Theorem zaddablx 20095

Description: The integers are an Abelian group under addition. Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use. Use zsubrg 21735 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 4-Sep-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
zaddablx.g	⊢ 𝐺 = {⟨1, ℤ⟩, ⟨2, + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
zaddablx	⊢ 𝐺 ∈ Abel

Proof of Theorem zaddablx

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12709	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
2		addex 13124	. . 3 ⊢ + ∈ V
3		zaddablx.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨1, ℤ⟩, ⟨2, + ⟩}
4		zaddcl 12743	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
5		zcn 12705	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6		zcn 12705	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
7		zcn 12705	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
8		addass 11294	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
9	5, 6, 7, 8	syl3an 1178	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10		0z 12711	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
11	5	addlidd 11518	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
12		znegcl 12738	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
13		zcn 12705	. . . . . 6 ⊢ ( -𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℂ)
14		addcom 11503	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = ( -𝑥 + 𝑥))
15	5, 13, 14	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 + -𝑥) = ( -𝑥 + 𝑥))
16	12, 15	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + -𝑥) = ( -𝑥 + 𝑥))
17	5	negidd 11666	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
18	16, 17	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ( -𝑥 + 𝑥) = 0)
19	1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 18	isgrpix 19184	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ Grp
20	1, 2, 3	grpbasex 17472	. 2 ⊢ ℤ = (Base‘𝐺)
21	1, 2, 3	grpplusgx 17473	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
22		addcom 11503	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
23	5, 6, 22	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
24	19, 20, 21, 23	isabli 20019	1 ⊢ 𝐺 ∈ Abel

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cpr 4586  ⟨cop 4834  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   -cneg 11549  2c2 12404  ℤcz 12700  Abelcabl 20004

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-cmn 20005  df-abl 20006

This theorem is used by: (None)