MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscrngd 18941
Description: Properties that determine a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isringd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
isringd.p (𝜑+ = (+g𝑅))
isringd.t (𝜑· = (.r𝑅))
isringd.g (𝜑𝑅 ∈ Grp)
isringd.c ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
isringd.a ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
isringd.d ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
isringd.e ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
isringd.u (𝜑1𝐵)
isringd.i ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
isringd.h ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
iscrngd.c ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
Assertion
Ref Expression
iscrngd (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦,𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧)   1 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem iscrngd
StepHypRef Expression
1 isringd.b . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
2 isringd.p . . 3 (𝜑+ = (+g𝑅))
3 isringd.t . . 3 (𝜑· = (.r𝑅))
4 isringd.g . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
5 isringd.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
6 isringd.a . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
7 isringd.d . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
8 isringd.e . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
9 isringd.u . . 3 (𝜑1𝐵)
10 isringd.i . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
11 isringd.h . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11isringd 18940 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
13 eqid 2826 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
14 eqid 2826 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1513, 14mgpbas 18850 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
161, 15syl6eq 2878 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17 eqid 2826 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1813, 17mgpplusg 18848 . . . 4 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
193, 18syl6eq 2878 . . 3 (𝜑· = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
2016, 19, 5, 6, 9, 10, 11ismndd 17667 . . 3 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
21 iscrngd.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
2216, 19, 20, 21iscmnd 18559 . 2 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2313iscrng 18909 . 2 (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
2412, 22, 23sylanbrc 580 1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  cfv 6124  (class class class)co 6906  Basecbs 16223  +gcplusg 16306  .rcmulr 16307  Grpcgrp 17777  CMndccmn 18547  mulGrpcmgp 18844  Ringcrg 18902  CRingccrg 18903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-plusg 16319  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-cmn 18549  df-mgp 18845  df-ring 18904  df-cring 18905
This theorem is referenced by:  cncrng  20128
  Copyright terms: Public domain W3C validator