MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnaddablx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnaddablx 19827
Description: The complex numbers are an Abelian group under addition. This version of cnaddabl 19828 shows the explicit structure "scaffold" we chose for the definition for Abelian groups. Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use; use cnaddabl 19828 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 18-Oct-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
cnaddablx.g 𝐺 = {⟨1, ℂ⟩, ⟨2, + ⟩}
Assertion
Ref Expression
cnaddablx 𝐺 ∈ Abel

Proof of Theorem cnaddablx
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 11219 . . 3 ℂ ∈ V
2 addex 13003 . . 3 + ∈ V
3 cnaddablx.g . . 3 𝐺 = {⟨1, ℂ⟩, ⟨2, + ⟩}
4 addcl 11220 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
5 addass 11225 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
6 0cn 11236 . . 3 0 ∈ ℂ
7 addlid 11427 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
8 negcl 11490 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
9 addcom 11430 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
108, 9mpdan 685 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
11 negid 11537 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
1210, 11eqtr3d 2767 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12isgrpix 18925 . 2 𝐺 ∈ Grp
141, 2, 3grpbasex 17271 . 2 ℂ = (Base‘𝐺)
151, 2, 3grpplusgx 17272 . 2 + = (+g𝐺)
16 addcom 11430 . 2 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
1713, 14, 15, 16isabli 19755 1 𝐺 ∈ Abel
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  {cpr 4626  cop 4630  (class class class)co 7416  cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  -cneg 11475  2c2 12297  Abelcabl 19740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-cmn 19741  df-abl 19742
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator