Theorem minvecolem4c 30880

Description: Lemma for minveco 30885. The infimum of the distances to 𝐴 is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
minvecolem4c	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem4c

Dummy variables 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.s	. 2 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
2		minveco.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		minveco.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
4		minveco.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
5		minveco.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
6		minveco.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
7		minveco.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
8		minveco.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
9		minveco.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
10		minveco.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
11		minveco.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minvecolem1 30875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
13	12	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ)
14	12	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
15		0re 11125	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
16	12	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
17		breq1 5098	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
18	17	ralbidv 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
19	18	rspcev 3573	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
20	15, 16, 19	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
21		infrecl 12115	. . 3 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
22	13, 14, 20, 21	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
23	1, 22	eqeltrid 2837	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ran crn 5622  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  infcinf 9336  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   < clt 11157   ≤ cle 11158   / cdiv 11785  ℕcn 12136  2c2 12191  ↑cexp 13975  MetOpencmopn 21290  BaseSetcba 30587   −_𝑣 cnsb 30590  norm_CVcnmcv 30591  IndMetcims 30592  SubSpcss 30722  CPreHil_OLDccphlo 30813  CBanccbn 30863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-seq 13916  df-exp 13976  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-grpo 30494  df-gid 30495  df-ginv 30496  df-gdiv 30497  df-ablo 30546  df-vc 30560  df-nv 30593  df-va 30596  df-ba 30597  df-sm 30598  df-0v 30599  df-vs 30600  df-nmcv 30601  df-ssp 30723  df-ph 30814  df-cbn 30864

This theorem is referenced by:  minvecolem4  30881