Theorem ringlz 20316

Description: The zero of a unital ring is a left-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.) (Proof shortened by AV, 30-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringz.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringlz	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem ringlz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringrng 20308	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
2		ringz.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ringz.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		ringz.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	2, 3, 4	rnglz 20192	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )
6	1, 5	sylan 579	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  Rngcrng 20179  Ringcrg 20260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262

This theorem is referenced by:  ringlzd  20318  ringsrg  20320  ring1eq0  20321  ringnegl  20325  mulgass2  20332  gsumdixp  20342  dvdsr01  20397  0unit  20422  irredn0  20449  zrrnghm  20562  cntzsubr  20634  domneq0  20730  drngmul0orOLD  20783  isdrngd  20787  cntzsdrg  20825  isabvd  20835  dvdschrmulg  21566  frlmphllem  21823  psrlidm  22005  mplsubrglem  22047  mplmonmul  22077  evlslem4  22123  evlslem3  22127  evlslem6  22128  coe1tmmul  22301  cply1mul  22321  evls1fpws  22394  mamulid  22468  dmatmul  22524  scmatscm  22540  1mavmul  22575  mdetdiaglem  22625  mdetr0  22632  mdegmullem  26137  coe1mul3  26158  fta1glem1  26227  rmfsupp2  33218  elrspunidl  33421  elrspunsn  33422  drngidl  33426  fedgmullem1  33642  lflsc0N  39039  hdmapinvlem3  41877  hdmapinvlem4  41878  fldhmf1  42047  evlsbagval  42521  mnringmulrcld  44197  zlidlring  47957  rmsupp0  48093  ply1mulgsumlem2  48116