MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem4c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem4c 28665
Description: Lemma for minveco 28670. The infimum of the distances to 𝐴 is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem4c (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem4c
Dummy variables 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.s . 2 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
2 minveco.x . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 minveco.m . . . . 5 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
4 minveco.n . . . . 5 𝑁 = (normCV𝑈)
5 minveco.y . . . . 5 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
6 minveco.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
7 minveco.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
8 minveco.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
9 minveco.d . . . . 5 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
10 minveco.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
11 minveco.r . . . . 5 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem1 28660 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
1312simp1d 1139 . . 3 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
1412simp2d 1140 . . 3 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
15 0re 10636 . . . 4 0 ∈ ℝ
1612simp3d 1141 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
17 breq1 5036 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
1817ralbidv 3165 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
1918rspcev 3574 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
2015, 16, 19sylancr 590 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
21 infrecl 11614 . . 3 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2213, 14, 20, 21syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
231, 22eqeltrid 2897 1 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  cin 3883  wss 3884  c0 4246   class class class wbr 5033  cmpt 5113  ran crn 5524  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  infcinf 8893  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668  cle 10669   / cdiv 11290  cn 11629  2c2 11684  cexp 13429  MetOpencmopn 20084  BaseSetcba 28372  𝑣 cnsb 28375  normCVcnmcv 28376  IndMetcims 28377  SubSpcss 28507  CPreHilOLDccphlo 28598  CBanccbn 28648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-grpo 28279  df-gid 28280  df-ginv 28281  df-gdiv 28282  df-ablo 28331  df-vc 28345  df-nv 28378  df-va 28381  df-ba 28382  df-sm 28383  df-0v 28384  df-vs 28385  df-nmcv 28386  df-ssp 28508  df-ph 28599  df-cbn 28649
This theorem is referenced by:  minvecolem4  28666
  Copyright terms: Public domain W3C validator