MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zaddablx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zaddablx 19483
Description: The integers are an Abelian group under addition. Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use. Use zsubrg 20661 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 4-Sep-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
zaddablx.g 𝐺 = {⟨1, ℤ⟩, ⟨2, + ⟩}
Assertion
Ref Expression
zaddablx 𝐺 ∈ Abel

Proof of Theorem zaddablx
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 12338 . . 3 ℤ ∈ V
2 addex 12738 . . 3 + ∈ V
3 zaddablx.g . . 3 𝐺 = {⟨1, ℤ⟩, ⟨2, + ⟩}
4 zaddcl 12370 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
5 zcn 12334 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6 zcn 12334 . . . 4 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
7 zcn 12334 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
8 addass 10968 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
95, 6, 7, 8syl3an 1159 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10 0z 12340 . . 3 0 ∈ ℤ
115addid2d 11186 . . 3 (𝑥 ∈ ℤ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
12 znegcl 12365 . . 3 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
13 zcn 12334 . . . . . 6 (-𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℂ)
14 addcom 11171 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
155, 13, 14syl2an 596 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
1612, 15mpdan 684 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
175negidd 11332 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
1816, 17eqtr3d 2780 . . 3 (𝑥 ∈ ℤ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
191, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 18isgrpix 18616 . 2 𝐺 ∈ Grp
201, 2, 3grpbasex 17011 . 2 ℤ = (Base‘𝐺)
211, 2, 3grpplusgx 17012 . 2 + = (+g𝐺)
22 addcom 11171 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
235, 6, 22syl2an 596 . 2 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
2419, 20, 21, 23isabli 19411 1 𝐺 ∈ Abel
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  wcel 2106  {cpr 4563  cop 4567  (class class class)co 7267  cc 10879  0cc0 10881  1c1 10882   + caddc 10884  -cneg 11216  2c2 12038  cz 12329  Abelcabl 19397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-addf 10960
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-fz 13250  df-struct 16858  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-plusg 16985  df-0g 17162  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-grp 18590  df-cmn 19398  df-abl 19399
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator