MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zaddablx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zaddablx 18971
Description: The integers are an Abelian group under addition. Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use. Use zsubrg 20574 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 4-Sep-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
zaddablx.g 𝐺 = {⟨1, ℤ⟩, ⟨2, + ⟩}
Assertion
Ref Expression
zaddablx 𝐺 ∈ Abel

Proof of Theorem zaddablx
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 11969 . . 3 ℤ ∈ V
2 addex 12366 . . 3 + ∈ V
3 zaddablx.g . . 3 𝐺 = {⟨1, ℤ⟩, ⟨2, + ⟩}
4 zaddcl 12001 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
5 zcn 11965 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6 zcn 11965 . . . 4 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
7 zcn 11965 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
8 addass 10602 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
95, 6, 7, 8syl3an 1156 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10 0z 11971 . . 3 0 ∈ ℤ
115addid2d 10819 . . 3 (𝑥 ∈ ℤ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
12 znegcl 11996 . . 3 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
13 zcn 11965 . . . . . 6 (-𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℂ)
14 addcom 10804 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
155, 13, 14syl2an 597 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
1612, 15mpdan 685 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
175negidd 10965 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
1816, 17eqtr3d 2857 . . 3 (𝑥 ∈ ℤ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
191, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 18isgrpix 18109 . 2 𝐺 ∈ Grp
201, 2, 3grpbasex 16592 . 2 ℤ = (Base‘𝐺)
211, 2, 3grpplusgx 16593 . 2 + = (+g𝐺)
22 addcom 10804 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
235, 6, 22syl2an 597 . 2 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
2419, 20, 21, 23isabli 18900 1 𝐺 ∈ Abel
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2114  {cpr 4545  cop 4549  (class class class)co 7133  cc 10513  0cc0 10515  1c1 10516   + caddc 10518  -cneg 10849  2c2 11671  cz 11960  Abelcabl 18886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-addf 10594
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-plusg 16557  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-cmn 18887  df-abl 18888
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator