Theorem ringlz 20265

Description: The zero of a unital ring is a left-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.) (Proof shortened by AV, 30-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringz.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringlz	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem ringlz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringrng 20257	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
2		ringz.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ringz.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		ringz.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	2, 3, 4	rnglz 20137	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )
6	1, 5	sylan 581	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393  Rngcrng 20124  Ringcrg 20205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207

This theorem is referenced by:  ringlzd  20267  ringsrg  20269  ring1eq0  20270  ringnegl  20274  mulgass2  20281  gsumdixp  20289  dvdsr01  20342  0unit  20367  irredn0  20394  zrrnghm  20504  cntzsubr  20574  domneq0  20676  drngmul0orOLD  20729  isdrngd  20733  cntzsdrg  20770  isabvd  20780  dvdschrmulg  21518  frlmphllem  21770  psrlidm  21950  mplsubrglem  21992  mplmonmul  22024  evlslem4  22064  evlslem3  22068  evlslem6  22069  coe1tmmul  22252  cply1mul  22271  evls1fpws  22344  mamulid  22416  dmatmul  22472  scmatscm  22488  1mavmul  22523  mdetdiaglem  22573  mdetr0  22580  mdegmullem  26053  coe1mul3  26074  fta1glem1  26143  rmfsupp2  33314  elrspunidl  33503  elrspunsn  33504  drngidl  33508  fedgmullem1  33789  lflsc0N  39543  hdmapinvlem3  42380  hdmapinvlem4  42381  fldhmf1  42543  evlsbagval  43016  mnringmulrcld  44673  zlidlring  48722  rmsupp0  48856  ply1mulgsumlem2  48875