Theorem isgrpix 18996

Description: Properties that determine a group. Read 𝑁 as 𝑁(𝑥). Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 4-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
isgrpix.a	⊢ 𝐵 ∈ V
isgrpix.b	⊢ + ∈ V
isgrpix.g	⊢ 𝐺 = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, + ⟩}
isgrpix.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
isgrpix.3	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
isgrpix.z	⊢ 0 ∈ 𝐵
isgrpix.5	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
isgrpix.6	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ 𝐵)
isgrpix.7	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑁 + 𝑥) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
isgrpix	⊢ 𝐺 ∈ Grp

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑦,𝑁   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥, 0 ,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem isgrpix

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgrpix.a	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		isgrpix.b	. . 3 ⊢ + ∈ V
3		isgrpix.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, + ⟩}
4	1, 2, 3	grpbasex 17311	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	1, 2, 3	grpplusgx 17312	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		isgrpix.2	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
7		isgrpix.3	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
8		isgrpix.z	. 2 ⊢ 0 ∈ 𝐵
9		isgrpix.5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
10		isgrpix.6	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ 𝐵)
11		isgrpix.7	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑁 + 𝑥) = 0 )
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	isgrpi 18991	1 ⊢ 𝐺 ∈ Grp

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  {cpr 4581  ⟨cop 4585  (class class class)co 7390  1c1 11067  2c2 12265  Grpcgrp 18965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-struct 17173  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-grp 18968

This theorem is referenced by:  cnaddablx  19898  zaddablx  19902