MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isgrpix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isgrpix 18782
Description: Properties that determine a group. Read 𝑁 as 𝑁(𝑥). Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 4-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
isgrpix.a 𝐵 ∈ V
isgrpix.b + ∈ V
isgrpix.g 𝐺 = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, + ⟩}
isgrpix.2 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
isgrpix.3 ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
isgrpix.z 0𝐵
isgrpix.5 (𝑥𝐵 → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
isgrpix.6 (𝑥𝐵𝑁𝐵)
isgrpix.7 (𝑥𝐵 → (𝑁 + 𝑥) = 0 )
Assertion
Ref Expression
isgrpix 𝐺 ∈ Grp
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑦,𝑁   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥, 0 ,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem isgrpix
StepHypRef Expression
1 isgrpix.a . . 3 𝐵 ∈ V
2 isgrpix.b . . 3 + ∈ V
3 isgrpix.g . . 3 𝐺 = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, + ⟩}
41, 2, 3grpbasex 17177 . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
51, 2, 3grpplusgx 17178 . 2 + = (+g𝐺)
6 isgrpix.2 . 2 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
7 isgrpix.3 . 2 ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
8 isgrpix.z . 2 0𝐵
9 isgrpix.5 . 2 (𝑥𝐵 → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
10 isgrpix.6 . 2 (𝑥𝐵𝑁𝐵)
11 isgrpix.7 . 2 (𝑥𝐵 → (𝑁 + 𝑥) = 0 )
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11isgrpi 18778 1 𝐺 ∈ Grp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  {cpr 4589  cop 4593  (class class class)co 7358  1c1 11057  2c2 12213  Grpcgrp 18753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756
This theorem is referenced by:  cnaddablx  19651  zaddablx  19655
  Copyright terms: Public domain W3C validator