MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovollb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ovollb 24987
Description: The outer volume is a lower bound on the sum of all interval coverings of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ovollb.1 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
Assertion
Ref Expression
ovollb ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) β†’ (vol*β€˜π΄) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
Proof of Theorem ovollb
Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))
2 ioof 13420 . . . . . . 7 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
3 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
4 inss2 4228 . . . . . . . . 9 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
5 rexpssxrxp 11255 . . . . . . . . 9 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
64, 5sstri 3990 . . . . . . . 8 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
7 fss 6731 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
83, 6, 7sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
9 fco 6738 . . . . . . 7 (((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
102, 8, 9sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
1110frnd 6722 . . . . 5 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) β†’ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† 𝒫 ℝ)
12 sspwuni 5102 . . . . 5 (ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† 𝒫 ℝ ↔ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
1311, 12sylib 217 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
141, 13sstrd 3991 . . 3 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
15 eqid 2732 . . . 4 {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
1615ovolval 24981 . . 3 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (vol*β€˜π΄) = inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
1714, 16syl 17 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) β†’ (vol*β€˜π΄) = inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
18 ssrab2 4076 . . 3 {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} βŠ† ℝ*
19 ovollb.1 . . . 4 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
2015, 19elovolmr 24984 . . 3 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))})
21 infxrlb 13309 . . 3 (({𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} βŠ† ℝ* ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}) β†’ inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
2218, 20, 21sylancr 587 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) β†’ inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
2317, 22eqbrtrd 5169 1 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) β†’ (vol*β€˜π΄) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  supcsup 9431  infcinf 9432  β„cr 11105  1c1 11107   + caddc 11109  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  (,)cioo 13320  seqcseq 13962  abscabs 15177  vol*covol 24970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-ovol 24972
This theorem is referenced by:  ovollb2lem  24996  ovolunlem1  25005  ovoliunlem1  25010  ovoliunlem2  25011  ovolscalem1  25021  uniioovol  25087  uniioombllem3  25093  uniioombllem4  25094  uniioombllem5  25095  mblfinlem3  36515  mblfinlem4  36516  ismblfin  36517
  Copyright terms: Public domain W3C validator