Theorem minvecolem4c 30728

Description: Lemma for minveco 30733. The infimum of the distances to 𝐴 is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
minvecolem4c	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem4c

Dummy variables 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.s	. 2 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
2		minveco.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		minveco.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
4		minveco.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
5		minveco.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
6		minveco.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
7		minveco.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
8		minveco.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
9		minveco.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
10		minveco.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
11		minveco.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minvecolem1 30723	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
13	12	simp1d 1139	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ)
14	12	simp2d 1140	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
15		0re 11241	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
16	12	simp3d 1141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
17		breq1 5147	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
18	17	ralbidv 3168	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
19	18	rspcev 3603	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
20	15, 16, 19	sylancr 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
21		infrecl 12221	. . 3 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
22	13, 14, 20, 21	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
23	1, 22	eqeltrid 2829	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∩ cin 3940   ⊆ wss 3941  ∅c0 4319   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  ran crn 5674  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  infcinf 9459  ℝcr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   < clt 11273   ≤ cle 11274   / cdiv 11896  ℕcn 12237  2c2 12292  ↑cexp 14053  MetOpencmopn 21268  BaseSetcba 30435   −_𝑣 cnsb 30438  norm_CVcnmcv 30439  IndMetcims 30440  SubSpcss 30570  CPreHil_OLDccphlo 30661  CBanccbn 30711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-grpo 30342  df-gid 30343  df-ginv 30344  df-gdiv 30345  df-ablo 30394  df-vc 30408  df-nv 30441  df-va 30444  df-ba 30445  df-sm 30446  df-0v 30447  df-vs 30448  df-nmcv 30449  df-ssp 30571  df-ph 30662  df-cbn 30712

This theorem is referenced by:  minvecolem4  30729