Theorem zaddablx 19903

Description: The integers are an Abelian group under addition. Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use. Use zsubrg 21460 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 4-Sep-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
zaddablx.g	⊢ 𝐺 = {⟨1, ℤ⟩, ⟨2, + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
zaddablx	⊢ 𝐺 ∈ Abel

Proof of Theorem zaddablx

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12571	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
2		addex 12984	. . 3 ⊢ + ∈ V
3		zaddablx.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨1, ℤ⟩, ⟨2, + ⟩}
4		zaddcl 12605	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
5		zcn 12567	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6		zcn 12567	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
7		zcn 12567	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
8		addass 11154	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
9	5, 6, 7, 8	syl3an 1172	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10		0z 12573	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
11	5	addlidd 11378	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
12		znegcl 12600	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
13		zcn 12567	. . . . . 6 ⊢ (-𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℂ)
14		addcom 11363	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
15	5, 13, 14	syl2an 605	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
16	12, 15	mpdan 697	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
17	5	negidd 11526	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
18	16, 17	eqtr3d 2798	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
19	1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 18	isgrpix 18997	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ Grp
20	1, 2, 3	grpbasex 17312	. 2 ⊢ ℤ = (Base‘𝐺)
21	1, 2, 3	grpplusgx 17313	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
22		addcom 11363	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
23	5, 6, 22	syl2an 605	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
24	19, 20, 21, 23	isabli 19827	1 ⊢ 𝐺 ∈ Abel

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {cpr 4581  ⟨cop 4585  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070  -cneg 11409  2c2 12266  ℤcz 12562  Abelcabl 19812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-addf 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-struct 17174  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-plusg 17290  df-0g 17461  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18969  df-cmn 19813  df-abl 19814

This theorem is referenced by: (None)