Theorem isgrpix 19181

Description: Properties that determine a group. Read 𝑁 as 𝑁(𝑥). Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 4-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
isgrpix.a	⊢ 𝐵 ∈ V
isgrpix.b	⊢ + ∈ V
isgrpix.g	⊢ 𝐺 = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, + ⟩}
isgrpix.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
isgrpix.3	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
isgrpix.z	⊢ 0 ∈ 𝐵
isgrpix.5	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
isgrpix.6	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ 𝐵)
isgrpix.7	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑁 + 𝑥) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
isgrpix	⊢ 𝐺 ∈ Grp

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑦,𝑁   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥, 0 ,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem isgrpix

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgrpix.a	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		isgrpix.b	. . 3 ⊢ + ∈ V
3		isgrpix.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, + ⟩}
4	1, 2, 3	grpbasex 17469	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	1, 2, 3	grpplusgx 17470	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		isgrpix.2	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
7		isgrpix.3	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
8		isgrpix.z	. 2 ⊢ 0 ∈ 𝐵
9		isgrpix.5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
10		isgrpix.6	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ 𝐵)
11		isgrpix.7	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑁 + 𝑥) = 0 )
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	isgrpi 19176	1 ⊢ 𝐺 ∈ Grp

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {cpr 4586  ⟨cop 4834  (class class class)co 7421  1c1 11205  2c2 12401  Grpcgrp 19150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153

This theorem is used by:  cnaddablx  20088  zaddablx  20092