MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem4c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem4c 29863
Description: Lemma for minveco 29868. The infimum of the distances to 𝐴 is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
minveco.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
minveco.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
minveco.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
minveco.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
minveco.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
minveco.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ)
minveco.1 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem4c (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   πœ‘,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,π‘ˆ   𝑦,π‘Š   𝑛,𝑋   𝑛,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   π‘ˆ(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   π‘Š(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem4c
Dummy variables π‘₯ 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.s . 2 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
2 minveco.x . . . . 5 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 minveco.m . . . . 5 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
4 minveco.n . . . . 5 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
5 minveco.y . . . . 5 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
6 minveco.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
7 minveco.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
8 minveco.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
9 minveco.d . . . . 5 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
10 minveco.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
11 minveco.r . . . . 5 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem1 29858 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
1312simp1d 1143 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ℝ)
1412simp2d 1144 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
15 0re 11162 . . . 4 0 ∈ ℝ
1612simp3d 1145 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀)
17 breq1 5109 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ 0 ≀ 𝑀))
1817ralbidv 3171 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
1918rspcev 3580 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
2015, 16, 19sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
21 infrecl 12142 . . 3 ((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2213, 14, 20, 21syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
231, 22eqeltrid 2838 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  infcinf 9382  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   ≀ cle 11195   / cdiv 11817  β„•cn 12158  2c2 12213  β†‘cexp 13973  MetOpencmopn 20802  BaseSetcba 29570   βˆ’π‘£ cnsb 29573  normCVcnmcv 29574  IndMetcims 29575  SubSpcss 29705  CPreHilOLDccphlo 29796  CBanccbn 29846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ssp 29706  df-ph 29797  df-cbn 29847
This theorem is referenced by:  minvecolem4  29864
  Copyright terms: Public domain W3C validator