MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscrngd 19258
Description: Properties that determine a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isringd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
isringd.p (𝜑+ = (+g𝑅))
isringd.t (𝜑· = (.r𝑅))
isringd.g (𝜑𝑅 ∈ Grp)
isringd.c ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
isringd.a ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
isringd.d ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
isringd.e ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
isringd.u (𝜑1𝐵)
isringd.i ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
isringd.h ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
iscrngd.c ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
Assertion
Ref Expression
iscrngd (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦,𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧)   1 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem iscrngd
StepHypRef Expression
1 isringd.b . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
2 isringd.p . . 3 (𝜑+ = (+g𝑅))
3 isringd.t . . 3 (𝜑· = (.r𝑅))
4 isringd.g . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
5 isringd.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
6 isringd.a . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
7 isringd.d . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
8 isringd.e . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
9 isringd.u . . 3 (𝜑1𝐵)
10 isringd.i . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
11 isringd.h . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11isringd 19257 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
13 eqid 2825 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
14 eqid 2825 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1513, 14mgpbas 19167 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
161, 15syl6eq 2876 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17 eqid 2825 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1813, 17mgpplusg 19165 . . . 4 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
193, 18syl6eq 2876 . . 3 (𝜑· = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
2016, 19, 5, 6, 9, 10, 11ismndd 17923 . . 3 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
21 iscrngd.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
2216, 19, 20, 21iscmnd 18841 . 2 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2313iscrng 19226 . 2 (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
2412, 22, 23sylanbrc 583 1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6351  (class class class)co 7151  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  Grpcgrp 18035  CMndccmn 18828  mulGrpcmgp 19161  Ringcrg 19219  CRingccrg 19220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-cmn 18830  df-mgp 19162  df-ring 19221  df-cring 19222
This theorem is referenced by:  cncrng  20482
  Copyright terms: Public domain W3C validator