MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringlz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringlz 20019
Description: The zero of a unital ring is a left-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
ringz.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringz.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
ringz.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
ringlz ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) = 0 )

Proof of Theorem ringlz
StepHypRef Expression
1 ringgrp 19977 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
2 ringz.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 ringz.z . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐‘…)
42, 3grpidcl 18786 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Grp โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
5 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
62, 5, 3grplid 18788 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 0 โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
71, 4, 6syl2anc2 586 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
87adantr 482 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
98oveq1d 7376 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) ยท ๐‘‹) = ( 0 ยท ๐‘‹))
101, 4syl 17 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
1110adantr 482 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
12 simpr 486 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
1311, 11, 123jca 1129 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต))
14 ringz.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
152, 5, 14ringdir 19996 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ( 0 โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) ยท ๐‘‹) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)))
1613, 15syldan 592 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) ยท ๐‘‹) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)))
171adantr 482 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
18 simpl 484 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
192, 14ringcl 19989 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
2018, 11, 12, 19syl3anc 1372 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
212, 5, 3grprid 18789 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ) = ( 0 ยท ๐‘‹))
2221eqcomd 2739 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ))
2317, 20, 22syl2anc 585 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ))
249, 16, 233eqtr3d 2781 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ))
252, 5grplcan 18817 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ) โ†” ( 0 ยท ๐‘‹) = 0 ))
2617, 20, 11, 20, 25syl13anc 1373 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ) โ†” ( 0 ยท ๐‘‹) = 0 ))
2724, 26mpbid 231 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  Ringcrg 19972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mgp 19905  df-ring 19974
This theorem is referenced by:  ringsrg  20021  ring1eq0  20022  ringnegl  20026  mulgass2  20033  gsumdixp  20041  dvdsr01  20092  0unit  20117  irredn0  20142  drngmul0or  20245  isdrngd  20249  cntzsubr  20298  cntzsdrg  20312  isabvd  20322  domneq0  20790  frlmphllem  21209  psrlidm  21395  mplsubrglem  21433  mplmonmul  21460  evlslem4  21507  evlslem3  21513  evlslem6  21514  mhpmulcl  21562  coe1tmmul  21671  cply1mul  21688  mamulid  21813  dmatmul  21869  scmatscm  21885  1mavmul  21920  mdetdiaglem  21970  mdetr0  21977  mdegmullem  25466  coe1mul3  25487  fta1glem1  25553  dvdschrmulg  32122  rmfsupp2  32129  elrspunidl  32258  evls1fpws  32327  fedgmullem1  32388  lflsc0N  37595  hdmapinvlem3  40433  hdmapinvlem4  40434  fldhmf1  40597  evlsbagval  40795  mnringmulrcld  42600  zrrnghm  46305  zlidlring  46316  rmsupp0  46534  ply1mulgsumlem2  46558
  Copyright terms: Public domain W3C validator