MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isgrpix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isgrpix 18892
Description: Properties that determine a group. Read 𝑁 as 𝑁(𝑥). Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 4-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
isgrpix.a 𝐵 ∈ V
isgrpix.b + ∈ V
isgrpix.g 𝐺 = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, + ⟩}
isgrpix.2 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
isgrpix.3 ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
isgrpix.z 0𝐵
isgrpix.5 (𝑥𝐵 → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
isgrpix.6 (𝑥𝐵𝑁𝐵)
isgrpix.7 (𝑥𝐵 → (𝑁 + 𝑥) = 0 )
Assertion
Ref Expression
isgrpix 𝐺 ∈ Grp
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑦,𝑁   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥, 0 ,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem isgrpix
StepHypRef Expression
1 isgrpix.a . . 3 𝐵 ∈ V
2 isgrpix.b . . 3 + ∈ V
3 isgrpix.g . . 3 𝐺 = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, + ⟩}
41, 2, 3grpbasex 17243 . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
51, 2, 3grpplusgx 17244 . 2 + = (+g𝐺)
6 isgrpix.2 . 2 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
7 isgrpix.3 . 2 ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
8 isgrpix.z . 2 0𝐵
9 isgrpix.5 . 2 (𝑥𝐵 → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
10 isgrpix.6 . 2 (𝑥𝐵𝑁𝐵)
11 isgrpix.7 . 2 (𝑥𝐵 → (𝑁 + 𝑥) = 0 )
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11isgrpi 18887 1 𝐺 ∈ Grp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3468  {cpr 4625  cop 4629  (class class class)co 7404  1c1 11110  2c2 12268  Grpcgrp 18861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864
This theorem is referenced by:  cnaddablx  19786  zaddablx  19790
  Copyright terms: Public domain W3C validator