Theorem zaddablx 20079

Description: The integers are an Abelian group under addition. Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use. Use zsubrg 21719 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 4-Sep-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
zaddablx.g	⊢ 𝐺 = {⟨1, ℤ⟩, ⟨2, + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
zaddablx	⊢ 𝐺 ∈ Abel

Proof of Theorem zaddablx

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12695	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
2		addex 13110	. . 3 ⊢ + ∈ V
3		zaddablx.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨1, ℤ⟩, ⟨2, + ⟩}
4		zaddcl 12729	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
5		zcn 12691	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6		zcn 12691	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
7		zcn 12691	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
8		addass 11280	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
9	5, 6, 7, 8	syl3an 1178	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10		0z 12697	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
11	5	addlidd 11504	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
12		znegcl 12724	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
13		zcn 12691	. . . . . 6 ⊢ (-𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℂ)
14		addcom 11489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
15	5, 13, 14	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
16	12, 15	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
17	5	negidd 11652	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
18	16, 17	eqtr3d 2798	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
19	1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 18	isgrpix 19168	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ Grp
20	1, 2, 3	grpbasex 17456	. 2 ⊢ ℤ = (Base‘𝐺)
21	1, 2, 3	grpplusgx 17457	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
22		addcom 11489	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
23	5, 6, 22	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
24	19, 20, 21, 23	isabli 20003	1 ⊢ 𝐺 ∈ Abel

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cpr 4586  ⟨cop 4590  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196  -cneg 11535  2c2 12390  ℤcz 12686  Abelcabl 19988

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-cmn 19989  df-abl 19990

This theorem is used by: (None)