MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zaddablx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zaddablx 19844
Description: The integers are an Abelian group under addition. Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use. Use zsubrg 21375 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 4-Sep-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
zaddablx.g 𝐺 = {⟨1, ℤ⟩, ⟨2, + ⟩}
Assertion
Ref Expression
zaddablx 𝐺 ∈ Abel

Proof of Theorem zaddablx
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 12605 . . 3 ℤ ∈ V
2 addex 13011 . . 3 + ∈ V
3 zaddablx.g . . 3 𝐺 = {⟨1, ℤ⟩, ⟨2, + ⟩}
4 zaddcl 12640 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
5 zcn 12601 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6 zcn 12601 . . . 4 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
7 zcn 12601 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
8 addass 11232 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
95, 6, 7, 8syl3an 1157 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10 0z 12607 . . 3 0 ∈ ℤ
115addlidd 11452 . . 3 (𝑥 ∈ ℤ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
12 znegcl 12635 . . 3 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
13 zcn 12601 . . . . . 6 (-𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℂ)
14 addcom 11437 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
155, 13, 14syl2an 594 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
1612, 15mpdan 685 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
175negidd 11598 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
1816, 17eqtr3d 2767 . . 3 (𝑥 ∈ ℤ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
191, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 18isgrpix 18934 . 2 𝐺 ∈ Grp
201, 2, 3grpbasex 17280 . 2 ℤ = (Base‘𝐺)
211, 2, 3grpplusgx 17281 . 2 + = (+g𝐺)
22 addcom 11437 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
235, 6, 22syl2an 594 . 2 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
2419, 20, 21, 23isabli 19768 1 𝐺 ∈ Abel
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  {cpr 4632  cop 4636  (class class class)co 7419  cc 11143  0cc0 11145  1c1 11146   + caddc 11148  -cneg 11482  2c2 12305  cz 12596  Abelcabl 19753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-addf 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-plusg 17254  df-0g 17431  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18906  df-cmn 19754  df-abl 19755
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator