Theorem isgrpix 18902

Description: Properties that determine a group. Read 𝑁 as 𝑁(𝑥). Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 4-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
isgrpix.a	⊢ 𝐵 ∈ V
isgrpix.b	⊢ + ∈ V
isgrpix.g	⊢ 𝐺 = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, + ⟩}
isgrpix.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
isgrpix.3	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
isgrpix.z	⊢ 0 ∈ 𝐵
isgrpix.5	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
isgrpix.6	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ 𝐵)
isgrpix.7	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑁 + 𝑥) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
isgrpix	⊢ 𝐺 ∈ Grp

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑦,𝑁   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥, 0 ,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem isgrpix

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgrpix.a	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		isgrpix.b	. . 3 ⊢ + ∈ V
3		isgrpix.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, + ⟩}
4	1, 2, 3	grpbasex 17261	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	1, 2, 3	grpplusgx 17262	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		isgrpix.2	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
7		isgrpix.3	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
8		isgrpix.z	. 2 ⊢ 0 ∈ 𝐵
9		isgrpix.5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
10		isgrpix.6	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ 𝐵)
11		isgrpix.7	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑁 + 𝑥) = 0 )
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	isgrpi 18897	1 ⊢ 𝐺 ∈ Grp

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3455  {cpr 4599  ⟨cop 4603  (class class class)co 7394  1c1 11087  2c2 12252  Grpcgrp 18871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-2 12260  df-n0 12459  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13482  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-plusg 17239  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18874

This theorem is referenced by:  cnaddablx  19804  zaddablx  19808