Theorem minveclem4c 23592

Description: Lemma for minvec 23603. The infimum of the distances to 𝐴 is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
minvec.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
minveclem4c	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑦, −   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝑆

Proof of Theorem minveclem4c

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.s	. 2 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
2		minvec.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
3		minvec.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
4		minvec.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
5		minvec.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
6		minvec.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
7		minvec.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
8		minvec.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
9		minvec.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
10		minvec.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	minveclem1 23591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
12	11	simp1d 1178	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ)
13	11	simp2d 1179	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
14		0re 10357	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	11	simp3d 1180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
16		breq1 4875	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
17	16	ralbidv 3194	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
18	17	rspcev 3525	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑤)
19	14, 15, 18	sylancr 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑤)
20		infrecl 11334	. . 3 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
21	12, 13, 19, 20	syl3anc 1496	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
22	1, 21	syl5eqel 2909	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2998  ∀wral 3116  ∃wrex 3117   ⊆ wss 3797  ∅c0 4143   class class class wbr 4872   ↦ cmpt 4951  ran crn 5342  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  infcinf 8615  ℝcr 10250  0cc0 10251   < clt 10390   ≤ cle 10391  Basecbs 16221   ↾_s cress 16222  TopOpenctopn 16434  -_gcsg 17777  LSubSpclss 19287  normcnm 22750  ℂPreHilccph 23334  CMetSpccms 23499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-map 8123  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-sup 8616  df-inf 8617  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-xneg 12231  df-xadd 12232  df-xmul 12233  df-0g 16454  df-topgen 16456  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-sbg 17780  df-lmod 19220  df-lss 19288  df-psmet 20097  df-xmet 20098  df-met 20099  df-bl 20100  df-mopn 20101  df-top 21068  df-topon 21085  df-topsp 21107  df-bases 21120  df-xms 22494  df-ms 22495  df-nm 22756  df-ngp 22757  df-nlm 22760  df-cph 23336

This theorem is referenced by:  minveclem2  23593  minveclem3b  23595  minveclem4  23599