Theorem zaddablx 19905

Description: The integers are an Abelian group under addition. Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use. Use zsubrg 21456 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 4-Sep-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
zaddablx.g	⊢ 𝐺 = {⟨1, ℤ⟩, ⟨2, + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
zaddablx	⊢ 𝐺 ∈ Abel

Proof of Theorem zaddablx

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12620	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
2		addex 13029	. . 3 ⊢ + ∈ V
3		zaddablx.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨1, ℤ⟩, ⟨2, + ⟩}
4		zaddcl 12655	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
5		zcn 12616	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6		zcn 12616	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
7		zcn 12616	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
8		addass 11240	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
9	5, 6, 7, 8	syl3an 1159	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10		0z 12622	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
11	5	addlidd 11460	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
12		znegcl 12650	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
13		zcn 12616	. . . . . 6 ⊢ (-𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℂ)
14		addcom 11445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
15	5, 13, 14	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
16	12, 15	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
17	5	negidd 11608	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
18	16, 17	eqtr3d 2777	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
19	1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 18	isgrpix 18995	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ Grp
20	1, 2, 3	grpbasex 17337	. 2 ⊢ ℤ = (Base‘𝐺)
21	1, 2, 3	grpplusgx 17338	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
22		addcom 11445	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
23	5, 6, 22	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
24	19, 20, 21, 23	isabli 19829	1 ⊢ 𝐺 ∈ Abel

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {cpr 4633  ⟨cop 4637  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  -cneg 11491  2c2 12319  ℤcz 12611  Abelcabl 19814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-cmn 19815  df-abl 19816

This theorem is referenced by: (None)