Theorem zaddablx 19942

Description: The integers are an Abelian group under addition. Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use. Use zsubrg 21539 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 4-Sep-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
zaddablx.g	⊢ 𝐺 = {⟨1, ℤ⟩, ⟨2, + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
zaddablx	⊢ 𝐺 ∈ Abel

Proof of Theorem zaddablx

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12600	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
2		addex 13013	. . 3 ⊢ + ∈ V
3		zaddablx.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨1, ℤ⟩, ⟨2, + ⟩}
4		zaddcl 12634	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
5		zcn 12596	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6		zcn 12596	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
7		zcn 12596	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
8		addass 11187	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
9	5, 6, 7, 8	syl3an 1176	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10		0z 12602	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
11	5	addlidd 11411	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
12		znegcl 12629	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
13		zcn 12596	. . . . . 6 ⊢ (-𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℂ)
14		addcom 11396	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
15	5, 13, 14	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
16	12, 15	mpdan 699	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
17	5	negidd 11559	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
18	16, 17	eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
19	1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 18	isgrpix 19031	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ Grp
20	1, 2, 3	grpbasex 17345	. 2 ⊢ ℤ = (Base‘𝐺)
21	1, 2, 3	grpplusgx 17346	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
22		addcom 11396	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
23	5, 6, 22	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
24	19, 20, 21, 23	isabli 19866	1 ⊢ 𝐺 ∈ Abel

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cpr 4596  ⟨cop 4600  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103  -cneg 11442  2c2 12295  ℤcz 12591  Abelcabl 19851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-cmn 19852  df-abl 19853

This theorem is referenced by: (None)