Theorem ringlz 20096

Description: The zero of a unital ring is a left-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringz.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringlz	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem ringlz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 20051	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		ringz.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ringz.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 18845	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6	2, 5, 3	grplid 18847	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
7	1, 4, 6	syl2anc2 586	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
8	7	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
9	8	oveq1d 7418	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 (+g‘𝑅) 0 ) · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
10	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
12		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	11, 11, 12	3jca 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14		ringz.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
15	2, 5, 14	ringdir 20071	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (( 0 (+g‘𝑅) 0 ) · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)))
16	13, 15	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 (+g‘𝑅) 0 ) · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)))
17	1	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
18		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
19	2, 14	ringcl 20063	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)
20	18, 11, 12, 19	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)
21	2, 5, 3	grprid 18848	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ) = ( 0 · 𝑋))
22	21	eqcomd 2739	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ))
23	17, 20, 22	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ))
24	9, 16, 23	3eqtr3d 2781	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ))
25	2, 5	grplcan 18880	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)) → ((( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ) ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
26	17, 20, 11, 20, 25	syl13anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g‘𝑅) 0 ) ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
27	24, 26	mpbid 231	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403  Basecbs 17139  +_gcplusg 17192  ._rcmulr 17193  0_gc0g 17380  Grpcgrp 18814  Ringcrg 20046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-2 12270  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-plusg 17205  df-0g 17382  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-grp 18817  df-minusg 18818  df-mgp 19979  df-ring 20048

This theorem is referenced by:  ringsrg  20098  ring1eq0  20099  ringnegl  20103  mulgass2  20110  gsumdixp  20120  dvdsr01  20173  0unit  20198  irredn0  20225  drngmul0or  20331  isdrngd  20335  cntzsubr  20385  cntzsdrg  20405  isabvd  20415  domneq0  20899  frlmphllem  21318  psrlidm  21504  mplsubrglem  21544  mplmonmul  21572  evlslem4  21618  evlslem3  21624  evlslem6  21625  mhpmulcl  21673  coe1tmmul  21780  cply1mul  21799  mamulid  21924  dmatmul  21980  scmatscm  21996  1mavmul  22031  mdetdiaglem  22081  mdetr0  22088  mdegmullem  25577  coe1mul3  25598  fta1glem1  25664  dvdschrmulg  32354  rmfsupp2  32361  elrspunidl  32503  elrspunsn  32504  drngidl  32508  evls1fpws  32595  fedgmullem1  32658  lflsc0N  37890  hdmapinvlem3  40728  hdmapinvlem4  40729  fldhmf1  40892  ringlzd  41033  evlsbagval  41087  mnringmulrcld  42919  zrrnghm  46649  zlidlring  46727  rmsupp0  46945  ply1mulgsumlem2  46969