![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > iscrngd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Properties that determine a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
isringd.b | โข (๐ โ ๐ต = (Baseโ๐ )) |
isringd.p | โข (๐ โ + = (+gโ๐ )) |
isringd.t | โข (๐ โ ยท = (.rโ๐ )) |
isringd.g | โข (๐ โ ๐ โ Grp) |
isringd.c | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ ๐ต) |
isringd.a | โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต)) โ ((๐ฅ ยท ๐ฆ) ยท ๐ง) = (๐ฅ ยท (๐ฆ ยท ๐ง))) |
isringd.d | โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต)) โ (๐ฅ ยท (๐ฆ + ๐ง)) = ((๐ฅ ยท ๐ฆ) + (๐ฅ ยท ๐ง))) |
isringd.e | โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต)) โ ((๐ฅ + ๐ฆ) ยท ๐ง) = ((๐ฅ ยท ๐ง) + (๐ฆ ยท ๐ง))) |
isringd.u | โข (๐ โ 1 โ ๐ต) |
isringd.i | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต) โ ( 1 ยท ๐ฅ) = ๐ฅ) |
isringd.h | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต) โ (๐ฅ ยท 1 ) = ๐ฅ) |
iscrngd.c | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) = (๐ฆ ยท ๐ฅ)) |
Ref | Expression |
---|---|
iscrngd | โข (๐ โ ๐ โ CRing) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | isringd.b | . . 3 โข (๐ โ ๐ต = (Baseโ๐ )) | |
2 | isringd.p | . . 3 โข (๐ โ + = (+gโ๐ )) | |
3 | isringd.t | . . 3 โข (๐ โ ยท = (.rโ๐ )) | |
4 | isringd.g | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Grp) | |
5 | isringd.c | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ ๐ต) | |
6 | isringd.a | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต)) โ ((๐ฅ ยท ๐ฆ) ยท ๐ง) = (๐ฅ ยท (๐ฆ ยท ๐ง))) | |
7 | isringd.d | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต)) โ (๐ฅ ยท (๐ฆ + ๐ง)) = ((๐ฅ ยท ๐ฆ) + (๐ฅ ยท ๐ง))) | |
8 | isringd.e | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต)) โ ((๐ฅ + ๐ฆ) ยท ๐ง) = ((๐ฅ ยท ๐ง) + (๐ฆ ยท ๐ง))) | |
9 | isringd.u | . . 3 โข (๐ โ 1 โ ๐ต) | |
10 | isringd.i | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต) โ ( 1 ยท ๐ฅ) = ๐ฅ) | |
11 | isringd.h | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต) โ (๐ฅ ยท 1 ) = ๐ฅ) | |
12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 | isringd 20017 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
13 | eqid 2733 | . . . . 5 โข (mulGrpโ๐ ) = (mulGrpโ๐ ) | |
14 | eqid 2733 | . . . . 5 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐ ) | |
15 | 13, 14 | mgpbas 19910 | . . . 4 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ(mulGrpโ๐ )) |
16 | 1, 15 | eqtrdi 2789 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต = (Baseโ(mulGrpโ๐ ))) |
17 | eqid 2733 | . . . . 5 โข (.rโ๐ ) = (.rโ๐ ) | |
18 | 13, 17 | mgpplusg 19908 | . . . 4 โข (.rโ๐ ) = (+gโ(mulGrpโ๐ )) |
19 | 3, 18 | eqtrdi 2789 | . . 3 โข (๐ โ ยท = (+gโ(mulGrpโ๐ ))) |
20 | 16, 19, 5, 6, 9, 10, 11 | ismndd 18586 | . . 3 โข (๐ โ (mulGrpโ๐ ) โ Mnd) |
21 | iscrngd.c | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) = (๐ฆ ยท ๐ฅ)) | |
22 | 16, 19, 20, 21 | iscmnd 19584 | . 2 โข (๐ โ (mulGrpโ๐ ) โ CMnd) |
23 | 13 | iscrng 19979 | . 2 โข (๐ โ CRing โ (๐ โ Ring โง (mulGrpโ๐ ) โ CMnd)) |
24 | 12, 22, 23 | sylanbrc 584 | 1 โข (๐ โ ๐ โ CRing) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โcfv 6500 (class class class)co 7361 Basecbs 17091 +gcplusg 17141 .rcmulr 17142 Grpcgrp 18756 CMndccmn 19570 mulGrpcmgp 19904 Ringcrg 19972 CRingccrg 19973 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-iun 4960 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-om 7807 df-2nd 7926 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-er 8654 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-nn 12162 df-2 12224 df-sets 17044 df-slot 17062 df-ndx 17074 df-base 17092 df-plusg 17154 df-mgm 18505 df-sgrp 18554 df-mnd 18565 df-cmn 19572 df-mgp 19905 df-ring 19974 df-cring 19975 |
This theorem is referenced by: cncrng 20841 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |