Theorem cnaddablx 20112

Description: The complex numbers are an Abelian group under addition. This version of cnaddabl 20113 shows the explicit structure "scaffold" we chose for the definition for Abelian groups. Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use; use cnaddabl 20113 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 18-Oct-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnaddablx.g	⊢ 𝐺 = {⟨1, ℂ⟩, ⟨2, + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
cnaddablx	⊢ 𝐺 ∈ Abel

Proof of Theorem cnaddablx

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11308	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
2		addex 13144	. . 3 ⊢ + ∈ V
3		cnaddablx.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨1, ℂ⟩, ⟨2, + ⟩}
4		addcl 11309	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
5		addass 11314	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
6		0cn 11325	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
7		addlid 11520	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
8		negcl 11584	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
9		addcom 11523	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = ( -𝑥 + 𝑥))
10	8, 9	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = ( -𝑥 + 𝑥))
11		negid 11632	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
12	10, 11	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ( -𝑥 + 𝑥) = 0)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12	isgrpix 19204	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ Grp
14	1, 2, 3	grpbasex 17492	. 2 ⊢ ℂ = (Base‘𝐺)
15	1, 2, 3	grpplusgx 17493	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16		addcom 11523	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
17	13, 14, 15, 16	isabli 20040	1 ⊢ 𝐺 ∈ Abel

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cpr 4590  ⟨cop 4838  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   -cneg 11569  2c2 12424  Abelcabl 20025

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-addf 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-cmn 20026  df-abl 20027

This theorem is used by: (None)