![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ringlz | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The zero of a unital ring is a left-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.) |
Ref | Expression |
---|---|
ringz.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
ringz.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
ringz.z | โข 0 = (0gโ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
ringlz | โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ( 0 ยท ๐) = 0 ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ringgrp 20061 | . . . . . 6 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Grp) | |
2 | ringz.b | . . . . . . 7 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
3 | ringz.z | . . . . . . 7 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
4 | 2, 3 | grpidcl 18850 | . . . . . 6 โข (๐ โ Grp โ 0 โ ๐ต) |
5 | eqid 2733 | . . . . . . 7 โข (+gโ๐ ) = (+gโ๐ ) | |
6 | 2, 5, 3 | grplid 18852 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Grp โง 0 โ ๐ต) โ ( 0 (+gโ๐ ) 0 ) = 0 ) |
7 | 1, 4, 6 | syl2anc2 586 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ ( 0 (+gโ๐ ) 0 ) = 0 ) |
8 | 7 | adantr 482 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ( 0 (+gโ๐ ) 0 ) = 0 ) |
9 | 8 | oveq1d 7424 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (( 0 (+gโ๐ ) 0 ) ยท ๐) = ( 0 ยท ๐)) |
10 | 1, 4 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ Ring โ 0 โ ๐ต) |
11 | 10 | adantr 482 | . . . . 5 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ 0 โ ๐ต) |
12 | simpr 486 | . . . . 5 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
13 | 11, 11, 12 | 3jca 1129 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ( 0 โ ๐ต โง 0 โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต)) |
14 | ringz.t | . . . . 5 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
15 | 2, 5, 14 | ringdir 20082 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ( 0 โ ๐ต โง 0 โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต)) โ (( 0 (+gโ๐ ) 0 ) ยท ๐) = (( 0 ยท ๐)(+gโ๐ )( 0 ยท ๐))) |
16 | 13, 15 | syldan 592 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (( 0 (+gโ๐ ) 0 ) ยท ๐) = (( 0 ยท ๐)(+gโ๐ )( 0 ยท ๐))) |
17 | 1 | adantr 482 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ Grp) |
18 | simpl 484 | . . . . 5 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ Ring) | |
19 | 2, 14 | ringcl 20073 | . . . . 5 โข ((๐ โ Ring โง 0 โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ( 0 ยท ๐) โ ๐ต) |
20 | 18, 11, 12, 19 | syl3anc 1372 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ( 0 ยท ๐) โ ๐ต) |
21 | 2, 5, 3 | grprid 18853 | . . . . 5 โข ((๐ โ Grp โง ( 0 ยท ๐) โ ๐ต) โ (( 0 ยท ๐)(+gโ๐ ) 0 ) = ( 0 ยท ๐)) |
22 | 21 | eqcomd 2739 | . . . 4 โข ((๐ โ Grp โง ( 0 ยท ๐) โ ๐ต) โ ( 0 ยท ๐) = (( 0 ยท ๐)(+gโ๐ ) 0 )) |
23 | 17, 20, 22 | syl2anc 585 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ( 0 ยท ๐) = (( 0 ยท ๐)(+gโ๐ ) 0 )) |
24 | 9, 16, 23 | 3eqtr3d 2781 | . 2 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (( 0 ยท ๐)(+gโ๐ )( 0 ยท ๐)) = (( 0 ยท ๐)(+gโ๐ ) 0 )) |
25 | 2, 5 | grplcan 18885 | . . 3 โข ((๐ โ Grp โง (( 0 ยท ๐) โ ๐ต โง 0 โ ๐ต โง ( 0 ยท ๐) โ ๐ต)) โ ((( 0 ยท ๐)(+gโ๐ )( 0 ยท ๐)) = (( 0 ยท ๐)(+gโ๐ ) 0 ) โ ( 0 ยท ๐) = 0 )) |
26 | 17, 20, 11, 20, 25 | syl13anc 1373 | . 2 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ((( 0 ยท ๐)(+gโ๐ )( 0 ยท ๐)) = (( 0 ยท ๐)(+gโ๐ ) 0 ) โ ( 0 ยท ๐) = 0 )) |
27 | 24, 26 | mpbid 231 | 1 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ( 0 ยท ๐) = 0 ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โcfv 6544 (class class class)co 7409 Basecbs 17144 +gcplusg 17197 .rcmulr 17198 0gc0g 17385 Grpcgrp 18819 Ringcrg 20056 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-om 7856 df-2nd 7976 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-er 8703 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-nn 12213 df-2 12275 df-sets 17097 df-slot 17115 df-ndx 17127 df-base 17145 df-plusg 17210 df-0g 17387 df-mgm 18561 df-sgrp 18610 df-mnd 18626 df-grp 18822 df-minusg 18823 df-mgp 19988 df-ring 20058 |
This theorem is referenced by: ringsrg 20109 ring1eq0 20110 ringnegl 20114 mulgass2 20121 gsumdixp 20131 dvdsr01 20185 0unit 20210 irredn0 20237 cntzsubr 20353 drngmul0or 20386 isdrngd 20390 cntzsdrg 20418 isabvd 20428 domneq0 20913 frlmphllem 21335 psrlidm 21523 mplsubrglem 21563 mplmonmul 21591 evlslem4 21637 evlslem3 21643 evlslem6 21644 mhpmulcl 21692 coe1tmmul 21799 cply1mul 21818 mamulid 21943 dmatmul 21999 scmatscm 22015 1mavmul 22050 mdetdiaglem 22100 mdetr0 22107 mdegmullem 25596 coe1mul3 25617 fta1glem1 25683 dvdschrmulg 32411 rmfsupp2 32418 elrspunidl 32577 elrspunsn 32578 drngidl 32582 evls1fpws 32677 fedgmullem1 32745 lflsc0N 38001 hdmapinvlem3 40839 hdmapinvlem4 40840 fldhmf1 41003 ringlzd 41133 evlsbagval 41186 mnringmulrcld 43035 zrrnghm 46764 zlidlring 46874 rmsupp0 47092 ply1mulgsumlem2 47116 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |