Theorem minveclem4c 25358

Description: Lemma for minvec 25369. The infimum of the distances to 𝐴 is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
minvec.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
minveclem4c	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑦, −   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝑆

Proof of Theorem minveclem4c

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.s	. 2 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
2		minvec.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
3		minvec.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
4		minvec.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
5		minvec.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
6		minvec.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
7		minvec.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
8		minvec.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
9		minvec.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
10		minvec.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	minveclem1 25357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
12	11	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ)
13	11	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
14		0re 11120	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	11	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
16		breq1 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
17	16	ralbidv 3155	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
18	17	rspcev 3572	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑤)
19	14, 15, 18	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑤)
20		infrecl 12110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
21	12, 13, 19, 20	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
22	1, 21	eqeltrid 2835	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897  ∅c0 4282   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  ran crn 5620  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  infcinf 9331  ℝcr 11011  0cc0 11012   < clt 11152   ≤ cle 11153  Basecbs 17126   ↾_s cress 17147  TopOpenctopn 17331  -_gcsg 18854  LSubSpclss 20870  normcnm 24497  ℂPreHilccph 25099  CMetSpccms 25265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-0g 17351  df-topgen 17353  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-top 22815  df-topon 22832  df-topsp 22854  df-bases 22867  df-xms 24241  df-ms 24242  df-nm 24503  df-ngp 24504  df-nlm 24507  df-cph 25101

This theorem is referenced by:  minveclem2  25359  minveclem3b  25361  minveclem4  25365