeltrid 2869	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  ran crn 5653  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  infcinf 9389  ℝcr 11087  0cc0 11088   < clt 11231   ≤ cle 11232  Basecbs 17259   ↾_s cress 17280  TopOpenctopn 17464  -_gcsg 18992  LSubSpclss 21021  normcnm 24694  ℂPreHilccph 25286  CMetSpccms 25452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-0g 17484  df-topgen 17486  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-xms 24438  df-ms 24439  df-nm 24700  df-ngp 24701  df-nlm 24704  df-cph 25288

This theorem is referenced by:  minveclem2  25546  minveclem3b  25548  minveclem4  25552