Theorem iscrngd 20201

Description: Properties that determine a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isringd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
isringd.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑅))
isringd.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
isringd.g	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
isringd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
isringd.a	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
isringd.d	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
isringd.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
isringd.u	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
isringd.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
isringd.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
iscrngd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
iscrngd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦,𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧)   1 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem iscrngd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isringd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		isringd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑅))
3		isringd.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
4		isringd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		isringd.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
6		isringd.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
7		isringd.d	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
8		isringd.e	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
9		isringd.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
10		isringd.i	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
11		isringd.h	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	isringd 20200	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
14		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	13, 14	mgpbas 20054	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
16	1, 15	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18	13, 17	mgpplusg 20053	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
19	3, 18	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
20	16, 19, 5, 6, 9, 10, 11	ismndd 18683	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
21		iscrngd.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
22	16, 19, 20, 21	iscmnd 19724	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
23	13	iscrng 20149	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
24	12, 22, 23	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  Grpcgrp 18865  CMndccmn 19710  mulGrpcmgp 20049  Ringcrg 20142  CRingccrg 20143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-cmn 19712  df-mgp 20050  df-ring 20144  df-cring 20145

This theorem is referenced by:  cncrng  21300  cncrngOLD  21301  rloccring  33221