MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscrngd 20221
Description: Properties that determine a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isringd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
isringd.p (𝜑+ = (+g𝑅))
isringd.t (𝜑· = (.r𝑅))
isringd.g (𝜑𝑅 ∈ Grp)
isringd.c ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
isringd.a ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
isringd.d ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
isringd.e ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
isringd.u (𝜑1𝐵)
isringd.i ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
isringd.h ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
iscrngd.c ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
Assertion
Ref Expression
iscrngd (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦,𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧)   1 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem iscrngd
StepHypRef Expression
1 isringd.b . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
2 isringd.p . . 3 (𝜑+ = (+g𝑅))
3 isringd.t . . 3 (𝜑· = (.r𝑅))
4 isringd.g . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
5 isringd.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
6 isringd.a . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
7 isringd.d . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
8 isringd.e . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
9 isringd.u . . 3 (𝜑1𝐵)
10 isringd.i . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
11 isringd.h . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11isringd 20220 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
13 eqid 2728 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
14 eqid 2728 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1513, 14mgpbas 20073 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
161, 15eqtrdi 2784 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17 eqid 2728 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1813, 17mgpplusg 20071 . . . 4 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
193, 18eqtrdi 2784 . . 3 (𝜑· = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
2016, 19, 5, 6, 9, 10, 11ismndd 18709 . . 3 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
21 iscrngd.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
2216, 19, 20, 21iscmnd 19742 . 2 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2313iscrng 20173 . 2 (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
2412, 22, 23sylanbrc 582 1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  +gcplusg 17226  .rcmulr 17227  Grpcgrp 18883  CMndccmn 19728  mulGrpcmgp 20067  Ringcrg 20166  CRingccrg 20167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-cmn 19730  df-mgp 20068  df-ring 20168  df-cring 20169
This theorem is referenced by:  cncrng  21309  cncrngOLD  21310  rloccring  32978
  Copyright terms: Public domain W3C validator