MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isringd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isringd 19631
Description: Properties that determine a ring. (Contributed by NM, 2-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
isringd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
isringd.p (𝜑+ = (+g𝑅))
isringd.t (𝜑· = (.r𝑅))
isringd.g (𝜑𝑅 ∈ Grp)
isringd.c ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
isringd.a ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
isringd.d ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
isringd.e ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
isringd.u (𝜑1𝐵)
isringd.i ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
isringd.h ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
Assertion
Ref Expression
isringd (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦,𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧)   1 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isringd
StepHypRef Expression
1 isringd.g . 2 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
2 isringd.b . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
3 eqid 2738 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
4 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
53, 4mgpbas 19538 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
62, 5eqtrdi 2795 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7 isringd.t . . . 4 (𝜑· = (.r𝑅))
8 eqid 2738 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
93, 8mgpplusg 19536 . . . 4 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
107, 9eqtrdi 2795 . . 3 (𝜑· = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
11 isringd.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
12 isringd.a . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
13 isringd.u . . 3 (𝜑1𝐵)
14 isringd.i . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
15 isringd.h . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
166, 10, 11, 12, 13, 14, 15ismndd 18223 . 2 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
172eleq2d 2824 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
182eleq2d 2824 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
192eleq2d 2824 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (Base‘𝑅)))
2017, 18, 193anbi123d 1438 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))))
2120biimpar 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵))
22 isringd.d . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
237adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → · = (.r𝑅))
24 eqidd 2739 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑥 = 𝑥)
25 isringd.p . . . . . . . 8 (𝜑+ = (+g𝑅))
2625oveqdr 7260 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦(+g𝑅)𝑧))
2723, 24, 26oveq123d 7253 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
2825adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → + = (+g𝑅))
297oveqdr 7260 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r𝑅)𝑦))
307oveqdr 7260 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · 𝑧) = (𝑥(.r𝑅)𝑧))
3128, 29, 30oveq123d 7253 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)))
3222, 27, 313eqtr3d 2786 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)))
33 isringd.e . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
3425oveqdr 7260 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g𝑅)𝑦))
35 eqidd 2739 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧 = 𝑧)
3623, 34, 35oveq123d 7253 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧))
377oveqdr 7260 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦 · 𝑧) = (𝑦(.r𝑅)𝑧))
3828, 30, 37oveq123d 7253 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
3933, 36, 383eqtr3d 2786 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
4032, 39jca 515 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
4121, 40syldan 594 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
4241ralrimivvva 3114 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
43 eqid 2738 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
444, 3, 43, 8isring 19594 . 2 (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))))
451, 16, 42, 44syl3anbrc 1345 1 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2111  wral 3062  cfv 6398  (class class class)co 7232  Basecbs 16788  +gcplusg 16830  .rcmulr 16831  Mndcmnd 18201  Grpcgrp 18393  mulGrpcmgp 19532  Ringcrg 19590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-om 7664  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-er 8412  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-nn 11856  df-2 11918  df-sets 16745  df-slot 16763  df-ndx 16773  df-base 16789  df-plusg 16843  df-mgm 18142  df-sgrp 18191  df-mnd 18202  df-mgp 19533  df-ring 19592
This theorem is referenced by:  iscrngd  19632  imasring  19665  opprring  19677  issubrg2  19848  psrring  20963  matring  21367  erngdvlem3  38771  erngdvlem3-rN  38779  mendring  40753
  Copyright terms: Public domain W3C validator