MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscrngd 20018
Description: Properties that determine a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isringd.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
isringd.p (๐œ‘ โ†’ + = (+gโ€˜๐‘…))
isringd.t (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
isringd.g (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
isringd.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
isringd.a ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
isringd.d ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)))
isringd.e ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
isringd.u (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
isringd.i ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
isringd.h ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท 1 ) = ๐‘ฅ)
iscrngd.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ))
Assertion
Ref Expression
iscrngd (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ, 1   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ต   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   + (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)   1 (๐‘ฆ,๐‘ง)

Proof of Theorem iscrngd
StepHypRef Expression
1 isringd.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
2 isringd.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ + = (+gโ€˜๐‘…))
3 isringd.t . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
4 isringd.g . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
5 isringd.c . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
6 isringd.a . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
7 isringd.d . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)))
8 isringd.e . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
9 isringd.u . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
10 isringd.i . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
11 isringd.h . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท 1 ) = ๐‘ฅ)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11isringd 20017 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
13 eqid 2733 . . . . 5 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
14 eqid 2733 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
1513, 14mgpbas 19910 . . . 4 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
161, 15eqtrdi 2789 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
17 eqid 2733 . . . . 5 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
1813, 17mgpplusg 19908 . . . 4 (.rโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
193, 18eqtrdi 2789 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
2016, 19, 5, 6, 9, 10, 11ismndd 18586 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd)
21 iscrngd.c . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ))
2216, 19, 20, 21iscmnd 19584 . 2 (๐œ‘ โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd)
2313iscrng 19979 . 2 (๐‘… โˆˆ CRing โ†” (๐‘… โˆˆ Ring โˆง (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd))
2412, 22, 23sylanbrc 584 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  Grpcgrp 18756  CMndccmn 19570  mulGrpcmgp 19904  Ringcrg 19972  CRingccrg 19973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ring 19974  df-cring 19975
This theorem is referenced by:  cncrng  20841
  Copyright terms: Public domain W3C validator