MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringlz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringlz 20106
Description: The zero of a unital ring is a left-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
ringz.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringz.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
ringz.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
ringlz ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) = 0 )

Proof of Theorem ringlz
StepHypRef Expression
1 ringgrp 20060 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
2 ringz.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 ringz.z . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐‘…)
42, 3grpidcl 18849 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Grp โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
5 eqid 2732 . . . . . . 7 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
62, 5, 3grplid 18851 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 0 โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
71, 4, 6syl2anc2 585 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
87adantr 481 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
98oveq1d 7423 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) ยท ๐‘‹) = ( 0 ยท ๐‘‹))
101, 4syl 17 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
1110adantr 481 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
12 simpr 485 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
1311, 11, 123jca 1128 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต))
14 ringz.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
152, 5, 14ringdir 20081 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ( 0 โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) ยท ๐‘‹) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)))
1613, 15syldan 591 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 (+gโ€˜๐‘…) 0 ) ยท ๐‘‹) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)))
171adantr 481 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
18 simpl 483 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
192, 14ringcl 20072 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
2018, 11, 12, 19syl3anc 1371 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
212, 5, 3grprid 18852 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ) = ( 0 ยท ๐‘‹))
2221eqcomd 2738 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ))
2317, 20, 22syl2anc 584 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ))
249, 16, 233eqtr3d 2780 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ))
252, 5grplcan 18884 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง 0 โˆˆ ๐ต โˆง ( 0 ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ) โ†” ( 0 ยท ๐‘‹) = 0 ))
2617, 20, 11, 20, 25syl13anc 1372 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)( 0 ยท ๐‘‹)) = (( 0 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…) 0 ) โ†” ( 0 ยท ๐‘‹) = 0 ))
2724, 26mpbid 231 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  Ringcrg 20055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mgp 19987  df-ring 20057
This theorem is referenced by:  ringsrg  20108  ring1eq0  20109  ringnegl  20113  mulgass2  20120  gsumdixp  20130  dvdsr01  20184  0unit  20209  irredn0  20236  cntzsubr  20352  drngmul0or  20385  isdrngd  20389  cntzsdrg  20417  isabvd  20427  domneq0  20912  frlmphllem  21334  psrlidm  21522  mplsubrglem  21562  mplmonmul  21590  evlslem4  21636  evlslem3  21642  evlslem6  21643  mhpmulcl  21691  coe1tmmul  21798  cply1mul  21817  mamulid  21942  dmatmul  21998  scmatscm  22014  1mavmul  22049  mdetdiaglem  22099  mdetr0  22106  mdegmullem  25595  coe1mul3  25616  fta1glem1  25682  dvdschrmulg  32375  rmfsupp2  32382  elrspunidl  32541  elrspunsn  32542  drngidl  32546  evls1fpws  32641  fedgmullem1  32709  lflsc0N  37948  hdmapinvlem3  40786  hdmapinvlem4  40787  fldhmf1  40950  ringlzd  41087  evlsbagval  41140  mnringmulrcld  42977  zrrnghm  46706  zlidlring  46816  rmsupp0  47034  ply1mulgsumlem2  47058
  Copyright terms: Public domain W3C validator