Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscrngd 19400
 Description: Properties that determine a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isringd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
isringd.p (𝜑+ = (+g𝑅))
isringd.t (𝜑· = (.r𝑅))
isringd.g (𝜑𝑅 ∈ Grp)
isringd.c ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
isringd.a ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
isringd.d ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
isringd.e ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
isringd.u (𝜑1𝐵)
isringd.i ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
isringd.h ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
iscrngd.c ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
Assertion
Ref Expression
iscrngd (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦,𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧)   1 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem iscrngd
StepHypRef Expression
1 isringd.b . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
2 isringd.p . . 3 (𝜑+ = (+g𝑅))
3 isringd.t . . 3 (𝜑· = (.r𝑅))
4 isringd.g . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
5 isringd.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
6 isringd.a . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
7 isringd.d . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
8 isringd.e . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
9 isringd.u . . 3 (𝜑1𝐵)
10 isringd.i . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
11 isringd.h . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11isringd 19399 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
13 eqid 2759 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
14 eqid 2759 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1513, 14mgpbas 19306 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
161, 15eqtrdi 2810 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17 eqid 2759 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1813, 17mgpplusg 19304 . . . 4 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
193, 18eqtrdi 2810 . . 3 (𝜑· = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
2016, 19, 5, 6, 9, 10, 11ismndd 17992 . . 3 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
21 iscrngd.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
2216, 19, 20, 21iscmnd 18979 . 2 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2313iscrng 19365 . 2 (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
2412, 22, 23sylanbrc 587 1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Basecbs 16534  +gcplusg 16616  .rcmulr 16617  Grpcgrp 18162  CMndccmn 18966  mulGrpcmgp 19300  Ringcrg 19358  CRingccrg 19359 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-plusg 16629  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-cmn 18968  df-mgp 19301  df-ring 19360  df-cring 19361 This theorem is referenced by:  cncrng  20180
 Copyright terms: Public domain W3C validator