MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isgrpix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isgrpix 17836
Description: Properties that determine a group. Read 𝑁 as 𝑁(𝑥). Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 4-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
isgrpix.a 𝐵 ∈ V
isgrpix.b + ∈ V
isgrpix.g 𝐺 = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, + ⟩}
isgrpix.2 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
isgrpix.3 ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
isgrpix.z 0𝐵
isgrpix.5 (𝑥𝐵 → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
isgrpix.6 (𝑥𝐵𝑁𝐵)
isgrpix.7 (𝑥𝐵 → (𝑁 + 𝑥) = 0 )
Assertion
Ref Expression
isgrpix 𝐺 ∈ Grp
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑦,𝑁   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥, 0 ,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem isgrpix
StepHypRef Expression
1 isgrpix.a . . 3 𝐵 ∈ V
2 isgrpix.b . . 3 + ∈ V
3 isgrpix.g . . 3 𝐺 = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, + ⟩}
41, 2, 3grpbasex 16386 . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
51, 2, 3grpplusgx 16387 . 2 + = (+g𝐺)
6 isgrpix.2 . 2 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
7 isgrpix.3 . 2 ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
8 isgrpix.z . 2 0𝐵
9 isgrpix.5 . 2 (𝑥𝐵 → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
10 isgrpix.6 . 2 (𝑥𝐵𝑁𝐵)
11 isgrpix.7 . 2 (𝑥𝐵 → (𝑁 + 𝑥) = 0 )
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11isgrpi 17832 1 𝐺 ∈ Grp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  Vcvv 3397  {cpr 4399  cop 4403  (class class class)co 6922  1c1 10273  2c2 11430  Grpcgrp 17809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812
This theorem is referenced by:  cnaddablx  18657  zaddablx  18661
  Copyright terms: Public domain W3C validator