Theorem cnaddablx 19887

Description: The complex numbers are an Abelian group under addition. This version of cnaddabl 19888 shows the explicit structure "scaffold" we chose for the definition for Abelian groups. Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use; use cnaddabl 19888 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 18-Oct-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnaddablx.g	⊢ 𝐺 = {⟨1, ℂ⟩, ⟨2, + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
cnaddablx	⊢ 𝐺 ∈ Abel

Proof of Theorem cnaddablx

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11237	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
2		addex 13032	. . 3 ⊢ + ∈ V
3		cnaddablx.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨1, ℂ⟩, ⟨2, + ⟩}
4		addcl 11238	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
5		addass 11243	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
6		0cn 11254	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
7		addlid 11445	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
8		negcl 11509	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
9		addcom 11448	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
10	8, 9	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
11		negid 11557	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
12	10, 11	eqtr3d 2778	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12	isgrpix 18983	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ Grp
14	1, 2, 3	grpbasex 17336	. 2 ⊢ ℂ = (Base‘𝐺)
15	1, 2, 3	grpplusgx 17337	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16		addcom 11448	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
17	13, 14, 15, 16	isabli 19815	1 ⊢ 𝐺 ∈ Abel

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {cpr 4627  ⟨cop 4631  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  -cneg 11494  2c2 12322  Abelcabl 19800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-cmn 19801  df-abl 19802

This theorem is referenced by: (None)